在變與不變中理解“倍”的實質(zhì)
——“倍的認識”教學實踐與思考

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學校（215021） 應秀峰

在變與不變中理解“倍”的實質(zhì)
——“倍的認識”教學實踐與思考

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學校（215021） 應秀峰

“倍”概念的認識，是一個操作中的理解和理解中的操作、表述中的理解和理解中的表述的過程，是一個變化中有不變、不變中有共變的過程，是一個幫助學生逐漸抽象、領悟?qū)嵸|(zhì)的過程。學生正是在不斷地對比與抽象中把握了“倍”的概念，理解了“倍”的實質(zhì)。

變與不變幾何直觀函數(shù)思想核心素養(yǎng)倍

“倍的認識”是“數(shù)與代數(shù)”領域中的一節(jié)概念課。數(shù)學概念的“倍”是兩數(shù)比較的一種關系，是在比較多少的數(shù)量關系認識基礎上的一次飛躍。學生在生活中接觸“倍”的機會很少，認識“倍”的渠道也很狹窄，缺少“倍”的準確表象，而“倍”的概念又相對比較抽象，再加上學生容易受兩數(shù)相差關系的干擾，其教學難度之大顯而易見。課堂教學中，以哪種操作素材和什么樣的操作要求引領學生進行數(shù)學活動呢？以什么樣的變式學習拓展學生的思維寬度呢？以什么樣的方式使抽象的概念直觀化、形象化、簡約化，適合學生的學習呢？這些問題的有效解決，將是教學“倍”的重點和難點?；诤瘮?shù)思想的理解，“倍”表示兩個集合之間相對應的關系——一個和多個的關系，體現(xiàn)函數(shù)中“共變”現(xiàn)象與“變中有不變”的思想方法。因此，要理解“倍”的實質(zhì)，就要研究“倍”的“共變”現(xiàn)象和“變中有不變”的思想。

一、用“變與不變”的觀點解讀教材內(nèi)容，架構(gòu)“倍”的框架

橫向比較人教版和蘇教版數(shù)學教材中有關“倍”的內(nèi)容編排，發(fā)現(xiàn)共同之處都是在學習乘法之后認識“倍”，例題呈現(xiàn)的都是幾倍（如3倍、4倍、5倍等）的內(nèi)容，不僅創(chuàng)設了“小兔吃蘿卜”“小朋友數(shù)花”等情境，而且提出了三種物品在數(shù)量上有什么關系的問題，把學生的思考引向兩個數(shù)量之間的比較，并順學而導，抽象出用除法解決“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的問題?？v向比較2002版數(shù)學實驗教科書和2013版義務教育教科書的蘇教版數(shù)學教材，發(fā)現(xiàn)兩個版本教材的主題圖相似。如2013版數(shù)學教材增加了“你能比一比這三種花的朵數(shù)嗎”的內(nèi)容，從兩數(shù)相差關系引入，引導學生進一步學習兩數(shù)的倍比關系，便于學生把“倍”的認識放在兩個數(shù)量關系的整體知識體系中，完善自身的結(jié)構(gòu)性知識；增加了“紅花的朵數(shù)是藍花的幾倍？先圈一圈，再填一填”的內(nèi)容，使學生明確圈、填的操作指向；增加了“藍花有2朵”的內(nèi)容，使學生對“倍”的語言表述更加嚴謹、準確。

對人教版和蘇教版兩個版本教材的橫向比較及數(shù)學實驗教科書與蘇教版教材的縱向比較之后，為了讓學生能從源頭上感受“倍”的意義，我設計了以下的三大框架：標準量不變，比較量變化，引起倍數(shù)的變化；比較量不變，標準量變化，引起倍數(shù)的變化；倍數(shù)不變，標準量和比較量的“共變”現(xiàn)象。

二、在學情調(diào)研中了解“倍”的學習起點，醞釀“倍”的教學設計

設計簡單的學情調(diào)研單，同時提出以下兩個常見的問題：（1）聽說過“倍”嗎？如果你沒有聽說過“倍”，請在（ ）里打“√”；如果你聽說過“倍”，那知道“倍”是什么意思嗎？請列舉一個或多個例子。（2）關于“倍”，你想了解什么？請寫出來。

從學情調(diào)查中可以看出，學生對“倍”的概念接觸較少，幾乎沒有任何經(jīng)歷和體驗，再加上“倍”的概念比較抽象，所以“倍”的學習對學生而言難度較大。但從第（2）個問題去看，學生對“倍”了解的越少，也就越想揭開“倍”的神秘面紗，探究的欲望更強烈。那么，如何將“倍”的學習變成學生看得見、摸得著、能理解的數(shù)學事實呢？如何精選不同的學習素材，讓學生通過有效的操作、思考、辨析，在變與不變之中理解“倍”的實質(zhì)？

三、在操作素材的甄選與變更中提高操作時效，理解“倍”的內(nèi)涵

1.操作素材的甄選

選擇怎樣的學習素材更符合學生的認知特點？“倍”的教學經(jīng)歷數(shù)次變化，前幾次都是尊重蘇教版教材的編排，采用例題中的情境，用多媒體動畫呈現(xiàn)，引導學生在圈圈、填填、算算中學習“倍”，但是學生的語言表述是生硬的，對“倍”的理解也比較淺顯?？梢姡@樣的學習僅是表面上的理解。后幾次的教學，讓學生用小棒操作，以三根小棒為一份擺一擺，學生多樣化的操作（如下圖）令人眼前一亮，如有擺成三角形的，有三根小棒緊挨著擺的，也有將小棒分開排列的。

圖①　

圖②

圖③

這里把三根小棒看作一份，學生會很自然地想到一個整體，也從心理上認同為一份，并能自主形成一份的表象，然后建立兩份、三份的表象，最后在學生的腦海里形成兩倍、三倍的直觀模型。正是基于學生已有的經(jīng)驗，我才把學習素材改成小棒，并在學生建立“倍”的直觀形象后，進一步展示彩帶、線段、櫻桃、草莓、圓片等多種素材，促使學生的關注點落在兩個量的比較上，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象的過程，幫助學生理解和感悟什么是“倍”。

2.操作層次的遞進

有了操作素材的比較、確定后，在操作層次上遵循由簡單到復雜的規(guī)律，層層深入，環(huán)環(huán)緊扣，引導學生逐步建構(gòu)“倍”的表象，逐漸抽象出“倍”的概念，理解“倍”的內(nèi)涵，把握“倍”的實質(zhì)。

第一層次：標準量不變，比較量變化，引起倍數(shù)的變化。

（1）如圖④，師生共同擺小棒，喚醒1份的經(jīng)驗，認識1倍。

（2）如圖⑤，扶放結(jié)合擺小棒，喚醒2份的經(jīng)驗，認識2倍。

（3）如圖⑥，根據(jù)要求擺小棒，喚醒3份的經(jīng)驗，認識3倍。

圖④　

圖⑤

圖⑥

第二層次：比較量不變，標準量變化，引起倍數(shù)的變化。

第二行的根數(shù)是第一行的（ ）倍

第三層次：倍數(shù)不變，標準量和比較量的“共變”現(xiàn)象。

在不同擺法中，凸顯“倍”的實質(zhì)，使學生深刻感悟：雖然學具、操作、想象等不同，但實質(zhì)上是相同的，即一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍，就有這樣的2份。簡單的表述，是學生對“倍”的自主理解。

（1）（）是（）的2倍。

（2）（）是（）的（）倍。

這樣教學，既調(diào)動了學生思考的積極性，給予學生開放性的探究時空，又激活了學生的思維，滿足了學生個性化的學習需求。

四、在“乘法倍”與“除法倍”中尋找結(jié)合焦點，溝通“倍”的聯(lián)系

“乘法倍”和“除法倍”是側(cè)重于“幾個幾”與“幾倍”的關系，還是偏向于“份”和“倍”的關系？“乘法倍”和“除法倍”的分類不重要，重要的是“倍”的實質(zhì)與內(nèi)涵，強調(diào)的是概念意義的系統(tǒng)建構(gòu)，關鍵是要溝通“倍”與乘除法之間的聯(lián)系。在這里，“倍”與除法的關系為“平均分中的每一份同樣多，有幾份，就有這樣的幾倍”，“倍”與乘法的關系為“有幾個相同的加數(shù)，就有這樣的幾倍”。這里面有共同的一點，即1份量是唯一的，在“倍”中1份量都是同樣多的。在“倍”與乘除法的聯(lián)系上，讓學生對“倍”的意義進行列舉、闡述，不管學生的表述是否規(guī)范或非常簡略，只要是學生基于自己理解上的表述和表述中的理解即可，至于是“乘法倍”還是“除法倍”就不是那么重要了。

五、在“1倍”和“多倍”的認識中調(diào)整學習順序，凸顯“倍”的實質(zhì)

總之，“倍”概念的認識，是一個操作中的理解和理解中的操作、表述中的理解和理解中的表述的過程，是一個變化中有不變、不變中有共變的過程，是一個幫助學生逐漸抽象、領悟?qū)嵸|(zhì)的過程。學生正是在不斷地對比與抽象中把握了“倍”的概念，理解了“倍”的實質(zhì)。

（責編藍天）

G623.5

A

1007-9068（2016）23-030