非齊次馬氏鏈二元泛函的強(qiáng)大數(shù)定律中的收斂速度

李　芳

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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非齊次馬氏鏈二元泛函的強(qiáng)大數(shù)定律中的收斂速度

李芳

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

研究可列非齊次馬氏鏈二元泛函強(qiáng)大數(shù)定律中的收斂速度，并利用得到的結(jié)果研究可列非齊次馬氏鏈Shannon-McMilllan定理中的收斂速度問題.

可列非齊次馬氏鏈;周期強(qiáng)遍歷;Shannon-McMillan定理

設(shè){Xn,n≥0}是在S={1,2,3,…}中取值的非齊次馬氏鏈,其初始分布與轉(zhuǎn)移矩陣分別為

q=(q(1),q(2),…)

(1)

Pn=(Pn(i,j)),i,j∈S,n≥1

(2)

其中Pn(i,j)=P(Xn=j|Xn-1=i).

關(guān)于可列非齊次馬氏鏈一元泛函及二元泛函的強(qiáng)大數(shù)定律已有不少研究(參見文獻(xiàn)[1-5]),本文主要研究可列非齊次馬氏鏈二元泛函強(qiáng)大數(shù)定律中的速度問題,并應(yīng)用到可列非齊次馬氏鏈的一個(gè)Shannon-McMillan定理中去.

定理1設(shè){Xn,n≥0}是具有初始分布(1),轉(zhuǎn)移矩陣(2)的非齊次馬氏鏈,{fn(i,j),n≥1}是定義在S×S上的一列二元函數(shù),記

(3)

(4)

(5)

(6)

證明由文獻(xiàn)[5]定理1,取an=n1/2+ε,類似[5]中(13)則由①知對(duì)任意ε>0和任何k≥1,有

即

所以對(duì)N≥1有

(7)

由文獻(xiàn)[5]的(16)可知

(8)

由(4)式,可選充分大的N使(8)式右端第一項(xiàng)充分小,再令n→,由(5)知(8)式右端第二項(xiàng)趨于0,于是有

(9)

又有

由(7)和(9)知(6)成立.證畢.

(10)

其他條件不變,則(6)式仍成立.

證明由文獻(xiàn)[6]定理2.1(b)知若(10)成立,則對(duì)任意ε>0,有

則類似(8)可知對(duì)N≥1有

(11)

又

由(7)和(11)知(6)成立.

下面可將上述兩定理運(yùn)用到信息論中:

已知馬氏鏈{Xn,n≥0}的聯(lián)合分布為

因此馬氏鏈的熵密度為

其中l(wèi)og為自然對(duì)數(shù).

fn(ω)在某種意義下收斂于常數(shù)(L1收斂,P收斂,a.s.收斂)稱為Shannon-McMillan定理或熵定理,是信息論中的重要定理.本文利用定理1和定理2可以方便的得到一個(gè)非齊次馬氏鏈熵定理中fn(ω)的收斂速度.

推論1設(shè){Xn,n≥0}是一個(gè)非齊次馬氏鏈,如定理1中所定義,記

如果對(duì)任意的ε>0和任何k≥1，存在α>0,使得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

證明在定理1中取fn(i,j)=-logpn(i,j),則可得(15)和(16)成立.

類似地由定理2可得如下推論

其他條件不變,則(15)和(16)仍成立.

[1]朱成熹.非齊次馬爾可夫鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1988，31(4)：465-474.

[2]石志巖，韓大釗，楊衛(wèi)國.雙根樹上二階非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和Shannon-McMillan定理[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2015，31(2)：125-134.

[3]LIU Guo-xin,LIU Wen.On the strong law of large numbers for functionals of countable nonhomogeneous Markov chains[J].Stochastic Processes Appl.,1994(50)：375-391.

[4]李芳，楊衛(wèi)國.一類非齊次馬氏鏈的絕對(duì)平均遍歷性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007(37)：10.

[5]楊衛(wèi)國，韓金舫.關(guān)于非齊次馬氏鏈的Cesaro平均收斂性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997(14)：57-62.

[6]BOWERMAN B,DAVID H T,ISAACSON D.The convergence of Cesaro averages for certain nonstationary Markov chains[J].Stochastic Processes Appl.,1977(5)：221-230.

[責(zé)任編輯王新奇]

The Rate of Convergence in Strong Law of Large Numbers forFunctions of Two Variables of Nonhomogeneous Markov Chains

LI Fang

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, WuHu 241000, China)

Inthispaper,therateofconvergenceinstronglawoflargenumbersforfunctionsoftwovariablesofcountablenonhomogeneousMarkovchainswasstudied,andherebytheproblemoftherateofconvergenceintheShannon-McMillantheoremfornonhomogeneousMarkovchainswasstudied.

countablenonhomogeneousMarkovchains；periodicstronglyergodic；Shannon-McMillantheorem

1008-5564(2016)02-0004-03

2015-09-22

安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1308085QA14)

李芳(1981—)，女，安徽廣德人，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師，主要從事馬氏鏈理論研究.

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