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    讓數(shù)學(xué)靈動起來

    2016-09-10 07:22:44顏榮林田海琪
    關(guān)鍵詞:填數(shù)對號入座九宮

    顏榮林 田海琪

    【摘 要】“九宮圖”是一個簡易的數(shù)學(xué)模型,卻蘊含著大量的數(shù)學(xué)規(guī)律。教師要想在探究“九宮圖”的各種內(nèi)在數(shù)學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上,充分開發(fā)“九宮圖”的教育價值,就要對九宮圖的文化背景、九宮圖的不同填法、“九宮圖”的數(shù)字規(guī)律等進(jìn)行深入的分析,從而提出教學(xué)設(shè)想。

    【關(guān)鍵詞】九宮圖 教學(xué)價值

    “越是簡單的知識,越能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本源?!本艑m圖就是這樣的一個例子。在3×3的九個方格中,分別填入1至9這九個數(shù)。這是一個十分簡單的數(shù)學(xué)問題,簡單到只要以“20以內(nèi)的加法”作為基礎(chǔ),就可以解決這個數(shù)學(xué)問題(如右圖)。但是,卻賦予它神話的色彩,下面讓我們慢慢走進(jìn)“九宮圖”的世界。

    一、九宮圖的文化背景分析

    相傳,在夏禹時代,洛水中曾出現(xiàn)過一只大的神龜,它的背殼上有個圖(如左下圖),人們把這個圖稱作“洛書”。據(jù)說,這個圖中蘊含了世間萬物的變化規(guī)律, “洛書”為當(dāng)時的首領(lǐng)大禹所得,他從中悟出了治理天下的道理。

    “洛書”比較形象的稱法是“九宮圖”或“縱橫圖”,它的神奇特點吸引了無數(shù)人對它癡迷。從我國古代的“河出圖,洛出書,圣人則之”的傳說起,系統(tǒng)研究九宮圖的第一人,是我國古代數(shù)學(xué)家——楊輝。

    在國外,公元1300年被希臘數(shù)學(xué)家莫斯切普羅所推廣,成為許多數(shù)學(xué)家傾注精力進(jìn)行研究的一個數(shù)學(xué)題材。

    九宮圖中的原理連小學(xué)生都很容易理解,但它的內(nèi)涵卻是十分豐富的,它通過數(shù)字間的周轉(zhuǎn)變化,數(shù)與形的和諧統(tǒng)一,局部與整體的全息對應(yīng),描繪出一個生動的宇宙演化的數(shù)學(xué)模型。它蘊含著大量的數(shù)學(xué)規(guī)律,“線線諸數(shù)合幻和、縱橫巧合聯(lián)四方、和差積方都巧等、三角方圓均有律”,它與算術(shù)、數(shù)論、幻方、代數(shù)幾何、矩陣、趣味數(shù)學(xué)等都有聯(lián)系。古今中外,不知多少學(xué)者著書立說,對九宮圖進(jìn)行深入的探索。

    從上面的闡述中,感受到了“九宮圖”所特有的文化內(nèi)涵,從它“現(xiàn)世”的那一刻起,就注定成為一個融數(shù)理與神話為一體的數(shù)理哲學(xué)的化身。因此,在引入“九宮圖”時,如果我們能創(chuàng)設(shè)情境,恰當(dāng)?shù)仃U述“九宮圖”的文化背景,可以激發(fā)學(xué)生對“九宮圖”進(jìn)行深入研究的興趣。為后面研究或了解“九宮圖”的各種不同的填法積累情感的基礎(chǔ)。

    二、九宮圖的填寫方法分析

    九宮圖的填法,如果用算術(shù)法湊數(shù),可以用“羅列數(shù)組,對號入座”的方法很快地填出。但是,人們在此基礎(chǔ)上,還創(chuàng)造出了許多口訣,根據(jù)口訣,可以按部就班地填出九宮圖,增強填寫“九宮圖”的趣味性。下面我們列舉幾種適合小學(xué)生填寫與了解的方法,并簡要說明大致的教學(xué)設(shè)想。

    (一)羅列數(shù)組,對號入座

    這是最常用的構(gòu)造九宮圖的方法。

    我們知道,把1至9這九個數(shù)填入“九宮圖”,由于9個數(shù)的總和為45,每橫行、每豎列、每橫行和每斜行的三個數(shù)的和均相等,所以這樣的每三個數(shù)的和都應(yīng)該是15,也就是說從1至9中選出三個數(shù),至少需要組成8組不完全相同的和為15的數(shù)組。經(jīng)過試驗有且只有8組,分別是(1,5,9,)(2,5,8)(3,5,7)(4,5,6)(2,4,9)(2,6,7)(3,4,8) (1,6,8)。

    再觀察右邊的九宮圖,寫出以上8組和時,中間e的位置上的數(shù)被用到了4次,角上a,c,g,i的位置上的數(shù)被用到了3次,而邊上b,d,f,h的位置上的數(shù)只被用到了2次。

    按上面的規(guī)律,把8組數(shù)中各個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)做一個統(tǒng)計,可以發(fā)現(xiàn)“5”被用了4次,“2,4,6,8”各被用了3次,“1,3,5,7”各被用了2次。經(jīng)過試驗自然就可以把各個數(shù)“對號入座”了。

    從上面的敘述中,可以設(shè)想到,如果只給出要求,學(xué)生按要求把1至9這九個數(shù)填入九個方格中,學(xué)生首先會進(jìn)行嘗試,當(dāng)出現(xiàn)錯誤時,會不斷地調(diào)整,這是最原始的嘗試法。之后,再引導(dǎo)學(xué)生反思填寫要求,逐步發(fā)現(xiàn)上面敘述的有序的填寫思路。這就是數(shù)學(xué)思考的力量。這樣的一個過程適合三年級時組織學(xué)生填寫。而對于一、二年級的學(xué)生則可以先填其中部分?jǐn)?shù),讓學(xué)生根據(jù)規(guī)則,填寫出滿足要求的其他位置上的數(shù)。如請補全右面的“九宮圖”。

    (二)歸納口訣,記憶填數(shù)

    用上面的填法,固然可以填寫九宮圖,但是需要一個較長的過程。因此,還可以編寫出填寫的口訣。這些口訣又可以分為兩類,一類是直接填數(shù)法,一類是表述過程法。

    1.直接填數(shù)法

    直接填數(shù)法就是依據(jù)口訣,可以依次直接填寫出各個位置上的數(shù)。最有名的是:

    戴九履一,左三右七,二四為肩,六八是足。

    上面的口訣,分明就是一只烏龜?shù)脑煨停缬覉D。

    下面的口訣則是根據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)不同位置特點編寫而成的。

    九數(shù)從小排到大,中間數(shù)字中間填,四角填上偶數(shù)項,余下四數(shù)再補全。

    根據(jù)上面的口訣,可以按如下的圖示填寫。

    這給我們提供了很好的教學(xué)思路:在學(xué)生按“羅列數(shù)組,對號入座”的方法填寫出“九宮圖”后,請學(xué)生閱讀上面的兩句口訣,說一說這兩句口訣的意思及編寫的思路。然后請學(xué)生再獨立找一找“九宮圖”中各個數(shù)的其他特征,自己來創(chuàng)作一句填數(shù)口訣。

    2.表述過程法

    用直接填數(shù)的口訣雖然形象生動,但是如果把它作為真正的填數(shù)方法,可能要增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。所以人們又創(chuàng)作出了另一種口訣,描述的是如何從最簡單的數(shù)的排列,通過最簡便的數(shù)的位置移動,實現(xiàn)填寫九宮圖的目的。

    下面介紹的就是楊輝創(chuàng)造的一種填數(shù)口訣:

    九數(shù)斜排,上下對易,左右互換。

    讀完上面的口訣,再看下面的兩個圖示,是否學(xué)會了“九宮圖”的快速填法了?

    在國外也有類似的口訣, “羅伯”口訣是其中有名的。

    一填首行正中央,依次斜上莫要忘,

    上出下填右出左,若是重了填下方。

    右邊的圖示反映了按上面的口訣填數(shù)的過程。

    根據(jù)口訣,只要找到“1”的位置,然后按規(guī)則從小到大填入其余各數(shù)的位置。

    上面的這些填法,如何成為教學(xué)資源?我們設(shè)計了兩種方案。

    第一種方案是逐步滲透法。在一年級的教學(xué)中,根據(jù)學(xué)生的計算能力,做一些填數(shù)游戲,二年級再請學(xué)生按“羅列數(shù)組,對號入座”的方法填數(shù),到了三年級,再請學(xué)生欣賞與研究口訣填數(shù)。

    第二種方案是主題教學(xué)法。在三年級或者四年級時,組織一堂數(shù)學(xué)活動課,把以上一、二、三年級的教學(xué)內(nèi)容串聯(lián)成一堂活動課,讓學(xué)生整體感受“九宮圖”填寫的內(nèi)在魅力。

    三、九宮圖的內(nèi)在規(guī)律分析

    從上面的填寫法的分析中,我們感受到了數(shù)學(xué)家對于“九宮圖”的喜歡,他們不滿足于常規(guī)的填法,創(chuàng)造出了許多口訣,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造精神。但是,“九宮圖”真正吸引人們,尤其是數(shù)學(xué)家的研究興趣的,并不僅僅是它的數(shù)學(xué)文化背景或它的填法創(chuàng)造,更為重要的是“九宮圖”——這個只有9個數(shù)構(gòu)建而成的數(shù)學(xué)模型中所蘊含著的數(shù)學(xué)規(guī)律。筆者收集了其中一些淺顯易懂的規(guī)律,力圖讓它們成為教學(xué)資源。

    (一)“田—口=15”

    “九宮圖”中的任何一個“田”格中的4數(shù)之和,減去與此“田”格不同行不同列的另一格之?dāng)?shù),必等于15。如(2+9+7+5)-8=15,(7+5+6+1)-4=15。

    (二)相等數(shù)對

    把“九宮圖”的中心格5抹去(如左圖)以后,經(jīng)過中心格的任一條線上的兩數(shù)和均是10。其實這種相等的數(shù)對處處可見:我們隨意壓住“九宮圖”中的一格,那么與這格相交的各線,所剩的兩數(shù)的和全相等。就如我們提起一個正方形網(wǎng)片一樣,無論我們從哪個角上提起,從這個角向三個方向看去,所看到每條線上的兩數(shù)之和都相等。

    (三)遞增和

    “九宮圖”中對稱的兩行或兩列,將每行(列)各數(shù)依次乘一個等差數(shù)列的各項,各項積之和必相等。例如

    2×1+9×2+4×3=6×1+1×2+8×3=32。

    2×5+9×8+4×11=6×5+1×8+8×11=126。

    4×11+3×21+8×31=2×11+7×21+6×31=355。

    (四)平方和相等性

    “九宮圖”的第一、三行或者第一、三列所含的數(shù)的平方和相等,即42+92+22=82+12+62=101,42+32+82=22+72+62=89。

    此外過中心4線上各數(shù)的平方和也有規(guī)律,請看:(22+52+82)+(42+52+62)+10=(72+52+32)+(92+52+12)-10=180。

    (五)循環(huán)積和

    “九宮圖”中第一、三行或第一、三列,順次兩數(shù)相乘,其和必相等,即

    2×9+9×4+4×2=6×1+1×8+6×8。

    4×3+3×8+8×4=2×7+7×6+6×2。

    (六)對稱積和

    在對稱的兩行或兩列中,一條線上,兩端兩數(shù)之積的2倍,與中間一數(shù)的平方之和相等,例如

    (2×4)×2+92=(6×8)×2+12=97。

    (6×2)×2+72=(8×4)×2+32=73。

    以上只是筆者收集到的關(guān)于“九宮圖”規(guī)律的一小部分。顯然,要把它們轉(zhuǎn)化成課程資源,需要教師進(jìn)行創(chuàng)造性的開發(fā)。

    首先,把這些規(guī)律按發(fā)現(xiàn)的難度進(jìn)行分類。如上面的六個規(guī)律,由易到難,最簡單的是“相等數(shù)對”的規(guī)律,最難的當(dāng)數(shù)“對稱積和”。

    對于這些規(guī)律,在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行自主發(fā)現(xiàn)。在這個過程中,如果學(xué)生有其他的新發(fā)現(xiàn),同樣給予肯定。如要求學(xué)生找“相等數(shù)對”時,有一位學(xué)生說,他還發(fā)現(xiàn)了“角上的數(shù)是相對的兩個肩上數(shù)的和的一半”,并舉例子:8=(7+9)÷2。同時,在找到“相等數(shù)對”后,教師也可以進(jìn)一步追問與引導(dǎo),讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律,如可以從“相等數(shù)對”中衍生出:角上四個數(shù)的和等于邊上四個數(shù)的和。

    其次,把這些規(guī)律按與教材知識的匹配程度分,具體安排在各個不同的年級,引導(dǎo)學(xué)生有不同的發(fā)現(xiàn)。

    如在學(xué)習(xí)了多位數(shù)加法之后,教師請學(xué)生按下面的要求計算:計算順寫的三個三位數(shù)的和與逆寫的三個三位數(shù)的和,進(jìn)而總結(jié)出:順寫的三個三位數(shù)的和等于逆寫的三個三位數(shù)的和。如 816+357+492=618+753+294。

    進(jìn)而追問:為什么會有這樣的規(guī)律?知道了為什么后,再請學(xué)生計算豎著的順寫與逆寫的情況下三個數(shù)的和是否相等。

    上面的活動,利用學(xué)生新近學(xué)習(xí)的計算方法來探究“九宮圖”中的新規(guī)律。既有利于提高學(xué)生的計算技能,同時又豐富了對“九宮圖”規(guī)律的新認(rèn)識,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

    總之,對作為教學(xué)資源的“九宮圖”規(guī)律的探究,并不是只為了探究規(guī)律而組織活動,它完全可以融合到我們平時的計算教學(xué)中,為計算教學(xué)平添了一道人文風(fēng)景。

    (浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小 311200浙江省杭州市蕭山區(qū)北干小學(xué) 311200)

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