機(jī)器人的運動軌跡插值方法研究與分析*

趙　川　張鵬超　潘曉磊　呂海立

(陜西理工學(xué)院陜西省工業(yè)自動化重點實驗室，陜西 漢中723000)

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機(jī)器人的運動軌跡插值方法研究與分析*

趙川張鵬超潘曉磊呂海立

(陜西理工學(xué)院陜西省工業(yè)自動化重點實驗室，陜西 漢中723000)

為了實現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人手臂末端執(zhí)行件在作業(yè)過程中的運動軌跡平穩(wěn)、光滑且連續(xù)，同時關(guān)節(jié)運動軌跡中的速度、加速度變化光滑連續(xù)，且變化過程中不出現(xiàn)突變情況。基于NACHI的MZ07六自由度工業(yè)機(jī)器人，對其進(jìn)行逆運動求解，在關(guān)節(jié)空間中，對過路徑點的三次多項式、高階多項式的插值算法進(jìn)行研究與仿真。在過路徑點的點到點(PTP)運動中采用三次與五次多項式結(jié)合的“353”多項式插值算法，并通過仿真，證明了“353”多項式插值能使各關(guān)節(jié)加速度變化得到平穩(wěn)軌跡，并且降低了使用五次多項式插值后關(guān)節(jié)較高的最大加速度，使加速度變化更加平穩(wěn)，減小了機(jī)構(gòu)沖擊。

工業(yè)機(jī)器人；MATLAB；軌跡插值；多項式插值

軌跡規(guī)劃對工業(yè)機(jī)器人能夠高效、穩(wěn)定的運動有重要的影響。機(jī)器人工作時必須保證運行軌跡的平滑。若各關(guān)節(jié)的速度和加速度突變或者不連續(xù)會在機(jī)器人工作過程中，加劇機(jī)構(gòu)的摩擦，機(jī)械臂出現(xiàn)振動現(xiàn)象，增大軌跡跟蹤誤差，降低跟蹤精度，縮短機(jī)器人的使用壽命。為此學(xué)者們提出了多項式插值、B樣條曲線插值等插值方法，從而得到關(guān)節(jié)速度和加速度平穩(wěn)、光滑且連續(xù)的軌跡。

本文通過在MATLAB環(huán)境中仿真研究了三次多項式與五次多項式插值后，各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度位置、速度和加速度的變化軌跡，通過研究分析提出了過路徑點的點到點運動間的“353”[9]多項式插值，并且得到了關(guān)節(jié)速度和加速度的平滑連續(xù)的變化軌跡。

1　機(jī)器人運動學(xué)模型

本文以NACHI的六自由度MZ07工業(yè)機(jī)器人作為模型研究，確定機(jī)器人的連桿D-H坐標(biāo)參數(shù)，如表1所示，在MATLAB中構(gòu)建機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示。

表1MZ07機(jī)器人連桿D-H參數(shù)

連桿i連桿扭角αi/(°)連桿夾角θi/(°)連桿距離di/mm連桿長度ɑi/mm變量θi范圍1-9090050±170°2000330-135°～80°3-90-90045-136°～270°49003400±190°5-90000±120°600730±360°

2　關(guān)節(jié)空間軌跡插值研究

關(guān)節(jié)空間法是以含有關(guān)節(jié)角度的函數(shù)來描述機(jī)器人的軌跡，在進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃時，需要通過運動學(xué)的逆解，將路徑點轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)矢量角度值，再通過對每個關(guān)節(jié)擬合一個光滑函數(shù)，使從起始點開始，依次通過所有路徑點，最后到達(dá)目標(biāo)點。對于每段路徑，每個關(guān)節(jié)運行時間均相同，則保證了所有關(guān)節(jié)同時到達(dá)路徑點和目標(biāo)點，此外，各個關(guān)節(jié)函數(shù)之間是相互獨立存在的。采用關(guān)節(jié)空間法不需要在直角坐標(biāo)系中描述兩個路徑點之間的路徑形狀，所以計算簡單、容易，并且關(guān)節(jié)空間不會發(fā)生在直角坐標(biāo)空間中的機(jī)構(gòu)奇異性問題。

2.1過路徑點的三次多項式插值

在單個關(guān)節(jié)運動過程中，為了使其能都平穩(wěn)地運動，要求關(guān)節(jié)在起始點速度和目標(biāo)點速度均要為0，而且關(guān)節(jié)起始角θ0已知，終止點θf可由運動學(xué)反解求得，則一個三次多項式可由起始點的關(guān)節(jié)角度、速度和終止點的關(guān)節(jié)角度、速度4個約束唯一確定。因此對三次多項式：

(1)

則該多項式的一階導(dǎo)(速度)和二階導(dǎo)(加速度)為：

(2)

有4個約束條件即：

(3)

可由上解得：

(4)

由上確定的三次多項式的系數(shù)可以代入式(1)、(2)中，分別可以得到單個關(guān)節(jié)此時刻的的關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)速度以及加速度。

但是在現(xiàn)實應(yīng)用中，要求規(guī)劃出過路徑點的軌跡，然后在經(jīng)過路徑點時的機(jī)器人手臂末端狀態(tài)會有兩種情況：一種情況是機(jī)器人手臂由起始點運動到路徑點時停留，即此時的在路徑點處的速度為零，則可以直接使用前面的三次多項式插值算法；另一種情況是機(jī)器人手臂由起始點運動到路徑點時不做停留，此時的速度已經(jīng)不再為零，則該點再運動到目標(biāo)點或者下一個路徑點時，不能采用前面的三次多項式算法，故上式需要推廣成為具有任意約束速度的三次多項式插值。

在過路徑點的軌跡中，可以把所有的路徑點看做是“起始點”或者“目標(biāo)點”，通過求解其逆解，得到各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)矢量值，然后確定一個三次多項式插值函數(shù)，使各個路徑點平滑地連接起來。只是此時的“起始點”與“目標(biāo)點”處的速度不再為零。在確定此三次多項式的方法與前面所述方法相同，只是改變了速度約束，即：

(5)

則可得三次多項式系數(shù)為：

(6)

對于各路徑點處的關(guān)節(jié)速度，我們采用平均值法來確定，規(guī)定各路徑點間的運動時間均相等，路徑點速度可根據(jù)兩側(cè)的軌跡的角速度取平均值。

2.2高階多項式插值

如果對于運動軌跡的要求更加嚴(yán)格，則需要更高階的多項式對運動軌跡進(jìn)行插值。但不是階數(shù)越高越好，高階多項式軌跡會出現(xiàn)“龍格”現(xiàn)象。本文針對五次多項式進(jìn)行研究。五次多項式可由6個約束唯一確定，即在起始點和目標(biāo)點規(guī)定了關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，從而來約束整個運動軌跡。五次多項式即：

(7)

由于起始點和目標(biāo)點的位置、速度和加速度都進(jìn)行了約束，則可解得多項式的系數(shù)為：

(8)

2.3仿真研究

在MATLAB中對MZ07機(jī)器人的運動進(jìn)行軌跡規(guī)劃仿真，設(shè)有起始點A(-100,0，-300)、中間點B(325,225,100)和目標(biāo)點C(235,300,400)。從A點運動到B點用時1s，從B點到C點用時1s，求得三點的關(guān)節(jié)變量值，如表2所示。

表2軌跡點的關(guān)節(jié)角度

路徑點關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)3關(guān)節(jié)4關(guān)節(jié)5關(guān)節(jié)6起始點A0-2.92992.534000.39590中間點B-2.53602.71140.12420-2.8355-2.5361目標(biāo)點C0.9063-1.5113-1.3599-3.1416-1.8712-2.2353

假定該運動的起始點與目標(biāo)點的速度與加速度均為零。分別對該三點間的運動應(yīng)用三次多項式插值和五次多項式插值，分別得到該過程中關(guān)節(jié)角度、速度和加速度的變化情況，如圖2～7所示，三次多項式與五次多項式插值后的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度的產(chǎn)生的最大值如表3所示。

由仿真結(jié)果可知，三次和五次多項式都可以使運動軌跡平滑連續(xù)，但是三次多項式插值后，在關(guān)節(jié)加速度上出現(xiàn)突變，現(xiàn)實中機(jī)器人手臂在運動中很可能無法完成此運動過程。五次多項式的加速度雖然可以光滑地連續(xù)起來，但是最大角加速度達(dá)到了201.067 0rad/s2，使運行不夠平穩(wěn)緩和，也有害電動機(jī)的壽命。

表3三次多項式與五次多項式最值比較

插值方法最大關(guān)節(jié)角度/rad最大角速度/(rad/s)最大角加速度/(rad/s2)三次多項式2.728.286132.4292五次多項式2.747110.2671201.0670

2.4過路徑點的“353”[9]多項式插值。

在實際對機(jī)器人運動軌跡規(guī)劃時，要求規(guī)劃過路徑點的軌跡，為了得到加速度合適且連續(xù)、平滑的變化軌跡，介于三次多項式和五次多項式的優(yōu)缺點，采用了“353”[9]多項式插值，即三次多項式與五次多項式結(jié)合的形式。如圖8所示，該方法將整個軌跡分為3個階段，第一階段為在0～ta時間內(nèi)采用三次多項式插值，第二階段ta～tb時間內(nèi)采用五次多項式插值，第三階段tb～tf時間內(nèi)采用三次多項式插值。本結(jié)構(gòu)方法的要求，在兩個相鄰階段的交點處的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度要求相等。其中ta、tb可分別取0～th、th～tf時刻的中間時刻。

同樣使用2.3節(jié)假定的A、B、C三點。在MATLAB中仿真出“353”多項式結(jié)構(gòu)算法規(guī)劃后的各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度變化情況，如圖9～10所示。規(guī)劃后的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度的最大值如表4所示。

根據(jù)仿真結(jié)束所示，該方法可以得到平穩(wěn)、連續(xù)的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度的變化軌跡。與表3中的三次、五次多項式最大值比較，可以看出相對三次多項式可以得到平穩(wěn)、連續(xù)的角加速度，同時相對五次多項式可以得到比較小的最大關(guān)節(jié)角加速度，從而使整個關(guān)節(jié)運動過程中更加平滑，減小了機(jī)構(gòu)間的沖擊。

表4“353”多項式最值

插值方法最大關(guān)節(jié)角度/rad最大角速度/(rad/s)最大角加速度/(rad/s2)“353”多項式2.74968.484934.1636

3　結(jié)語

本文通過在MATLAB環(huán)境中，基于MZ07工業(yè)機(jī)器人運動模型，分析了三次多項式和五次多項式的軌跡插值算法，對比了兩個方法的優(yōu)缺點。關(guān)節(jié)空間在“353”[9]多項式插值規(guī)劃后，通過仿真研究，“353”[9]多項式插值既可以得到平穩(wěn)、連續(xù)的角加速度軌跡，又可以得到較合適的最大角加速度，解決了三次多項式插值后關(guān)節(jié)角加速度不連續(xù)問題和五次多項式插值規(guī)劃后關(guān)節(jié)最大角加速度較大問題。在關(guān)節(jié)空間中多項式插值的高低次結(jié)合使得各關(guān)節(jié)的變換優(yōu)于單一使用的同次多項式插值。

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(編輯譚弘穎)

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The robot trajectory interpolation method of research and analysis

ZHAO Chuan，ZHANG Pengchao， PAN Xiaolei,LV Haili

(Shaanxi Province Key Laboratory of Industrial Automation，Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000，CHN)

In order to achieve the end of the industrial robot arm to perform a smooth motion trajectory in the process of operation, smooth and continuous, at the same time, the velocity and acceleration in joint movement trajectory smooth continuous changes, changes don’t appear in the process of mutation. six degrees of freedom based on NACHI MZ07 industrial robot, and solving inverse movement, in joint space, across the path points of cubic polynomial, the study of high order polynomial interpolation algorithm, and simulation.in view of the research and analysis results, in the point-to-point (PTP) movement is proposed that "353" polynomial interpolation algorithm that is using the combination of three and five times polynomial, and through the simulation, it proved that the "353" polynomial interpolation can make smooth trajectory of the changes in the acceleration of each joint, and reduces the use of five times polynomial interpolation after joint higher maximum acceleration, make the acceleration change is more stable, reduce the impact.

industrial robots;MATLAB;track interpolation;polynomial interpolation

TP2422

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.06.009

趙 川，男，1990年生，碩士研究生，研究方向為機(jī)器人技術(shù)、電機(jī)控制。

2015-12-08)

160625

* 國家自然基金重大項目(61134004) ; 陜西理工學(xué)院院士工作站項目(fckt201511) ; 陜西理工學(xué)院研究生創(chuàng)新基金項目(SLGYCX1613) ; 陜西省工業(yè)科技攻關(guān)項目(2016GY-070)