行走在數(shù)學(xué)與兒童之間
——張齊華老師“解決問題的策略”教學(xué)實錄及評析

江蘇南京市北京東路小學(xué)（210018） 張齊華江蘇南京市長江路小學(xué)（210018） 周衛(wèi)東

行走在數(shù)學(xué)與兒童之間
——張齊華老師“解決問題的策略”教學(xué)實錄及評析

江蘇南京市北京東路小學(xué)（210018） 張齊華
江蘇南京市長江路小學(xué)（210018） 周衛(wèi)東

張齊華老師教學(xué)“解決問題的策略”這一課，展現(xiàn)了“一一列舉”的策略這一內(nèi)容是可以上出濃濃的“數(shù)學(xué)味”的。張齊華老師的課是一節(jié)“準、深、透、高”的數(shù)學(xué)課。

解決問題的策略一一列舉策略機理數(shù)學(xué)思想

【課堂回放】

一、課前探索，組內(nèi)分享

師：王大伯想用22根1米長的木條，圍一個面積為20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務(wù)嗎？課前，同學(xué)們已經(jīng)就這一問題進行了深入思考與探索，下面請大家先在小組里交流各自的方法和結(jié)論。如果出現(xiàn)不同的見解，可以嘗試進行討論、協(xié)商，實在說服不了對方的，待會可以在全班范圍內(nèi)進行交流。

師：通過課前的研究，大家覺得王大伯的任務(wù)能夠完成嗎？

師：看來，在能與不能上，大家還存在分歧?，F(xiàn)在請覺得王大伯可以完成這一任務(wù)的同學(xué)帶著作品到講臺上來給大家展示和匯報。

二、全班交流，建構(gòu)策略

生1：我覺得王大伯可以完成任務(wù)。我?guī)退O(shè)計了長5米、寬4米的長方形，剩下的4米可以放在一邊。（如圖1）

圖1　

生2：我嘗試了各種方法，發(fā)現(xiàn)都不行。后來我仔細研究了題目，發(fā)現(xiàn)里面并沒有說不能靠墻。所以，我決定讓這個長方形花圃一面靠墻，這樣，它的長可以是20米，寬1米，正好用去22根木條，而面積也正好是20平方米。（如圖2）

圖2　

生3：我的方法和他們的都不一樣。我覺得圍一個花圃，四周至少需要1根木條豎著作支撐，這樣一來，22根木條只剩下18根。而18根木條正好可以圍成一個長5米、寬4米的長方形，面積正好是20平方米。（如圖3）

圖3　

師：看得出來，三位同學(xué)都特別想幫助王大伯解決這一問題。面對這三種方法，能否給出你們的評價？

生4：我不太同意生1的方法。因為題目中說得很清楚，22根木條都要用掉，不能有剩余。他圍成長方形后，還剩下4根木條，所以他的方法不符合題目的要求。

生5：我不贊成生2的方法。因為題目中并沒有說允許靠墻，而是說，就用22根木條來圍一個20平方米的長方形花圃。所以，一邊靠墻是不合適的。

生6：我也覺得不行。如果允許一邊靠墻的話，那么，方法就不只是這一種，比如長10米、寬2米也能圍出面積為20平方米的長方形花圃。

生7：如果允許靠墻的話，那么還可以靠兩面墻、三面墻，這樣的討論就沒有意義了。所以，題目沒有提示有沒有墻，其實就是默認不能靠墻。

師：看來，大家對于生2的方法基本也是持否定的態(tài)度。那么，生3的方法呢？

生8：生3的方法有點像腦筋急轉(zhuǎn)彎。他竟然讓木條站了起來。（學(xué)生大笑）

生9：我覺得生3的方法很有創(chuàng)意，但有一個問題，既然可以在四個角落里各豎1根木條，那我們也可以在別的地方繼續(xù)豎一些。這樣，符合要求的情況也就越來越多，這個問題也就失去討論的意義了。所以，我還是不太贊成讓木條豎起來。

師：不管怎么說，這三位同學(xué)都在想盡一切辦法幫助王大伯解決問題。只是有些解決方式不太被大家接受。如果我們將問題表述得更清楚，就用22根木條平著圍一個長方形花圃，不能剩余、不許折斷，也不借助其他任何條件，能夠圍出面積為20平方米的長方形花圃嗎？

生（齊）：不能！

師：我們都知道，22根木條可以圍出多種不同的長方形，為什么你們覺得不能？能否展示出你們研究和思考的過程？接下來的時間，每一位同學(xué)展示完畢后，臺下的同學(xué)可以給出相應(yīng)的評價和建議。

生10：我試了一下，如果長是7米，那么寬就得4米，但這個長方形的面積是28平方米，不符合要求。所以我覺得王大伯的要求不可能實現(xiàn)。（如圖4）

圖4　

生11：我反對。雖然我也覺得這個任務(wù)不能實現(xiàn)，但你只舉一個例子是不能說明問題的，因為周長為22米的長方形有好幾種，萬一有一種長方形的面積正好是20平方米呢？

師：能給大家展示一下你的作品嗎？

生11：我先用22除以2，發(fā)現(xiàn)這個長方形的長和寬的和是11米。然后，我想辦法把11分成兩個數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)只有這五種分法，但這五種分法得出的長方形面積都不是20平方米。所以，我認為王大伯的任務(wù)沒法完成。（如圖5）

圖5　

圖6　

生12：我的方法和他的很相似，只不過我是列表的。通過列表，我也發(fā)現(xiàn)周長為22米的長方形有五種情況，但每一種長方形的面積都不是20平方米。所以，我也覺得王大伯的任務(wù)不可能完成。（如圖6）

生13：我發(fā)現(xiàn)他們都是按順序舉例的，比如長方形的寬，從1一直列舉到5，一個比一個大，而長方形的長從10一直列舉到6，一個比一個小。

生14：我覺得按這樣的順序舉例有一個好處，就是不容易遺漏。如果不按順序，弄不好就會漏掉某一種情況。

師：說得真好！看來，列舉時我們要按一定的順序進行。不過，我有一個疑惑，為什么非要把所有情況都列舉出來，列舉兩三種情況不能說明問題嗎？

生15：不行。既然要說明不能實現(xiàn)，就得把所有情況都列舉出來，并且對所有情況進行一一驗證。只有這樣，才能說明王大伯的任務(wù)不能完成。如果漏掉一種，而這一種情況正好是符合要求的，那就麻煩了。

師：看來，為了解決問題的需要，我們在列舉時，不僅要按順序，而且還得把所有情況都列舉出來，在數(shù)學(xué)上，這就叫一一列舉。（板書：有序一一列舉）還有沒有不同的方法需要展示的？

生16：我也是一一列舉的，但我是根據(jù)面積來列舉的。我發(fā)現(xiàn)，面積是20平方米的長方形只有三種情況（如圖7）。通過計算，我發(fā)現(xiàn)它們的周長都不可能是22米，所以，王大伯的任務(wù)不可能完成。

圖7　

生17：我先對生16的作品提一點建議。我覺得他在列舉時沒有按一定的順序，所以有點亂，如果把長20米的長方形放在第一個，這樣看起來更清楚。另外，我也是從面積入手進行思考的，只是我沒有列表，而是直接畫圖。（如圖8）通過畫圖，我發(fā)現(xiàn)面積為20平方米的長方形的周長不可能是22米，所以，王大伯的任務(wù)不可能完成。

圖8　

師：看來，一一列舉，列表、畫圖、算式等方法都是可行的。老師帶來了一位同學(xué)列舉的情況（如圖9），但結(jié)果和你們的略有不同。

圖9　

生18：我覺得他的列舉有問題，比如1號長方形，長是1米，寬卻是20米，這樣的長方形是不存在的。

生19：我覺得他列舉時重復(fù)了。比如這里的③號和④號長方形，一個長5米、寬4米，另一個長4米、寬5米，其實這兩個長方形是一樣的。所以，我覺得他列舉的前面三種可以去掉，只留后面三種就可以了。

師：通過他的列舉，你們又有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生20：列舉時不僅要有序、不遺漏，同時也要做到不重復(fù)。

生21：一一列舉時，要把所有符合情況的長方形一個不多、一個不少地一一列舉出來，這才是最好的。

三、深入觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)，一一列舉是解決問題的一種有效策略。正是借助一一列舉的策略，我們知道王大伯的這一任務(wù)是沒法完成的。不過，仔細看一下同學(xué)們解決問題時所列的表格（如圖10），一個是周長確定、面積在變化，另一個是面積確定、周長在變化。仔細觀察圖中長方形的長、寬、周長和面積的變化，有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

圖10　

生1：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長方形的周長不變時，長和寬離得越遠，面積越??；長和寬越接近，面積越大。比如前面一張表中，從前往后，長和寬的距離越來越接近，它們的面積就越來越大。反過來看，也是一樣的。

師：顯然，通過有序的列舉，我們還很容易從中發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律呢。

生2：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長方形的面積不變時，長和寬越接近，周長就越小；長和寬差距越大，周長就越大。（教師板書規(guī)律）

師：所有的長方形都符合這兩條規(guī)律嗎？如果繼續(xù)研究，你會怎么做？

生3：我會繼續(xù)找一些長方形，讓它們周長相等，看看它們的面積會怎么變；然后再找一些長方形，讓它們面積相等，看看它們的周長又會怎樣變化。

師：請大家自己確定數(shù)據(jù)，繼續(xù)驗證這一規(guī)律是否也適用于別的長方形。

（學(xué)生小組內(nèi)進行研究與驗證）

四、實踐拓展，應(yīng)用策略

師：這里還有兩個問題，你能嘗試著用今天所學(xué)的策略進行思考嗎？

（1）一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10分，投中中圈得8分，投中外圈得6分。小林投中了兩次，他可能得多少分？

（2）兩枚硬幣同時拋起，落地后會出現(xiàn)幾種不同的情況？

師：通過研究，你覺得小林最終的總分可能有幾種情況？

生1：我覺得一共有10種情況（如圖11），兩次都投中的有6種，只投中1次的有3種，兩次都沒投中的有3種，6+3+1=10種。

圖11　

生2：題目中明明說了投中兩次，所以，后面的4種情況根本不需要討論。如果是投了兩次，那么就有10種情況。

生3：我覺得不應(yīng)該是6次，而是5次。10+6=16，8+ 8=16，兩次的總分是一樣的，所以可以看作是同一種結(jié)果。

師：看來，在解決這樣的問題時，我們要審清題意，不能粗心大意；另一方面，在進行一一列舉時，還要根據(jù)問題的要求，不能重復(fù)和遺漏。

生4：對于第二個問題，我覺得一共分3種情況，分別是正正、反反和一正一反。

生5：我反對。應(yīng)該有4種情況，分別是正正、反反、正反和反正。

（面對究竟是3種情況還是4種情況，學(xué)生展開了激烈地爭論。最終，教師給出了如下建議：

建議1：給兩枚硬幣分別標(biāo)上號碼，一枚是1號硬幣，另一枚是2號硬幣。

建議2：試著用兩枚硬幣投一投，看看最終出現(xiàn)的正正、反反和一正一反這三種情況是否次數(shù)差不多。如果差不多，就說明這是三種情況；如果一正一反更多些，則說明一正一反包含著正反和反正兩種情況。

學(xué)生就上述兩個問題進行再探索，隨后匯報。）

生6：通過研究發(fā)現(xiàn)，一正一反應(yīng)該包含兩種情況。我們給硬幣標(biāo)上號碼后，發(fā)現(xiàn)實際上會出現(xiàn)這樣四種情況：1號正面和2號正面、1號反面和2號正面、1號反面和2號正面、1號反面和2號反面。沒有標(biāo)號碼時，我們還以為一正一反就是一種情況。一標(biāo)上號，我們才發(fā)現(xiàn)原來是不一樣的。

師：一一列舉時，我們還要細致地去分析和思考。

生7：我們小組進行了實驗，一共投了40次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，一正一反是21次，差不多正好是正正、反反兩種情況的總和。我們猜測，一正一反應(yīng)該包含正反和反正兩種不同的情況。

師：所以，如果一一列舉出現(xiàn)問題時，實驗也不失為一種好的策略，它可以讓我們對問題的思考更清晰、更準確。

【要點評析】

聽張齊華老師的課，是一種享受。能為他的課點評，是我所愿意的！

張齊華老師關(guān)于“解決問題的策略”一課的教學(xué)，正是在深刻洞悉教學(xué)內(nèi)容意蘊的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)著符合自身教學(xué)追求和風(fēng)格的一種完美呈現(xiàn)，給我們帶來了一種由內(nèi)而外的心潮激蕩和內(nèi)心震撼。細細品味，收獲頗豐，顯然，這是一節(jié)“準、深、透、高”的數(shù)學(xué)課。

一、準：關(guān)注策略機理的形成過程

美國著名的數(shù)學(xué)教育家赫斯認為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠解決不了教學(xué)上的爭議。”數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性。對策略的體驗與理解，是學(xué)生形成解決問題的策略的中心環(huán)節(jié)，亦是保底環(huán)節(jié)，必須讓學(xué)生充分經(jīng)歷策略機理的形成過程，在“理”上做足文章。張齊華老師的這節(jié)課，一方面，重視讓學(xué)生探索相關(guān)解題策略的思考流程與操作步驟，另一方面，引導(dǎo)學(xué)生逐步把握相關(guān)策略的主要含義與基本特征，讓學(xué)生在充分親歷應(yīng)用相關(guān)策略解決問題的探索過程中，獲得對解決問題策略的直觀感受，并形成初步的理性認識，逐步完成對策略的自主建構(gòu)。為幫助學(xué)生理解“一一列舉”的策略機理，張齊華老師安排學(xué)生進行前置性研究，給予學(xué)生充裕的時間和空間進行探索，以獲得充分的感性認識和活動經(jīng)驗，然后在課堂上對“木條多余”“利用圍墻”“添加支架”等“原生態(tài)”的錯例進行剖析，并加以提煉和升華，幫助學(xué)生建立“吃透、吃準有用信息是建構(gòu)策略的前提”的心理基礎(chǔ)，再通過算式、列表、畫圖等途徑，從計算周長的維度找到問題的答案，最后，再從計算面積的維度反證“王大伯的任務(wù)不可能實現(xiàn)”的推想。三大環(huán)節(jié)的正推反證，逐層推進，形成了強大的“思維場”，促進了學(xué)生對策略機理的深度理解，并對知識實現(xiàn)有效的建構(gòu)。

二、深：關(guān)注數(shù)學(xué)思想的有機滲透

每個數(shù)學(xué)知識都兼有事實性、概念性、方法性、價值性四個方面。知識的事實性指人們在日常生活中對此的感悟和總結(jié)；沒有概念去概括，客觀的事實或現(xiàn)象只能是經(jīng)驗；沒有方法去運用，概念或原理只能是詞語符號；沒有價值取向的揭示，方法只能是機械的步驟，而這種價值取向，更多地聚焦于揭示數(shù)學(xué)知識背后的靈魂——數(shù)學(xué)思想。

對于“解決問題的策略”版塊的教學(xué)，許多教師把教學(xué)目標(biāo)定位于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“如何列舉”“如何畫圖”等具體的方法，而忽視了對課程標(biāo)準中關(guān)于“體會策略的價值”“增強學(xué)生使用策略的意識”的教學(xué)建議和要求。其實，解決問題的策略不僅僅對應(yīng)的是某一種具體的方法，其背后蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。如，畫圖，蘊含數(shù)形結(jié)合的思想和具體畫圖的方法；倒推，蘊含過程或者運算的可逆性思想以及相應(yīng)的互逆思想；替換，蘊含過程中不變量的思想和相對應(yīng)的等量關(guān)系……

在張齊華老師看來，方法、策略、思想是三個遞進的層次，數(shù)學(xué)方法上升到一定的高度形成策略，數(shù)學(xué)策略的進一步凝練并形成了數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心元素。眼界決定境界，高度決定力度，因而，張齊華老師的數(shù)學(xué)課總是充滿著濃濃的“思想味”而煥發(fā)出無窮的張力。在本課中，圍繞“周長是11米”這一條件，讓學(xué)生對各種可能的方法進行排序，突出“有序”“一一列舉”，滲透了分類思想；把各種周長等于11米的算式與相應(yīng)的圖形進行匹配，讓學(xué)生感受一道算式對應(yīng)著一種長方形，滲透了對應(yīng)的思想；對各種可能的算式進行排序后進行對比，得出“一個因數(shù)在依次增大，另一個因數(shù)在依次減小，而兩個因數(shù)的和是不變的”的結(jié)論，滲透了“變與不變”的思想；在第一個學(xué)生回答“如果長是7米、寬是4米，面積不等于20平方米，所以王大伯的愿望不可能實現(xiàn)”的結(jié)論后，引導(dǎo)學(xué)生萌發(fā)“你只舉了一個例子是不能說明問題的，因為周長是22米的長方形有好幾種，萬一另外有一種長方形的面積正好是20平方米呢？”的辯證思想，幫助學(xué)生形成初步的邏輯推理、科學(xué)歸納的意識。

三、透：關(guān)注知識教學(xué)的隱性價值

“教學(xué)追求被吸引，美麗的風(fēng)景在遠方?！睆堼R華老師深知：每一種策略都具有“戰(zhàn)略”思想價值，也就是說，它背后有著更強大的現(xiàn)實意義和運用意義。因而他倡導(dǎo)：學(xué)習(xí)每一種策略，都要力求揭示這種策略的價值和意義，不僅讓學(xué)生了解到運用策略能夠解決一些典型的問題，還要力求找尋知識的“附加值”，尋找知識的隱性教學(xué)功能，帶領(lǐng)學(xué)生體會那種登高遠眺、一覽眾山小的快感。

教材中的例題是“王大叔用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”張齊華老師把它改編成“王大伯想用22根1米長的木條，圍一個面積20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務(wù)嗎？”文字變化似乎不大，但細細琢磨，深感意蘊無窮。稍稍改動，例題就有了較大的“增值”空間：原本的例題，只要在周長維度上實現(xiàn)列舉，就能找到面積最大的一種狀態(tài)，而改編后的問題，不僅具有原來的功能，而且還可以從面積的維度來反證列舉的各種可能；原本的例題，以直白的求解的姿態(tài)呈現(xiàn)，而改編后的問題，以“你覺得他能完成這一任務(wù)嗎？”這種“判斷式”的方式呈現(xiàn)，又使思考、求解的路徑多了許多；原本的例題帶來的只有“周長確定，面積在變化”的規(guī)律，而改編后的例題，除此之外還多了“面積確定，周長在變化”的規(guī)律。

在練習(xí)階段，張齊華老師精心設(shè)計了“兩枚硬幣同時拋起，落地后，會出現(xiàn)幾種不同的情況？”這一問題，題目雖短但卻掀起“軒然大波”：究竟是正正、反反和一正一反共3種情況，還是正正、反反、正反和反正共4種情況？正反與反正是一種情況還是兩種情況呢？再次“撩”起學(xué)生的興趣和探求欲。這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生在鞏固應(yīng)用了“一一列舉”策略的同時，更為深刻地理解了在“一一列舉”中可能涉及的概率問題。

這樣的設(shè)計，不是奔著理解某個知識點或找到一種解決問題的方法的單一目標(biāo)“匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣賞啊”的從容心態(tài)，有著更為宏觀的學(xué)科視野。

四、高：關(guān)注教學(xué)方式的根本改變

就傳統(tǒng)的課堂教學(xué)狀況，數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾戲稱：“每一個人都在睡覺，僅有一個人在講，這種狀態(tài)就是教學(xué)?！迸笥讶锏耐袀円苍谡{(diào)侃：所謂數(shù)學(xué)課，就是一個人的狂歡，一群人的寂寞。毋庸諱言，當(dāng)前的數(shù)學(xué)課走進了一個怪圈，要走出這個怪圈，需要勇氣，需要才氣，更需要底氣。這些，張齊華老師做到了，“張齊華老師義無反顧地轉(zhuǎn)身了，如果他不轉(zhuǎn)，我們就欣賞不到今天這么精彩的課了。你看，張齊華老師都把課堂還給學(xué)生了，我們還死死把控著課堂的每個環(huán)節(jié)，何苦呢？”（陳洪杰，《小學(xué)教學(xué)》2016年第1期）

在這節(jié)課中，張齊華老師“訥于言而敏于行”，話真的很少，沒有了我們所習(xí)慣的且嘆為觀止的“張齊華老師式”語言，更多的是一些提示性的、啟發(fā)式的、鼓勵式的提示語。張齊華老師很善于“造勢”，讓兒童充分表達各自的所思所想，并“順其勢而改其路，四兩撥千斤”，這種相機穿插于兒童自主學(xué)習(xí)過程中的引導(dǎo)，具備整體觀，做到“服務(wù)兒童的學(xué)，促進兒童的學(xué)”，而不是“遮蔽兒童的學(xué)，替代兒童的學(xué)”。

美國經(jīng)濟學(xué)界和政界劃時代的學(xué)者約翰·肯尼思·加爾布雷有一句名言：“當(dāng)人們證明改變思想和沒有必要改變思想的選擇時，人人都忙著證明后者?！笔堑?，思想的改變才是行動改變的前提。張齊華老師課堂的改變，讓我們承認，學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是學(xué)生自己的事情，教學(xué)所應(yīng)發(fā)揮的作用應(yīng)該是幫助、促進和催生，而不是替代；讓我們承認，教學(xué)促進學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，興趣和好奇心、方法與能力對學(xué)習(xí)力的培養(yǎng)至關(guān)重要；讓我們承認，學(xué)習(xí)不只是知識的累積，更是自我的完善與創(chuàng)造，只有會學(xué)習(xí)、會思考、會探索，愛提問、愛溝通、愛合作、善交流，學(xué)生的靈性才能得到舒展，智慧才能得到綻放。

（責(zé)編金鈴）

G623.5

A

1007-9068（2016）23-003