關(guān)于居加猜想證明的一點注記

王能群

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

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關(guān)于居加猜想證明的一點注記

王能群

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

利用數(shù)論中的一些簡單結(jié)果，建立了居加猜想的一個等價命題，同時否定了文獻(xiàn)[1]的證明.

居加猜想；費馬小定理；素數(shù)；等價命題

1　引言及主要結(jié)論

1950年，居加(G.Giuga)提出如下猜想：p為素數(shù)的充要條件是

(1)

根據(jù)費馬小定理，當(dāng)p為素數(shù)時，(1)式顯然成立，而當(dāng)(1)成立則p為素數(shù)的猜想至今沒有證明.因此居加猜想的關(guān)鍵是證明：p為合數(shù)時

(2)

有人作過計算，當(dāng)p≤101 400的整數(shù)時，猜想是對的.文獻(xiàn)[1]聲稱證明了居加猜想，但是關(guān)鍵的最后一步出現(xiàn)了致命的錯誤.

本文利用數(shù)論中的一些簡單結(jié)果，得出了居加猜想(1)的一個等價命題，即如下

2　若干引理

引理1若p為素數(shù)，p?a，則ap-1≡1(modp).

證明參見文獻(xiàn)[2].

引理2對任意正整數(shù)a,b及正奇數(shù)t，有(a+b)∣(at+bt).

證明因為at+bt=(a+b)(at-1-at-2b+…-abt-2+bt-1)，所以(a+b)∣(at+bt).

當(dāng)m?0(modq-1)，即q-1?m時，gm≡1(modq)，故gm≠1，此時由引理1可得

3　定理1的證明

(Ⅰ)若p為素數(shù)，則由引理1知(1)成立.

(Ⅱ)若p為合數(shù)，

①設(shè)p為偶數(shù)，因為

=[1p-1+(p-1)p-1]+[2p-1+(p-2)p-1]+…

②設(shè)p為奇數(shù)，且p=ql，其中q是p的一個奇素因數(shù)，l是奇數(shù)，則

由于(k,q)=1，根據(jù)引理1得kq-1≡1(modq)，故

于是

(3)

令l-1=m+s(q-1)，其中0≤m

當(dāng)m>1時，由于m

定理1得證.

推論1的證明：

4　對文獻(xiàn)[1]證明的注記

文獻(xiàn)[1]證明的第6)步，也是關(guān)鍵的一步，作者認(rèn)為c=(p-1)pQ(p-1)，即c可被p整除.事實上，令n=11×7×3，則由(3)知

這說明11?c.因此，文獻(xiàn)[1]的證明是錯誤的.

[1]陳德建.居加猜測的證明[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012,29(5)：389-391.

[2]管訓(xùn)貴.初等數(shù)論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011:82-86.

[責(zé)任編輯王新奇]

A Note On the Demonstration of Giuga Conjecture

WANG Neng-qun

(School of Mathematics and Physics, Taizhou University, Taizhou 225300, China)

In this paper, by using of some simple results in the number theory, a equivalent proposition of Giuga conjecture was set up, and the demonstration in reference [1] was denied at the same time.

Giuga conjecture; Fermat theorem; prime number; equivalent proposition

1008-5564(2016)02-0001-03

2015-10-16

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題資助項目(D201301083);泰州學(xué)院校級重點課題資助項目(TZXY2014ZDKT007)

王能群(1974—)，男，江蘇泰興人，泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，主要從事基礎(chǔ)數(shù)論與數(shù)學(xué)教學(xué)課程論研究.

O156

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