運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解“三者同籠”問(wèn)題
——“三者同籠”問(wèn)題解法的進(jìn)一步探討

湖北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（435002） 李　卓　李秋明　蔣麗晶　胡　凡

運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解“三者同籠”問(wèn)題
——“三者同籠”問(wèn)題解法的進(jìn)一步探討

湖北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（435002） 李卓李秋明蔣麗晶胡凡

小學(xué)數(shù)學(xué)解題常常會(huì)涉及數(shù)學(xué)思想，要重視數(shù)學(xué)思想在解題中的滲透和運(yùn)用，讓學(xué)生在解題過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想。以雞兔同籠問(wèn)題基礎(chǔ)上衍生出的“三者同籠”問(wèn)題為例，從數(shù)學(xué)思想的角度，探討了“三者同籠”問(wèn)題的解法。

數(shù)學(xué)思想 “三者同籠”問(wèn)題

雞兔同籠問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一，記載于《孫子算經(jīng)》之中。雞兔同籠問(wèn)題是兩者同籠問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上還衍生出了“三者同籠”問(wèn)題。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)中的蜘蛛、蜻蜓、蟬三者同籠的問(wèn)題為例，研究“三者同籠”問(wèn)題的解法。

【題目】蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀，現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共有18只，有118條腿和18對(duì)翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各有幾只？

一、標(biāo)準(zhǔn)答案

首先，蜻蜓和蟬都是6條腿，計(jì)算腿的數(shù)量時(shí)將它們作為一個(gè)整體考慮。

假設(shè)全是6條腿的小蟲(chóng)，則可知蜘蛛有（118－6×18）÷（8－6）=5（只），那么蜻蜓和蟬共有18－5=13（只）。

再假設(shè)這13只都是蟬，則可知蜻蜓的數(shù)量為（18－1×13）÷（2－1）=5（只），蟬有13－5=8（只）。

評(píng)注：總的來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)答案將蜘蛛、蜻蜓、蟬三者同籠的問(wèn)題化歸成了兩者同籠的問(wèn)題。具體地說(shuō)，首先將蜻蜓和蟬看作一個(gè)整體，此時(shí)題目就化歸為蜘蛛與蜻蜓和蟬組成整體的兩者同籠的問(wèn)題。求出蜻蜓和蟬的總數(shù)后，此時(shí)題目又化歸成了蜻蜓和蟬兩者同籠的問(wèn)題。對(duì)于小學(xué)生來(lái)講，蜻蜓和蟬怎么看作一個(gè)整體呢？看作一個(gè)整體后題目到底化歸成了什么呢？也就是說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)這些分析還不夠具體，因此，從數(shù)學(xué)思想的角度對(duì)這一問(wèn)題的解法進(jìn)一步分析，以便小學(xué)生理解。

二、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決“三者同籠”問(wèn)題

分析1：“三者同籠”問(wèn)題是在兩者同籠問(wèn)題，即雞兔同籠問(wèn)題基礎(chǔ)上衍生出來(lái)的，因此我們要想辦法把三者同籠的問(wèn)題化歸為兩者同籠的問(wèn)題，即學(xué)生熟悉的雞兔同籠問(wèn)題。怎樣化歸呢？根據(jù)已知條件，蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀，蜻蜓和蟬都有6條腿，因此忽略翅膀的情況下，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思想將蜻蜓和蟬看作一種動(dòng)物（見(jiàn)圖1），不妨將這種動(dòng)物命名為“蜻蟬”。此時(shí)題目就化歸成了變式1（見(jiàn)圖2）。

圖1　

圖2

變式1：蜘蛛有8條腿，蜻蟬有6條腿和2對(duì)翅膀，蜻蟬有6條腿和1對(duì)翅膀，現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共有18只，有118條腿和18對(duì)翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各有幾只？

分析2：變式1是一個(gè)不太標(biāo)準(zhǔn)的雞兔同籠問(wèn)題，因?yàn)樽兪?涉及了蜘蛛、蜻蟬的頭、腿、翅膀，而標(biāo)準(zhǔn)的雞兔同籠問(wèn)題只涉及了頭和腿，因此，需要的運(yùn)用簡(jiǎn)化的思想忽略翅膀，將這個(gè)不太標(biāo)準(zhǔn)的雞兔同籠問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)的雞兔同籠問(wèn)題，即刪除有關(guān)翅膀的已知條件，此時(shí)變式1便化歸成了變式2（見(jiàn)圖3）。

圖3

變式2：蜘蛛有8條腿，蜻蟬有6條腿，現(xiàn)在這兩種小蟲(chóng)共有18只，共有118條腿，蜘蛛、蜻蟬各有幾只？

分析3：變式2是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的雞兔同籠問(wèn)題，古今中外許多人都對(duì)它的解法作過(guò)研究，可以說(shuō)它的解法已經(jīng)有一籮筐了。這里僅列舉列方程的解法。

解：設(shè)有x只蜘蛛，那么就有（18－x）只蜻蟬。

蜘蛛和蜻蟬共有118條腿，則

8x＋6（18－x）=118

x=5。

18－5=13（只）。

蜘蛛有5只，蜻蟬有13只。

將這一結(jié)果代入例1，同時(shí)運(yùn)用簡(jiǎn)化的思想，即刪除有關(guān)蜘蛛和腿的已知條件，此時(shí)例1就化歸成了變式3（見(jiàn)圖4）。

圖4

變式3：蜻蜓有2對(duì)翅膀，蟬有1對(duì)翅膀，現(xiàn)在這兩種小蟲(chóng)共有13只，有18對(duì)翅膀，蜻蜓、蟬各有幾只？

分析4：與變式2一樣，變式3也是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的雞兔同籠問(wèn)題，可以運(yùn)用列方程等解法。

解：設(shè)有y只蜻蜓，那么就有（13－y）只蟬。

蜻蜓和蟬共有18對(duì)翅膀，則

2y＋（13－y）=18

y=5。

13－5=8（只）。

蜻蜓有5只，蟬有8只。

評(píng)注：這種解法從數(shù)學(xué)思想的角度對(duì)例1的解法進(jìn)行了具體分析。首先，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思想將例1化歸為變式1；其次，運(yùn)用簡(jiǎn)化的思想將變式1化歸為變式2；最后，運(yùn)用簡(jiǎn)化的思想將例1化歸為變式3（這一過(guò)程見(jiàn)圖5）。

圖5

三、解題感悟

以上兩種解法本質(zhì)上是一樣的，都是將三者同籠的問(wèn)題化歸為兩者同籠的問(wèn)題。但是，第二種解法與標(biāo)準(zhǔn)答案的解法相比運(yùn)用數(shù)學(xué)思想更為明顯，學(xué)生可以更好地感受數(shù)學(xué)思想。使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，但更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)思想。因此讓學(xué)生感受第二種解法中的數(shù)學(xué)思想也是新課程理念的要求。此外，利用數(shù)學(xué)思想將三者同籠問(wèn)題化歸為兩者同籠的問(wèn)題這一過(guò)程中，運(yùn)用的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)思想都是比較簡(jiǎn)單的，也是學(xué)生非常容易理解的。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)思想是關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)一步的抽象和概括。教師要重視數(shù)學(xué)思想在解題中的滲透和運(yùn)用，讓學(xué)生在解題過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想。

（責(zé)編童夏）

G623.5

A

1007-9068（2016）17-053