基于有限元仿真的形狀記憶聚合物弓絲初始正畸力分析

仵健磊 劉云峰* 彭 偉 林文武 徐立新

1(浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310014)2(浙江工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，杭州 310014)

基于有限元仿真的形狀記憶聚合物弓絲初始正畸力分析

仵健磊1劉云峰1*彭 偉1林文武1徐立新2

1(浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310014)2(浙江工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，杭州 310014)

正畸治療過(guò)程中，臨床常用鎳鈦金屬弓絲對(duì)人體存在潛在的毒性作用，且缺乏美觀性；相比之下形狀記憶聚合物(SMP)材料因其良好的力學(xué)性能、易成形、美觀性，在正畸中受到越來(lái)越多的重視。而形狀記憶聚氨酯(SMPU)作為一種典型的SMP材料，其在正畸治療效果方面的研究尚不充分，所能提供的矯治力大小有待進(jìn)一步探究。在正畸矯治力研究中，臨床口內(nèi)檢測(cè)非常困難，有限元分析技術(shù)是目前最主要的研究手段。針對(duì)上述問(wèn)題，基于Tobushi一維SMP本構(gòu)方程，參照粘彈性材料標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性模型構(gòu)建了SMP材料的三維本構(gòu)方程，并利用FORTRAN語(yǔ)言編寫(xiě)了可用ABAQUS調(diào)用的UMAT子程序；參照正畸臨床數(shù)據(jù)，利用三維建模軟件建立了包括牙齒、托槽、弓絲在內(nèi)的三維有限元模型，以側(cè)切牙、尖牙為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)弓絲施加不同形式的變形，得出SMPU弓絲形變量為3 mm時(shí)產(chǎn)生的初始正畸力大小為0.06～0.55 N。結(jié)果表明， SMPU弓絲提供的初始正畸力與臨床認(rèn)為的最佳正畸力相比略為偏小，適合正畸治療的第一階段；但SMPU材料的力學(xué)性能還有進(jìn)一步提升改善的空間，在正畸領(lǐng)域具有較高的潛在應(yīng)用價(jià)值。

正畸力；形狀記憶聚合物(SMP)；有限元；弓絲

引言

目前，正畸治療過(guò)程中矯治器多采用金屬弓絲矯治器，其中以鎳鈦弓絲矯治器最為常見(jiàn)。鎳鈦弓絲相比于其他金屬弓絲具有很好的力學(xué)性能及生物相容性，且具有形狀記憶功能，可以達(dá)到很好的治療效果。然而，有研究表明鎳鈦合金中的鎳元素在人體口腔復(fù)雜的環(huán)境下會(huì)發(fā)生腐蝕，釋放有毒的鎳離子，從而對(duì)人體產(chǎn)生毒性作用[1]，這引起了醫(yī)生和患者的廣泛關(guān)注；另一方面，金屬弓絲由于不透明，難以滿(mǎn)足人們?cè)诳谇徽麜r(shí)對(duì)美學(xué)方面越來(lái)越高的要求。

為此，有學(xué)者提出將形狀記憶聚合物(shape memory polymer,SMP)材料應(yīng)用于弓絲，比如形狀記憶聚氨酯(shape memory poly are thane, SMPU)[2]，其具有良好的力學(xué)性能[3]及生物相容性[4-5]，很容易通過(guò)注塑模、擠壓等方式獲得所需要的特殊形狀[6]，并且SMP為無(wú)色透明材料，具有很好的美學(xué)效應(yīng)。但SMP作為一種新型聚合物材料，其正畸治療過(guò)程中所能提供的正畸力大小尚不明確。Yong等針對(duì)SMP材料在正畸領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究[2]，主要方式為基礎(chǔ)材料實(shí)驗(yàn)和蠟?zāi)y(cè)試，實(shí)驗(yàn)中的不確定因素較多，SMP弓絲形變所能產(chǎn)生的正畸力尚需要進(jìn)一步考證。在正畸矯治力研究中，口內(nèi)檢測(cè)非常困難，有限元分析技術(shù)是目前最主要的研究手段，為此本研究利用有限元的方法通過(guò)仿真正畸治療過(guò)程中SMPU弓絲的變形，檢測(cè)SMPU弓絲產(chǎn)生的初始正畸力，為臨床治療提供理論參考。

為探究新型SMPU弓絲在正畸過(guò)程中提供的初始正畸力大小，構(gòu)建了包括上頜牙齒、托槽、弓絲在內(nèi)的正畸有限元模型，并在Tobushi等在一維本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，建立了SMP材料的三維本構(gòu)方程[7-8]。以上頜側(cè)切牙、尖牙為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)弓絲施加不同形式的變形，分析在上頜側(cè)切牙和尖牙存在唇舌向水平方向錯(cuò)位以及存在唇舌向與牙根冠向交叉方向錯(cuò)位時(shí)，SMPU弓絲由于形變所產(chǎn)生的初始正畸力。

1 材料和方法

1.1 SMPU的材料特性及本構(gòu)模型

SMPU是一種典型的SMP材料，SMP材料的主要特性是具有形狀記憶功能，即具有一定原始形態(tài)的SMP材料制品，在一定條件下改變其原始形態(tài)并固定之后，通過(guò)外界環(huán)境(如熱、 電、光、化學(xué)感應(yīng)等)的刺激又可以恢復(fù)其原始形態(tài)。SMPU屬于熱塑性形狀記憶聚合物，其形狀記憶功能主要受外界溫度的影響，當(dāng)外界溫度達(dá)到其轉(zhuǎn)變溫度時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生形狀回復(fù)，其主要由硬質(zhì)相(4,4-methylene bis)和軟質(zhì)相(poly(ε-caprolactone)diol)構(gòu)成，通過(guò)改變其硬質(zhì)相和軟質(zhì)相的比例，可以獲得不同玻璃化轉(zhuǎn)變溫度的SMPU材料。研究中選用日本DIAPLEX公司型號(hào)為MM3520的SMPU材料，其玻璃化轉(zhuǎn)變溫度為35℃，與人體口腔溫度相一致。

SMP材料的研究主要針對(duì)其材料的實(shí)驗(yàn)觀察和新型應(yīng)用上，關(guān)于SMP材料的熱力學(xué)本構(gòu)模型方面的研究尚不充分。為了更加準(zhǔn)確地描述SMP材料的熱力學(xué)特性，在Tobushi等一維本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，構(gòu)建出了SMP材料的三維本構(gòu)方程[9]，有

(1)

(2)

(3)

經(jīng)驗(yàn)證，依據(jù)SMP材料三維本構(gòu)方程的仿真結(jié)果與Tobushi等實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致。

在式(3)中，有

(4)

式中：σij(t)，εij(t)分別表示應(yīng)力和應(yīng)變；δij表示克羅內(nèi)克符號(hào)(若i=j，δij=1，否則δij=0)，i,j=1,2,3；εkk表示體積應(yīng)變，k=1,2,3；E表示彈性模量；μ表示黏度；λ表示延遲時(shí)間；K表示體積彈性模量；α表示熱膨脹系數(shù)；T表示溫度；εc表示蠕變應(yīng)變；εL表示殘余應(yīng)變；C表示比例系數(shù)；εs表示殘余蠕變應(yīng)變；t表示時(shí)間。

ABAQUS作為功能強(qiáng)大的有限元分析軟件，為用戶(hù)提供了強(qiáng)大且靈活的用戶(hù)子程序接口(user subroutine)和應(yīng)用程序接口(utility sunroutine)，允許用戶(hù)自行定義求解模型。用戶(hù)材料子程序(UMAT)是ABAQUS提供用戶(hù)自定義材料屬性的FORTRAN程序接口，為用戶(hù)解決一些非線(xiàn)性材料提供了很大的靈活性。利用FORTRAN語(yǔ)言，將式(3)進(jìn)行編程，即得到SMP本構(gòu)模型的UMAT子程序。

1.2 三維有限元模型的建立

1.2.1 上頜牙齒模型的建立

圖1 上頜牙列幾何模型Fig.1 Geometrical model of maxillary teeth

1.2.2 托槽模型的建立

托槽選取目前常用的自鎖托槽，其尺寸參考直絲弓矯治器MBT托槽。托槽槽溝的高度H=0.56 mm，槽溝深度D=0.72 mm，且上頜不同牙位上的托槽上預(yù)置了不同的軸傾角、轉(zhuǎn)矩角且有不同的托槽底形態(tài)與厚度。托槽的具體參數(shù)如表1所示。

表1 MBT托槽參數(shù)

自鎖托槽結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，為利于有限元分析進(jìn)行了相應(yīng)的簡(jiǎn)化?？紤]到托槽的剛度、強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于SMPU弓絲，故托槽的形變忽略不計(jì)，將托槽設(shè)置為剛體，托槽的單元類(lèi)型采用R3D4R。當(dāng)在ABAQUS/STANDARD中使用單純的主-從接觸算法模擬剛性表面的接觸時(shí)，在接觸相互作用中，剛性表面總是主控表面，故將托槽的表面設(shè)置為主控表面，SMPU弓絲的表面設(shè)置為從面。在有限元分析中，剛性表面必須足夠大以保證從屬節(jié)點(diǎn)不會(huì)滑出該表面和落到其背面，否則將會(huì)導(dǎo)致求解不收斂，為此將自鎖托槽與弓絲的所有可能接觸的表面進(jìn)行相應(yīng)的延伸，如圖2所示，除非分析中發(fā)生穿透，否則該延伸面不參與接觸。

圖2 自鎖托槽幾何模型Fig.2 Geometrical model of brackets

1.2.3 弓絲幾何模型的建立

在正畸臨床治療過(guò)程中，弓絲的形態(tài)設(shè)計(jì)與應(yīng)用對(duì)正畸治療的效果有著重要的影響。根據(jù)對(duì)牙弓形態(tài)學(xué)的研究，學(xué)者提出了如冪函數(shù)模型、β函數(shù)模型、多項(xiàng)式模型、懸鏈線(xiàn)方程模型、拋物線(xiàn)方程模型和橢圓方程模型等牙弓形狀量化數(shù)學(xué)模型[10-11]。采用比較符合中國(guó)人牙弓形狀的冪函數(shù)模型[12]，冪函數(shù)牙弓模型[13]可表示為

(5)

式中，ρ與φ為模型的特征參數(shù)，有下面的擬合公式

(6)

式中：S、W、L分別表示半側(cè)牙弓的弧長(zhǎng)、寬度和高度；a、b和τ為擬合常數(shù)，且有a=10.889，b=0.88，τ=3。

如圖3所示，根據(jù)冪函數(shù)模型建立了PU弓絲的數(shù)學(xué)模型，并利用三維建模軟件UG建立了冪函數(shù)牙弓幾何模型；如圖4所示，弓絲為截面尺寸0.508 mm×0.762 mm的方形。

圖3 弓絲數(shù)學(xué)模型Fig.3 Mathematical model of arch wire

圖4 弓絲幾何模型Fig.4 Geometrical model of arch wire

SMPU弓絲形狀規(guī)則，為精確計(jì)算采用單元形狀六面體的實(shí)體單元，單元類(lèi)型采用C3D8R，其材料特性參照構(gòu)建出的SMP材料三維本構(gòu)方程，本構(gòu)方程的調(diào)用通過(guò)ABAQUS可供用戶(hù)自定義的UMAT子程序。有限元中所用的SMPU弓絲材料參數(shù)由實(shí)驗(yàn)測(cè)得，具體參數(shù)如表2所示。其中，在玻璃化溫度Tg下，Eg代表彈性模量，μg代表黏度系數(shù)，λg代表延遲時(shí)間，α代表熱膨脹系數(shù)，Cg代表比例系數(shù)，εLg代表殘余應(yīng)變。SMPU弓絲只有在口腔環(huán)境(35℃)下，達(dá)到其玻璃化轉(zhuǎn)變溫度時(shí)才會(huì)產(chǎn)生形狀回復(fù)，從而驅(qū)動(dòng)牙齒移動(dòng)，為此，主要在口腔溫度下對(duì)SMPU弓絲進(jìn)行有限元仿真，分析其由形變產(chǎn)生的初始正畸力。

表2 SMPU弓絲在Tg(35℃)時(shí)材料參數(shù)

Tab.2 Material parameters of SMPU arch wire inTg(35℃)

Eg/MPaμg/(GPa·s)λg/sα/K-1CgεLg/%15 462341 7265 1511 6×10-50 1120 3

1.3 有限元模型的約束設(shè)定

由于重點(diǎn)研究SMPU弓絲因形變產(chǎn)生的初始正畸力，并不考慮由于弓絲長(zhǎng)期作用引起牙槽骨吸收重建的牙齒矯治過(guò)程，故本模型中不包含牙槽骨與牙周膜等組織。為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)上頜左右兩邊對(duì)稱(chēng)，取上頜牙列模型的一半作為研究對(duì)象，弓絲的近中端設(shè)置為對(duì)稱(chēng)約束。同時(shí)為使SMPU弓絲在模型裝配過(guò)程中不產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力，參照標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)弓絲對(duì)上頜牙列進(jìn)行修正排齊，且所有托槽的中心位于同一平面上，如圖5所示。

圖5 正畸幾何模型Fig.5 Orthodontic geometrical model

在有限元分析過(guò)程中，弓絲與托槽的接觸狀態(tài)會(huì)不斷地發(fā)生變化，為簡(jiǎn)化有限元分析，增加模型的收斂性和可計(jì)算度，簡(jiǎn)化了弓絲與托槽之間的接觸設(shè)置，對(duì)需要移動(dòng)的的托槽與弓絲之間設(shè)置為綁定接觸，其余托槽與弓絲之間的接觸形式為有限滑動(dòng)接觸。另外，考慮到弓絲與托槽之間的摩擦力主要影響正畸治療過(guò)程中由于牙齒移動(dòng)而引起的托槽與弓絲的相對(duì)滑動(dòng)，而對(duì)弓絲變形所產(chǎn)生的初始正畸力影響很小，故在仿真時(shí)設(shè)置弓絲與托槽之間為光滑無(wú)摩擦接觸。

圖6 托槽的局部坐標(biāo)系Fig.6 Local coordinate system of brackets

1.4 弓絲形變的控制形式

2 結(jié)果

2.1 唇舌向錯(cuò)位的有限元分析

正畸有限元分析過(guò)程中，分別對(duì)22牙位側(cè)切牙和23牙位尖牙沿X軸正方向和負(fù)方向施加3 mm的位移量，得到有限元模型的應(yīng)力云圖如圖7所示。通過(guò)后處理可以獲得牙齒位移與SMPU弓絲產(chǎn)生的初始正畸力的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖8所示。從圖8中的四條牙齒位移與初始正畸力的關(guān)系曲線(xiàn)，可以看出SMPU弓絲的正畸力與牙齒位移量整體成正相關(guān)。22牙位切牙沿X軸正向(唇側(cè))位移量由0逐步增加到3 mm期間，正畸力隨著牙齒位移量基本成線(xiàn)性增加，在位移量為3 mm時(shí)達(dá)到最大值，約為0.55 N；23牙位尖牙沿X軸正向(唇側(cè))移動(dòng)時(shí)位移與正畸力曲線(xiàn)基本與22牙位切牙相似，相比于22牙位其斜率較小，位移量由0增加到3 mm過(guò)程中的最大正畸力為0.25 N；22牙位切牙沿X軸負(fù)向(舌側(cè))移動(dòng)時(shí)，位移量與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)與沿X軸正向(唇側(cè))移動(dòng)時(shí)不同，在0～1.5 mm初級(jí)階段正畸力基本隨位移量的增加而增加，當(dāng)位移量達(dá)到1.5 mm之后，正畸力則不再隨其繼續(xù)增加，在位移量達(dá)到2.5 mm時(shí)反而有下降的趨勢(shì)，在位移量由0變化到3 mm時(shí)，正畸力在1.5～2.5 mm處達(dá)到最大值，為0.06 N；23牙位尖牙沿X軸負(fù)向(舌側(cè))移動(dòng)時(shí)的位移量與正畸力曲線(xiàn)仍基本符合線(xiàn)性關(guān)系，正畸力隨著位移量的增加而逐步增大，在位移量為1.7 mm時(shí)，關(guān)系曲線(xiàn)發(fā)生轉(zhuǎn)折，斜率變大，牙齒移動(dòng)過(guò)程中，最大正畸力出現(xiàn)在位移3 mm處，大小為0.18 N。由以上分析可以得知，牙齒沿唇舌向由0逐漸移動(dòng)3 mm時(shí)，SMPU弓絲所能提供的最大正畸力大小為0.06～0.55 N。

圖7 唇舌向牙齒錯(cuò)位有限元應(yīng)力云圖。(a)側(cè)切牙沿X軸正方向移動(dòng)3 mm；(b)尖牙沿X軸正方向移動(dòng)3 mm；(c)側(cè)切牙沿X軸負(fù)方向移動(dòng)3 mm；(d)尖牙沿X軸負(fù)方向移動(dòng)3 mmFig.7 Finite element stress nephogram when dislocation occur in ligula direction. (a)Lateral incisor move 3 mm along positive direction of X axis; (b)Canine tooth move 3 mm along positive direction of X axis; (c)Lateral incisor move 3 mm along negative direction of X axis; (d)Canine tooth move 3 mm along negative direction of X axis

圖8 牙齒沿唇舌向移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)。(a)牙齒沿X軸正方向(唇側(cè))移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)；(b)牙齒沿X軸負(fù)方向(舌側(cè))移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)Fig.8 Related curve between displacement and initial orthodontic force when teeth move along ligula direction. (a)Related curve between displacement and initial orthodontic force when teeth move along positive direction of X axis；(b)Related curve between displacement and initial orthodontic force when teeth move along negative direction of X axis

圖9 交叉方向牙齒錯(cuò)位時(shí)的應(yīng)力云圖。(a)側(cè)切牙沿X軸正向與Y軸負(fù)向夾角45°方向移動(dòng)2.82 mm；(b)尖牙沿X軸正向與Y軸負(fù)向夾角45°方向移動(dòng)2.82 mm；(c)側(cè)切牙沿X軸正向與Y軸正向夾角45°方向移動(dòng)2.82 mm；(d)尖牙沿X軸正向與Y軸正向夾角45°方向移動(dòng)2.82 mmFig.9 Finite element stress nephogram when dislocation occur in crossed direction. (a)Lateral incisor move 2.82 mm along 45° angular direction of positive X axis and negative Y axis; (b)Canine tooth move 2.82 mm along 45° angular direction of positive X axis and negative Y axis; (c)Lateral incisor move 2.82 mm along 45° angular direction of positive X axis and positive Y axis; (d)Canine tooth move 2.82 mm along 45° angular direction of positive X axis and positive Y axis

圖10 牙齒沿交叉方向移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)。(a)牙齒沿X軸正向與Y軸負(fù)向夾角45°方向移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)；(b)牙齒沿X軸正向與Y軸正向夾角45°方向移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)Fig.10 Related curve between displacement and initial orthodontic force when teeth move along crossed direction. (a) Related curve between displacement and initial orthodontic force when teeth move along 45° angular direction of positive X axis and negative Y axis；(b)Related curve between displacement and initial orthodontic force when teeth move along 45° angular direction of positive X axis and positive Y axis

2.2 唇舌向伴隨牙根冠方向錯(cuò)位的有限元分析

臨床正畸中，牙齒的錯(cuò)位不僅僅發(fā)生在唇舌向，往往伴隨著牙根冠方向的錯(cuò)位。在有限元仿真過(guò)程中，同樣選取側(cè)切牙和尖牙為研究對(duì)象，分別對(duì)22牙位側(cè)切牙和23牙位尖牙沿X軸正向與Y軸負(fù)向呈45°角方向移動(dòng)2.82 mm，以及沿X軸正向與Y軸正向呈45°角方向移動(dòng)2.82 mm，得到牙齒沿交叉方向移動(dòng)時(shí)的有限元模型的應(yīng)力云圖，如圖9所示。經(jīng)后處理得到牙齒沿交叉方向移動(dòng)時(shí)位移與初始正畸力關(guān)系曲線(xiàn)，如圖10所示。由其位移與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)可以看出，22牙位切牙和23牙位尖牙沿交叉方向移動(dòng)時(shí)，其位移量與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)仍基本符合線(xiàn)性關(guān)系，如圖10(a)所示，牙齒沿X軸正向與Y軸負(fù)向夾角45°方向移動(dòng)時(shí)，其正畸力隨位移量呈線(xiàn)性增加，22牙位切牙的關(guān)系曲線(xiàn)斜率要大于23牙位尖牙的曲線(xiàn)斜率，在位移量為2.82 mm時(shí)正畸力達(dá)到最大值，其中22牙位切牙為0.5 N，23牙位尖牙為0.26 N；如圖10(b)所示，22牙位切牙沿X軸正向與Y軸正向夾角45°方向移動(dòng)時(shí)，正畸力在位移量為0.7～1.5 mm處出現(xiàn)一個(gè)平臺(tái)，隨后正畸力又隨著位移量的增加而線(xiàn)性增加，在2.82 mm處達(dá)到最大值0.11 N；23牙位尖牙沿X軸正向與Y軸正向夾角45°方向移動(dòng)的位移量與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)同樣成線(xiàn)性關(guān)系，在位移量為2.82 mm時(shí)，正畸力大小為0.18 N?？梢钥闯觯例X沿交叉方向移動(dòng)3 mm時(shí)，SMPU弓絲所能提供的最大正畸力范圍在0.11～0.5 N。

3 討論

由牙齒唇舌向錯(cuò)位時(shí)有限元分析結(jié)果圖8可知，牙齒沿唇側(cè)向移動(dòng)時(shí)相比于沿舌側(cè)向移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的初始正畸力更大，主要是由于為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)上頜左右兩邊牙齒對(duì)稱(chēng)的前提條件下，取上頜一半的模型作為研究對(duì)象，并且對(duì)該邊界施加對(duì)稱(chēng)約束，因此弓絲不存在沿對(duì)稱(chēng)面的法向移動(dòng)，而在托槽移動(dòng)過(guò)程中，會(huì)引起弓絲長(zhǎng)度變化，弓絲產(chǎn)生彎曲變形的同時(shí)，伴隨著一定的軸向變形，因此托槽向唇側(cè)移動(dòng)時(shí)的正畸力比向舌側(cè)的大，這也說(shuō)明施加一定的軸向拉伸變形會(huì)增加弓絲的正畸力。另外，側(cè)切牙沿舌側(cè)方向移動(dòng)時(shí)，所產(chǎn)生的正畸力并沒(méi)有一直隨著牙齒位移的增加而增加，這主要是由于側(cè)切牙處的曲率半徑較大，側(cè)切牙向舌側(cè)移動(dòng)時(shí)伴隨著弓絲在托槽內(nèi)的滑動(dòng)引起的，從結(jié)果中可以看出，對(duì)弓絲末端施加相應(yīng)的固位約束，也可以提高弓絲的正畸力。牙齒沿唇舌向移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的最小初始正畸力為0.06 N，最大初始正畸力為0.55 N。

與牙齒沿唇舌向移動(dòng)時(shí)的位移與初始正畸力的關(guān)系曲線(xiàn)相似，牙齒沿交叉向移動(dòng)時(shí)得到的位移與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)仍整體呈線(xiàn)性關(guān)系。另外，可以看出牙齒沿唇側(cè)偏牙根45°方向移動(dòng)時(shí)，正畸力相比于牙齒沿舌側(cè)偏牙冠45°方向更大，這主要是因?yàn)檠例X沿唇側(cè)偏牙根45°方向移動(dòng)時(shí)引起了弓絲更大的軸向拉伸。牙齒沿交叉方向移動(dòng)時(shí)得到的最小初始正畸力為0.11 N，最大初始正畸力為0.53 N。

比較牙齒沿唇側(cè)方向移動(dòng)與牙齒沿唇側(cè)偏牙根45°方向移動(dòng)的位移與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)，可以看出雖然牙齒沿著不同的方向移動(dòng)，但得到的位移與正畸力關(guān)系曲線(xiàn)基本一致，說(shuō)明牙齒同樣沿弓絲外法線(xiàn)方向移動(dòng)時(shí)，在小角度的范圍內(nèi)，不會(huì)對(duì)弓絲的正畸力產(chǎn)生太大的影響，其正畸力主要與牙齒位移大小相關(guān)。所以，在臨床正畸治療中，同樣沿牙弓外法線(xiàn)方向但錯(cuò)位形式不同的牙齒，其在矯治過(guò)程中所需要的正畸力只與牙齒的偏移量相關(guān)，而與牙齒的偏移方向無(wú)關(guān)。

由以上討論分析，在定義托槽與弓絲的接觸形式為光滑無(wú)摩擦前提下，得出SMPU弓絲在變形量為3 mm(交叉移動(dòng)方式下為2.82 mm)時(shí)初始正畸力大小范圍為：0.06～0.55 N。臨床治療過(guò)程中認(rèn)為最佳正畸力的范圍在0.98～1.47 N之間[14]，所以SMPU弓絲相比于金屬弓絲所能提供的正畸力是偏小的，在實(shí)際臨床應(yīng)用中可以對(duì)SMPU弓絲實(shí)施一定的預(yù)緊力，從而提高其正畸治療過(guò)程中的正畸力。另外，有研究表明在牙齒矯治的第一階段(排齊牙列)正畸治療效果不依賴(lài)弓絲產(chǎn)生的正畸力大小，較柔和的正畸力同樣可以達(dá)到很好的治療效果[15]，因此SMPU弓絲可以應(yīng)用在正畸治療中的第一階段。

4 結(jié)論

為了更加準(zhǔn)確描述SMP材料的熱力學(xué)特性，在Tobushi等一維本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了SMP材料的三維本構(gòu)方程；參照人體實(shí)際口腔數(shù)據(jù)建立了包括牙齒、托槽、弓絲在內(nèi)的正畸有限元模型，以牙齒錯(cuò)位量為3 mm(交叉移動(dòng)方式下為2.82 mm)為例，分析了上頜側(cè)切牙和尖牙在不同錯(cuò)位方式下SMPU弓絲產(chǎn)生的正畸力，其大小為0.06～0.55 N，該力與臨床治療最佳正畸力(0.98 ～1.47 N)相比略為偏小，比較適合正畸治療中的第一階段(排齊牙列)。在臨床應(yīng)用中也可以通過(guò)對(duì)SMPU弓絲施加一定的預(yù)緊，從而提高其治療過(guò)程中正畸力。

SMP材料由于其良好的生物相容性和美觀性，在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域正受到越來(lái)越多的重視，在正畸領(lǐng)域具有很高的潛在應(yīng)用價(jià)值。由于SMP材料可以添加增強(qiáng)劑等改性方法改善其力學(xué)性能，未來(lái)將繼續(xù)對(duì)SMP弓絲材料進(jìn)行深入研究，包括對(duì)新型SMP材料的探索以及現(xiàn)有SMP材料的改性，希望獲得與現(xiàn)有金屬弓絲性能相近的SMP弓絲。

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Initial Orthodontic Force Analysis of Shape Memory Polymer Arch Wire Based on Finite Element Simulation

Wu Jianlei1Liu Yunfeng1*Peng Wei1Lin Wenwu1Xu Lixin2

1(KeyLaboratoryofE&M(ZhejiangUniversityofTechnology),MinistryofEducation&ZhejiangProvince，Hangzhou310014,China)2(CollegeofMaterialsScienceandEngineering,ZhejiangUniversityofTechnology,Hangzhou310014,China)

In orthodontic treatment, metallic arch wire may produce potential toxic effect to human and can not satisfy the aesthetic requirements. In contrast, shape memory polymer (SMP) arch wire has attracted more and more attention for its good mechanical properties and aesthetic appearance. However, shape memory polyurethane (SMPU) as a typical kind of material, its effect in orthodontic treatment, including the force supplied by SMPU wire still remains to be explored. In orthodontic research, the intra-oral evaluation of the force supplied by appliances is difficult to achieve, and finite element method (FEM) has been widely applied as an alternative method. Aiming at these problems, based on the one-dimensional SMP constitutive equation built by Tobushi, a 3D constitutive equation of SMP is derived reference to the standard model of viscoelastic material, and user-defined material mechanical behavior (UMAT) subroutine used for ABAQUS is written by FORTRAN language. From clinical orthodontics data, a 3D model including teeth, brackets and SMPU arch wire were constructed. Taking a maxillary lateral incisor and a canine as examples, through exerting different deformation on arch wire, the initial orthodontic force of arch wire was acquired by FEM simulation. When deflection is 3 mm, the value range is 0.06～0.55N. The results revealed that the initial orthodontic force of SMPU arch wire is somewhat smaller than the optimal orthodontic force required in clinic, and is suitable in the first phase of orthodontic treatment. But the mechanics performances of SMP are still needed to be improved, which will promote a very high potential value on medical application in the future.

orthodontic force；shape memory polymer(SMP); finite element; arch wire

10.3969/j.issn.0258-8021. 2016. 02.011

2015-06-20， 錄用日期:2015-12-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(51375453)；浙江省自然科學(xué)基金(LY13E050017)

R318

A

0258-8021(2016) 02-0202-09

*通信作者(Corresponding author)， E-mail: liuyf76@126.com