湖南省人均GDP的模型建立與分析

張銳　姚晗

湖南省人均GDP的模型建立與分析

張銳姚晗

人均GDP是體現(xiàn)一個地區(qū)發(fā)展?fàn)顩r的綜合指標(biāo)。本文針對湖南省歷年人均GDP數(shù)據(jù)構(gòu)建混合時序模型，并預(yù)測下年人均GDP數(shù)值，揭示該省人均GDP的潛在發(fā)展規(guī)律，以此為地方政策的制定提供理論依據(jù)。

人均GDP；時間序列模型；ADF單位根檢驗(yàn)

一、引言

人均GDP既考慮了經(jīng)濟(jì)總量的大小，又很好的結(jié)合了人口因素的影響，所以它較為真實(shí)直觀的反映了一個國家或地區(qū)的發(fā)展水平，是一個很重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。因此深入分析該指標(biāo)的增長趨勢、波動規(guī)律有助于制定相應(yīng)的宏觀政策。

因?yàn)闀r間序列模型是依據(jù)自身數(shù)據(jù)出發(fā)研究其潛在關(guān)系，所以本文選取時間序列模型對湖南省人均GDP值進(jìn)行預(yù)測。本文針對湖南省1978-2012年人均GDP數(shù)據(jù)用Eviews統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行分析，并根據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系給出了相關(guān)模型和預(yù)測結(jié)果。

二、混合時序模型

（一）ARMA（p，q）模型

假定時間序列中部分是自回歸，部分是滑動平均，我們可以得到一個相當(dāng)普遍的時間序列模型。一般來說，如果稱｛xt｝為自回歸滑動平均混合模型，簡記為ARMA（p，q）。從一般表達(dá)形式可看出數(shù)據(jù)xt既和其滯后序xt-i（i=1，2 …p）列有關(guān)，也和滯后序列的誤差εt-i有關(guān)。此模型針對平穩(wěn)序列，否則應(yīng)先對原序列進(jìn)行處理，使其平穩(wěn)后再進(jìn)行模型建立。

（二）ARIMA模型

若某一時間序列為非平穩(wěn)序列，但進(jìn)行d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則有如下定義：若一個時間序列的d次差分是一個平穩(wěn)的ARMA過程，則稱為自回歸滑動平均求和模型。若yt服從ARMA（p，q）模型，我們稱是ARIMA（p，d，q）過程。ARIMA（p，d，q）模型的實(shí)質(zhì)就是將ARMA（p，q）模型和差分運(yùn)算進(jìn)行組合。

（三）混合時序模型

本文用傳統(tǒng)時序分析方法提取確定性因素，但只有確定性因素是不夠的，因?yàn)闀r序中還存在一些系統(tǒng)性因素以外的隨機(jī)變動因素，這些是不能用普通時序方法來分析的。隨著經(jīng)濟(jì)增長，隨機(jī)因素在經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中所占比重逐漸加大，并且這些隨機(jī)因素呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。因此我們在實(shí)際分析中應(yīng)將傳統(tǒng)時序分析方法和隨機(jī)分析方法結(jié)合起來建模，以此達(dá)到對時間序列信息的充分提取。因此本文擬建立混合時序模型，先用傳統(tǒng)時序方法模擬人均GDP序列中的確定性影響因素，擬合后所存在的誤差項(xiàng)反映的是其他一些隨機(jī)因素的綜合影響，它不滿足隨機(jī)誤差的經(jīng)典假設(shè)，會導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)沒有意義。所以本文對于誤差項(xiàng)再采用ARMA模型進(jìn)行擬合，以此來消除一般時間序列存在的序列相關(guān)性，以此達(dá)到修正傳統(tǒng)時間序列模型的目的。本文用的混合時序模型如下：

其中εt為白噪聲，μt為誤差項(xiàng)。

三、湖南省人均GDP預(yù)測模型的建立與分析

（一）樣本的選擇

本文利用湖南省1978-2012年的人均GDP數(shù)值進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)由《湖南省統(tǒng)計(jì)年鑒》整理得到。數(shù)據(jù)走勢圖呈現(xiàn)指數(shù)增長。為去除此種趨勢影響和避免異方差問題，可對其進(jìn)行對數(shù)處理。

（二）湖南省人均GDP模型的建立

走勢圖反映出對數(shù)化的人均GDP隨時間變化呈明顯規(guī)律性，設(shè)置如下兩種模型對原時間序列進(jìn)行擬合，用Eviews軟件進(jìn)行回歸得到：

從上述兩個模型的DW值可以看出兩個模型的殘差項(xiàng)均存在序列相關(guān)性，此時不能采用傳統(tǒng)最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，可以采用混合時序模型，用ARMA模型擬合殘差項(xiàng)，來消除殘差項(xiàng)序列相關(guān)性的負(fù)面影響。在用ARMA模型進(jìn)行擬合殘差項(xiàng)前要保證該序列為平穩(wěn)序列。若序列不平穩(wěn)，則要對該序列進(jìn)行差分，再擬合。本文用ADF檢驗(yàn)殘差序列的平穩(wěn)性。

結(jié)果顯示均通過了檢驗(yàn)，所以繼續(xù)用ARMA（p，q）模型對殘差序列進(jìn)行擬合。在擬合中要依據(jù)其自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)選擇p與q的具體值，并根據(jù)SIC準(zhǔn)則，進(jìn)行ARMA最優(yōu)模型選擇。將最優(yōu)模型分別與模型一、二結(jié)合，最后得到人均GDP混合時序模型分別為：

模型一對應(yīng)的最終混合時序模型為：

模型二對應(yīng)的最終混合時序模型為：

第三個模型的t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)均符合條件，但模型四的t2系數(shù)較為不顯著。通過擬合效果圖得出混合時序模型都較好的反映了真實(shí)序列的相關(guān)信息。

（三）模型檢驗(yàn)

（1）參數(shù)顯著性檢驗(yàn)：相關(guān)結(jié)果表明模型三通過了顯著性檢驗(yàn)，模型四的t2系數(shù)不顯著，但整體系數(shù)顯著。（2）系數(shù)整體顯著性檢驗(yàn)：相關(guān)結(jié)果表明均通過了F檢驗(yàn)。（3）相關(guān)性檢驗(yàn)：在模型三和四中DW值都大約為2，代表殘差項(xiàng)不存在一階自相關(guān)性。然后繼續(xù)進(jìn)行LM檢驗(yàn)，得出兩個模型的殘差序列不存在多階序列相關(guān)性。

綜上所述，模型三、四均通過了模型檢驗(yàn)，我們用其對已知的2013年湖南省人均GDP值進(jìn)行預(yù)測，后將預(yù)測值與真實(shí)值對比，來選擇最優(yōu)的模型對其擬合。2013年湖南省人均GDP真值為36763元，用模型三進(jìn)行預(yù)測結(jié)果為38376元，相差1613元，用模型四進(jìn)行預(yù)測結(jié)果為35513元，相差1250元?？梢悦黠@看出模型四預(yù)測精度較高，所以選模型四擬合該序列。

（四）預(yù)測2014年湖南省人均GDP數(shù)值

通常構(gòu)建模型中使用的數(shù)據(jù)較少，且時間序列反映的為短期變化情況，因此只適合進(jìn)行短期預(yù)測，在此我們只預(yù)測2014年數(shù)值。進(jìn)行短期預(yù)測時選擇模型四的形式，用已知的1978-2013年的湖南省人均GDP值對未知的2014年人均GDP值進(jìn)行預(yù)測。經(jīng)計(jì)算得2014年湖南省人均GDP的值為38445元。今后每經(jīng)過一年就可以得到一個新的實(shí)際數(shù)據(jù)，即增加一個樣本觀測值，按上述方法重新擬合，后再用新的模型對后續(xù)幾年預(yù)測，以此得到較高精度。

四、結(jié)語

本文用時間序列混合模型對湖南省人均GDP值進(jìn)行擬合。經(jīng)研究得出模型四較好的擬合了湖南省人均GDP值，預(yù)測精度較高。并隨樣本數(shù)據(jù)的增加，會不斷對模型進(jìn)行修正，使模型預(yù)測精度逐漸提高，因此可以認(rèn)為該模型較好的反映了湖南省經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r。

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（作者單位：湖南科技大學(xué)商學(xué)院）