兒童心目中的雪花分布

鞏子坤 何聲清

【摘 要】以401名9～14歲兒童為被試對(duì)象，考察其心目中的雪花分布，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：兒童描述的雪花分布不外乎隨機(jī)與不隨機(jī)兩類；給出的理由可以分為4類，分別為運(yùn)用模糊的概率知識(shí)、主觀判斷、動(dòng)手試驗(yàn)與其他。進(jìn)一步分析表明，給出“主觀判斷”理由的兒童比給出“運(yùn)用模糊的概率知識(shí)”理由的兒童，描述出的雪花分布更高的比例是隨機(jī)的；動(dòng)手試驗(yàn)得到的雪花分布均是隨機(jī)的。原因在于大部分兒童將“多次試驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性”與“一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性”混淆了。動(dòng)手試驗(yàn)是認(rèn)知隨機(jī)性的有效方式。

【關(guān)鍵詞】?jī)和?雪花分布 隨機(jī)性 教學(xué)建議

一、引言

概率認(rèn)知的一個(gè)重要方面，是對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)知。按照認(rèn)知的復(fù)雜程度，我們把隨機(jī)性分為三類：隨機(jī)事件，如拋一枚硬幣，朝上一面的情形，可能正面朝上，也可能反面朝上；獨(dú)立序列，如連續(xù)拋一枚硬幣10次，朝上一面的情形，可能是3次正面朝上7次反面朝上，也可能5次正面朝上5次反面朝上；雪花分布，如16片雪花隨機(jī)飄落到由16塊方磚構(gòu)成的平坦房頂上，雪花分布的情形，可能16片雪花飄落到7塊方磚上，也可能飄落到12塊方磚上。

嚴(yán)加安院士說：“隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)。無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離?！盵1]隨機(jī)性中隱藏著規(guī)律性，對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)知，本質(zhì)上就是對(duì)規(guī)律性的認(rèn)知。然而，要認(rèn)識(shí)到這種規(guī)律性，還是比較困難的。因?yàn)?，雖然日常生活中隨機(jī)事件隨處可見，非正式的概率知識(shí)有著較好的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，但隨機(jī)性規(guī)律與我們?nèi)粘Ｋ鶎W(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)規(guī)律還是有著較大的區(qū)別的，學(xué)習(xí)隨機(jī)性的思維方式與學(xué)習(xí)確定性數(shù)學(xué)的思維方式也還是有著較大區(qū)別的。比如，Green等人的研究表明，學(xué)校確定性數(shù)學(xué)——科學(xué)演繹推理模式主導(dǎo)的課程扼殺了學(xué)生對(duì)于隨機(jī)性的認(rèn)知[2]。

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程所涉及的主要是隨機(jī)事件，這是對(duì)隨機(jī)性最初步的認(rèn)知。相應(yīng)地，對(duì)隨機(jī)事件的研究也比較多。有的數(shù)學(xué)教材中也出現(xiàn)了獨(dú)立序列[3]，雖然這樣的內(nèi)容并不是課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)雪花分布這樣的內(nèi)容，因而很少有人關(guān)注或研究?jī)和瘜?duì)雪花分布的認(rèn)知。

我們采用分層取樣的方式，選取浙江省S市城區(qū)、城鄉(xiāng)接合地區(qū)2個(gè)類型學(xué)校9～14歲的401名兒童作為被試對(duì)象（我們的研究表明，城市、城鄉(xiāng)接合部、農(nóng)村兒童之間的概率認(rèn)知沒有顯著性差異，所以樣本具有代表性），通過以下調(diào)查題目，了解兒童心目中的雪花分布。

題目：如圖所示，花園房頂是平的，由16塊尺寸相等的方磚構(gòu)成。開始下雪了，過了一會(huì)，16片雪花飄落到房頂。請(qǐng)標(biāo)出16片雪花可能落在什么地方（用×表示一片雪花），并寫一寫你的理由。

學(xué)生基于已有的生活經(jīng)驗(yàn)與概率知識(shí)，給出了雪花在房頂?shù)姆植?。這些雪花分布，哪些是隨機(jī)的？哪些是不隨機(jī)的？判斷的標(biāo)準(zhǔn)是什么？我們可以從生活經(jīng)驗(yàn)與概率知識(shí)兩個(gè)方面來回答這些問題。

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們（這里的我們是指成年人了），16片雪花都飄落到一塊方磚上的可能性比較小，除非出現(xiàn)了人為的情形，比如，你用掃帚把這些雪花掃到了一起；同樣地，16片雪花均勻地落到每一塊方磚上的可能性也比較小。這是兩種極端的情形。排除掉這兩種極端的情形，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，16片雪花所占的方磚數(shù)應(yīng)該不多也不少，才可能是沒有受到人為干涉，才可能是隨機(jī)的。到底什么才是“不多也不少”呢？就是極端的情形不能夠出現(xiàn)，用概率的知識(shí)來說，就是“小概率事件在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的”。比如，某廠家生產(chǎn)的燈泡合格率是90%。今天，我們接到了一批產(chǎn)品，理論上而言，這批產(chǎn)品的合格率應(yīng)該是90%。這批產(chǎn)品的合格率是否達(dá)到了呢？我們從中隨機(jī)抽取100只，發(fā)現(xiàn)有30只不合格。我們很容易計(jì)算出，30只燈泡不合格的可能性是1.84×10-8——這是小概率事件。所謂小概率事件，是我們根據(jù)實(shí)際需要來確定的，有時(shí)候規(guī)定，可能性小于等于0.05的事件就是小概率事件；有時(shí)候規(guī)定，可能性小于等于0.01的事件才是小概率事件。如果這批產(chǎn)品是合格的，小概率事件是不可能發(fā)生的；既然發(fā)生了（這是事實(shí)），我們只好說，這批產(chǎn)品不合格。當(dāng)然，這樣去做判斷，也可能會(huì)犯錯(cuò)誤，但是，我們可以把出錯(cuò)的可能性控制在一個(gè)可以接受的范圍內(nèi)。什么是雪花分布的“小概率事件”呢？根據(jù)概率的相關(guān)公式，我們可以計(jì)算出，雪花所占的方磚數(shù)在7～13范圍內(nèi)的概率為95%，而小于7或大于13的概率只有5%左右。因此，“雪花所占的方磚數(shù)小于7或大于13”就是小概率事件。在學(xué)生給出的雪花分布中，如果雪花所占的方磚數(shù)在7～13的范圍內(nèi)，我們初步判定雪花分布是隨機(jī)的；否則，判定雪花分布不是隨機(jī)的。

進(jìn)一步對(duì)初步判定為隨機(jī)的雪花分布進(jìn)行繼續(xù)考察，如果這些雪花分布具有明顯的規(guī)律性（如嚴(yán)格關(guān)于中軸線對(duì)稱等），則判定為不具有隨機(jī)性。比如，以下回答就不具有隨機(jī)性。

如果學(xué)生在圖中標(biāo)出的雪花數(shù)超過或者不足16片，均作為無效數(shù)據(jù)處理。

綜上，如果方磚上的雪花總數(shù)恰好為16片，且雪花所占的方磚數(shù)在7～13之間，且雪花分布沒有明顯的規(guī)律性，我們判定這樣的雪花分布是隨機(jī)的，其余情形均判定為不隨機(jī)。分布是隨機(jī)的記為1分，否則為0分。

二、兒童心目中的雪花分布

學(xué)生在描述了心目中的雪花分布后，給出了各種各樣的理由。這些分布不外乎隨機(jī)與不隨機(jī)兩類；理由可以分為4類，分別如下。

（一）運(yùn)用模糊的概率知識(shí)進(jìn)行判斷

3836號(hào)兒童描述的分布如圖1，理由是“因?yàn)槊恳粔K方磚都有的概率得到雪花，而雪花又正好是16片，又有的概率飄到不同的方磚上”。

這是經(jīng)常出現(xiàn)的情形。既然每一塊方磚都有的可能得到雪花，而恰恰是16片雪花，因而，每一塊方磚上正好有一片雪花。描述了同樣分布的兒童，給出了以下類似的理由。有的兒童干脆做起了除法：16÷16=1，所以每塊方磚上一片雪花。3835號(hào)、3432號(hào)兒童給出的理由分別是“因?yàn)闄C(jī)會(huì)平等”“因?yàn)橛?6塊方磚，而正好有16片雪花，每一片雪花很少疊在一起，但它們的數(shù)目相等，這樣剛剛好，這樣很公平”。顯然這些分布都是不隨機(jī)的。

學(xué)生之所以呈現(xiàn)出這種模糊的概率知識(shí)，首要原因是他們將“多次試驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性”和“一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性”混淆了，沒有意識(shí)到每一片雪花的下落過程是獨(dú)立的。更具體地說，從長(zhǎng)時(shí)間結(jié)果來看，如果連續(xù)下了幾小時(shí)的雪，每塊方磚上的雪花個(gè)數(shù)理論上是差不多的。但是，這是長(zhǎng)時(shí)間重復(fù)試驗(yàn)才表現(xiàn)出的“規(guī)律”。換言之，用頻率估計(jì)概率的過程，是長(zhǎng)時(shí)間、多次重復(fù)試驗(yàn)之后根據(jù)各個(gè)結(jié)果的頻率進(jìn)行歸納（估計(jì)）的過程。兒童持有模糊的概率知識(shí)，其認(rèn)知局限表現(xiàn)在，少數(shù)幾次的試驗(yàn)結(jié)果不足以概括多次、重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果樣態(tài)。前者具有特殊性（即時(shí)性、隨機(jī)性），后者具有一般性（規(guī)律性）。其次，學(xué)生的這種模糊的概率知識(shí)還可能與其逐漸發(fā)展的確定性思維有關(guān)：兒童將“16”片雪花和“16”塊方磚建立聯(lián)系，“等分”思想在其決策過程中發(fā)揮了重要作用。

3526號(hào)兒童描述的分布如圖2，理由是“因?yàn)檠┗ú灰欢h落在每一塊方磚上，有可能有2片或者3片雪花飄落在同一塊方磚上”。3402號(hào)給出了類似的分布，理由是“因?yàn)檠┗ㄊ请S意落下來的，所以落的地方也就不一樣”。2532號(hào)給出了類似的分布，理由是“雪花可能會(huì)下到任何的地方，有可能會(huì)在一起”。

在兒童看來，雪花的飄落是隨機(jī)的，因而，不可能每一片雪花飄落在每一塊（不同的）方磚上，所以出現(xiàn)了有的方磚上2片、有的3片的情形。而這樣的情形恰恰是隨機(jī)的。

同樣從“每一片雪花飄落到方磚上是隨機(jī)的”出發(fā)，一種觀點(diǎn)認(rèn)為，機(jī)會(huì)均等，所以，一塊方磚上一片雪花；一種觀點(diǎn)認(rèn)為，一塊方磚上可能多于一片雪花。這就體現(xiàn)出隨機(jī)事件的規(guī)律性與隨機(jī)性：大量試驗(yàn)的規(guī)律性與一次試驗(yàn)的隨機(jī)性。因而，一次試驗(yàn)是不可能出現(xiàn)規(guī)律性的。事實(shí)上，每塊方磚一片雪花的概率只有十萬分之一。

（二）根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)、喜好進(jìn)行主觀判斷

3843號(hào)兒童描述的分布如圖3，理由是“因?yàn)檠┗ㄊ请S風(fēng)飄的，沒有固定結(jié)果”。3838號(hào)描述了類似的分布，理由是“因?yàn)檠┗ㄊ遣灰?guī)則的，它可以飄向任意一個(gè)方向”。

3509號(hào)兒童描述的分布如圖4，理由是“因?yàn)榻巧蠒?huì)難一點(diǎn)落到，所以四個(gè)角上都沒有雪花落到”。3501號(hào)描述了類似的分布，理由是“它們可能隨處亂飄，可能一塊方磚上一片，也可能幾片落在一塊磚上”。

3428號(hào)兒童描述的分布如圖5，理由是“因?yàn)橹虚g雪花不太容易掉下來”。3419號(hào)給出了類似的分布，理由是“它們?cè)谝黄稹?。明顯地，兒童提供的這些理由，無論是“隨風(fēng)飄”“亂飄” “不規(guī)則”，還是“中間的雪花不容易掉下來”，大都來自自己的生活經(jīng)驗(yàn)，大都來自自己的主觀意識(shí)，而基于生活經(jīng)驗(yàn)與主觀意識(shí)所描述的分布大都是隨機(jī)的。這些兒童還沒有被數(shù)學(xué)的確定性因果思維“禁錮”“侵蝕”，仍然有著較好的隨機(jī)性直覺。

需要指出的是，我們?cè)O(shè)計(jì)的問題具有一定的生活背景，因此兒童的生活經(jīng)驗(yàn)一定程度上能夠幫助其做出合理的決策。概言之，兒童在決策時(shí)所依靠的生活經(jīng)驗(yàn)主要來源于以下幾個(gè)方面：（1）雪花。如“雪花的形狀不規(guī)則，因此……”“雪花是隨意飛的，因此……”（2）方磚。如“方磚的角難以有雪花落到，因此……”（3）外力。如“風(fēng)吹著雪花跑，因此風(fēng)向、風(fēng)力對(duì)雪花的飄落位置有影響”；（4）當(dāng)事人。如“根據(jù)個(gè)人自身喜好決策”。隨機(jī)事件與現(xiàn)實(shí)生活有著千絲萬縷的聯(lián)系，把隨機(jī)事件的結(jié)果歸結(jié)為上述因素，避免了“確定性思維”的干擾，生活經(jīng)驗(yàn)在兒童決策中也產(chǎn)生了正向的影響。然而，如果我們把情境置換成現(xiàn)實(shí)性不強(qiáng)的問題，如“摸球”模型：一個(gè)不透明的盒子里有1個(gè)黑球、1個(gè)白球，它們除顏色不同外，其他均相同。搖一搖盒子，閉上眼睛從中摸出1個(gè)球，請(qǐng)問摸出哪種球的可能性大？我們的研究發(fā)現(xiàn)，也有兒童在決策中表現(xiàn)出上述的生活經(jīng)驗(yàn)，把隨機(jī)事件的結(jié)果歸結(jié)為：（1）球。如“我們不是球，只有球知道”；（2）外力。如“只有天知道”；（3）當(dāng)事人。如“我喜歡白球”。如果說“雪花問題”由于其現(xiàn)實(shí)背景較強(qiáng)，兒童的解釋存在某種程度的“合理性”，那么兒童在“摸球問題”中的類似經(jīng)驗(yàn)就顯得蒼白無力。

2402號(hào)兒童描述的分布如圖1，理由是“因?yàn)轱L(fēng)大時(shí)，雪花會(huì)飄落在上面，而風(fēng)小時(shí)，雪花會(huì)落在下面，而當(dāng)風(fēng)中等時(shí)，雪花會(huì)落在中間，所以每排幾乎都一樣”。如前所述，3836號(hào)兒童也認(rèn)為雪花是均勻分布在每一塊方磚上的（即每一塊方磚正好一片雪花），但他是基于“等可能性”（模糊的概率知識(shí)）做出判斷的。這里，兒童基于生活經(jīng)驗(yàn)、基于自己的主觀，給出了同樣的分布。這樣的分布是不隨機(jī)的。

3834號(hào)兒童給出的分布如圖6 ，理由是“因?yàn)橄卵┮挝鞅憋L(fēng)，所以雪花被吹到東南方”。3503號(hào)兒童描述了類似的分布，理由是“因?yàn)槎斓娘L(fēng)是往南吹的，所以雪花就在南邊”。2433號(hào)兒童描述了類似的分布，理由是“因?yàn)榭赡茱L(fēng)大，雪往一個(gè)地方飄”。

（三）動(dòng)手試驗(yàn)

3517號(hào)兒童描述的分布如圖7，理由是“我有一張紙，坐（做）過了”。

學(xué)生通過試驗(yàn)，得到了這樣的分布，這樣的分布是隨機(jī)的。我們的研究表明，動(dòng)手試驗(yàn)所得到的分布98%以上都是隨機(jī)的，因而，動(dòng)手試驗(yàn)?zāi)軌蚣m正兒童的錯(cuò)誤觀念[4]。

（四）其他（雪花數(shù)少于16片）

3426號(hào)兒童描述的分布如圖8，理由是“16片雪花不可能全部飄落到房頂，因?yàn)榈厣蠒?huì)飄落上去”。

類似的情況比較多。兒童沒有仔細(xì)閱讀題目中的文字“房頂是平的，16片雪花飄落到房頂”，認(rèn)為房頂是傾斜的，憑借自己的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為有的雪花沒有落到房頂，于是出現(xiàn)了這樣的分布。

兒童給出的理由統(tǒng)計(jì)如表1，雪花分布得分如圖9。

從上表（圖）中可以看出，12歲是一個(gè)分界點(diǎn)：12歲之前，選擇“運(yùn)用模糊的概率知識(shí)”兒童的百分比是30%左右，選擇“主觀判斷”兒童的百分比是50%左右，選擇前一個(gè)理由兒童的百分比明顯低于選擇后一個(gè)理由兒童的百分比。12歲之后，隨著年齡的增加，選擇“運(yùn)用模糊的概率知識(shí)”兒童的百分比是45%左右，選擇“主觀判斷”的兒童的百分比是25%左右，選擇前一個(gè)理由兒童的百分比明顯高于選擇后一個(gè)理由兒童的百分比。對(duì)比兒童隨機(jī)分布認(rèn)知得分，我們發(fā)現(xiàn)，9～11歲兒童的得分明顯比13～14歲兒童的高。我們是否可以得出這樣的結(jié)論：選擇“運(yùn)用模糊的概率知識(shí)”的兒童越多，其雪花分布得分就越低；選擇“主觀判斷”的兒童越多，其雪花分布得分就越高。

這樣的結(jié)果也容易理解。兒童的概率知識(shí)僅僅局限在“每一片雪花飄落到每一片方磚上的可能性均是”，而對(duì)于每一片雪花飄落的獨(dú)立性、規(guī)律性是不了解的，兒童的概率知識(shí)非常有限。應(yīng)用有限的概率知識(shí)，就會(huì)出現(xiàn)3836號(hào)兒童所描述的分布，這樣的分布不具有隨機(jī)性。相反，如果基于自己的主觀判斷，基于隨機(jī)性直覺，再聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，就有可能得到隨機(jī)的分布。當(dāng)然，生活經(jīng)驗(yàn)是一把雙刃劍，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)告訴我們：雪下了很長(zhǎng)一段時(shí)間后，雪的表面是平滑的——也就是說，雪的分布是均勻的。這事實(shí)上表明，一次試驗(yàn)的隨機(jī)性與多次試驗(yàn)的規(guī)律性。

對(duì)兒童給出的理由與正確率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（表2），我們發(fā)現(xiàn)：無論是正確的頻數(shù)占回答頻數(shù)的百分比，還是正確的頻數(shù)占總數(shù)的百分比，選擇“主觀判斷”的兒童比選擇“運(yùn)用模糊的概率知識(shí)”的兒童要高。這進(jìn)一步說明，基于主觀判斷的，更有可能給出隨機(jī)的分布。當(dāng)然，動(dòng)手試驗(yàn)得到的分布均是隨機(jī)的，這表明，試驗(yàn)是獲得雪花分布隨機(jī)的有效方式。

三、幾點(diǎn)思考

（一）兒童對(duì)雪花分布的認(rèn)知水平很低

從兒童雪花分布得分圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)，即便是在10歲的最高水平，也僅僅有14%的兒童能夠獲得正確的認(rèn)知，并且，從10歲開始，兒童的認(rèn)知水平不斷下降，14歲時(shí)才出現(xiàn)了回升。這一結(jié)果表明，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童對(duì)雪花分布的認(rèn)知不升反降。因而，這部分內(nèi)容并不適合在義務(wù)教育階段出現(xiàn)。

（二）尋求確定性數(shù)學(xué)的規(guī)律導(dǎo)致了兒童的認(rèn)知水平很低

通過對(duì)兒童給出的理由進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)，之所以出現(xiàn)不升反降的現(xiàn)象，是由于隨著年齡的增長(zhǎng)，更多的兒童尋求確定性數(shù)學(xué)的知識(shí)，而對(duì)于概率的知識(shí)，客觀上他們還不具備，于是出現(xiàn)了這樣的窘境：理論知識(shí)尚未建立，良好的隨機(jī)性直覺又逐漸喪失。也許，只有學(xué)習(xí)了概率知識(shí)，知道了重復(fù)試驗(yàn)的規(guī)律性（大數(shù)定律）與一次試驗(yàn)的隨機(jī)性后，他們才能夠給出隨機(jī)的分布。

（三）動(dòng)手試驗(yàn)?zāi)軌蛱嵘齼和恼J(rèn)知水平

動(dòng)手試驗(yàn)的兒童所描述的分布都是隨機(jī)的，這再一次告訴我們，動(dòng)手試驗(yàn)是學(xué)習(xí)概率知識(shí)的有效方式[5]。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)加安.概率破玄機(jī)，統(tǒng)計(jì)解迷離 [N]. 中國(guó)科學(xué)報(bào)，2012-03-03.

[2]Green， D. R. A Survey of Probability Concepts in 3000 Students aged 11-16 Years. In D. R. Grey （ed.）， Proceedings of the First International Conference on Teaching Statistics， Teaching Statistics Trust. University of Sheffield， 1982.

[3]張?zhí)煨?數(shù)學(xué)（六年級(jí)下冊(cè)）[M].杭州：浙江教育出版社，2008.

[4]鞏子坤. 6～14歲兒童的概率概念認(rèn)知發(fā)展研究[D]. 浙江大學(xué)，2012.

[5]鞏子坤，宋乃慶. 統(tǒng)計(jì)與概率的教與學(xué)：反思與建議[J].人民教育，2006（10）：1-6.

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