經(jīng)歷解題過程 提升思維能力

朱悅

[摘 要] 讓學(xué)生經(jīng)歷解題的過程，可以使學(xué)生在思考與探究中親歷知識(shí)形成與發(fā)展的過程，從而在獲得知識(shí)結(jié)果的同時(shí)提高學(xué)生的思維能力，更好地促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展. 審題、解題、檢驗(yàn)是一個(gè)完整的過程，也是落實(shí)“四能”的根本途徑.

[關(guān)鍵詞] 解題過程；解決問題；思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)注重的是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式來(lái)進(jìn)行思考，增強(qiáng)和發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 在教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題中把握題目的本質(zhì)，讓學(xué)生在審題中找出解決問題的思路與方法，從而在解決問題的同時(shí)提高學(xué)生的思維創(chuàng)新能力. 解決問題是目的，而思維過程是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本，只有注重了探究的過程，才能讓學(xué)生在反思與檢驗(yàn)中得到拓展與提升，也才能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中收獲到成功的喜悅，從而在發(fā)展思維的同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

審題——解決問題的基礎(chǔ)

解決問題的關(guān)鍵一步是審題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)審題，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，以此來(lái)構(gòu)建起解決問題的策略，從而應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，這是教學(xué)的關(guān)鍵，也是解決問題的根本. 審題的過程其實(shí)就是學(xué)生思維的過程，在審題中找出有關(guān)信息，并借助信息得出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)由生活到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化，也可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提升.

1. 識(shí)別問題中的相關(guān)信息

問題為我們提供了太多的信息，教師需要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)信息、尋找信息，從而利用信息解決問題. 在問題中可能會(huì)出現(xiàn)一些虛假信息，需要學(xué)生進(jìn)行甄別，在這一過程中可以反映出學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題的同時(shí)抽取出重要的解決問題的信息，并將這些信息進(jìn)行整理，這樣也就使學(xué)生收集信息、整理信息的能力得到了加強(qiáng)，從而為解決問題奠定下良好的基礎(chǔ).

如在學(xué)習(xí)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)《分式》時(shí)，為了讓學(xué)生全面把握分式的概念、分式的基本性質(zhì)和化簡(jiǎn)求值，筆者給學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：先化簡(jiǎn)，再選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求出1-的值. 對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說，分式的化簡(jiǎn)不是問題，而“你喜歡的數(shù)”則容易出現(xiàn)問題，因?yàn)檫@里的“你喜歡的數(shù)”并不真正是你喜歡的什么數(shù)都可以，它是一個(gè)合適的數(shù)字. 在獲取了這一信息后，學(xué)生就會(huì)從分式有意義出發(fā)，想到分式的分母不能為0，則x不能取1，-1，0，由此再隨意選擇一個(gè)數(shù)代入實(shí)現(xiàn)正確求解.

2. 對(duì)問題進(jìn)行理解和表征

對(duì)問題進(jìn)行理解和表征是根據(jù)問題所提供的信息及學(xué)生的認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己對(duì)知識(shí)理解的過程. 在審題時(shí)教師要有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的表征能力，把表征當(dāng)作問題解決的中心環(huán)節(jié). 學(xué)生通過在思考中的語(yǔ)言交流，運(yùn)用文字、符號(hào)、模型等形式來(lái)將問題形象化地表示出來(lái)，從而將外在的信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的認(rèn)知，幫助學(xué)生理解知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建構(gòu).

如在學(xué)習(xí)七年級(jí)下冊(cè)《一元一次不等式組》時(shí)，筆者為學(xué)生安排了一個(gè)方案設(shè)計(jì)類的問題，讓學(xué)生通過對(duì)題意的理解來(lái)建構(gòu)不等式模型，將現(xiàn)實(shí)問題以數(shù)學(xué)的形式表征出來(lái)：某校數(shù)學(xué)興趣小組接到了一個(gè)設(shè)計(jì) “慶元旦、迎新春”舞臺(tái)布置的任務(wù)，學(xué)校要求用手工制作興趣小組已做好的349只千紙鶴和295朵向日葵花搭配A，B兩種造型共50個(gè)，已知搭配一個(gè)A造型需千紙鶴8只、向日葵花4朵，搭配一個(gè)B造型需千紙鶴5只、向日葵花9朵，問：你有幾種方案？請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)出來(lái). 學(xué)生通過審題理清它們之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)設(shè)A造型x個(gè)，則B造型（50-x）個(gè)，由此來(lái)構(gòu)建不等式組的模型，實(shí)現(xiàn)問題的清晰化，有助于解決實(shí)際問題.

解題——解決問題的核心

運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵. 以審題為前提，引導(dǎo)學(xué)生找出解決問題的突破口，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表征問題中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問題的目的. 在解決問題的過程中，首先要分析清問題中的相關(guān)要素，把握準(zhǔn)問題的關(guān)鍵，目標(biāo)明確、按部就班地理清解決問題的思路，從而幫助學(xué)生感悟模型思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí).

1. 引導(dǎo)學(xué)生把握問題關(guān)鍵

數(shù)學(xué)問題，尤其是一些抽象的幾何類問題，需要學(xué)生從問題中提取出有用的信息進(jìn)行分析與研究，從而把握住問題的關(guān)鍵. 只有將信息進(jìn)行了篩選與整合，才能幫助學(xué)生更好地理清數(shù)量之間的關(guān)系，也才能為解決問題鋪平道路. “教”是為了“不教”，在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)信息、合理利用信息的能力，既能夠使問題解決輕松自然，又能夠有效提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

如在學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)《全等三角形》時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于具備三個(gè)條件的三角形進(jìn)行分類，并通過動(dòng)手操作、推理證明等方式來(lái)驗(yàn)證并得出三角形全等的判定定理. 如在對(duì)“兩邊一角”進(jìn)行分析時(shí)，可能出現(xiàn)的情況有“兩邊及其夾角”和“兩邊及其一邊的對(duì)角”，這樣在探究時(shí)，學(xué)生就能夠發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)鍵，即具備了這樣條件的兩個(gè)三角形是否全等. 學(xué)生通過動(dòng)手操作與合作探究可以得到“兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”，而“兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等”. 在此過程中，以學(xué)生的自主探究為主，教師適時(shí)點(diǎn)撥為輔，突出了學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生明確了知識(shí)的獲得是自己的行為，也就為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

2. 引導(dǎo)學(xué)生表征數(shù)量關(guān)系

在分析問題的前提下，表征數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，可以真正將現(xiàn)實(shí)生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而找出解決問題的最有效方法. 表征數(shù)量關(guān)系實(shí)現(xiàn)了量變到質(zhì)變的升華，為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升做好了積累，對(duì)于提高學(xué)生分析問題、解決問題能力有著重要的意義. 放手讓學(xué)生通過自主嘗試、合作交流等方式來(lái)探究問題解決的方法，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷收獲到成功的喜悅，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，也就可以最大程度上提高學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量.

如在學(xué)習(xí)九年級(jí)上冊(cè)《一元二次方程》時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于面積、增長(zhǎng)（下降）率等問題在把握數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，用方程的形式表征出來(lái)，以實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，從而順利解決問題. 如某地2012年人均年收入26500元，2014年人均年收入達(dá)到44785元，則兩年的平均增長(zhǎng)率是多少？學(xué)生在分析基本等量關(guān)系的同時(shí)可以設(shè)出未知數(shù)、列出方程，從而正確解決問題.

檢驗(yàn)——解決問題的延伸

解決問題后的檢驗(yàn)是提高學(xué)生發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力的必要環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過檢驗(yàn)來(lái)反思自己解題的方法是否合理與正確，是不是最優(yōu)化的解決方法，在此基礎(chǔ)上對(duì)問題進(jìn)行拓展與延伸，可以達(dá)到舉一反三的目的，讓學(xué)生的思路更加寬廣，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更加到位，也就可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)知識(shí)，掌握技能，并積累起豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

1. 解法是否合理且優(yōu)化

對(duì)于同一問題可能會(huì)有不同的解法，在教學(xué)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生盡可能多地思考不同的解法，同時(shí)進(jìn)行比較，找出最優(yōu)化的解題方法. 這樣的過程可以培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問題的習(xí)慣，也可以讓學(xué)生的發(fā)散思維能力在解題過程中得到鍛煉，從而使學(xué)生既能夠一題多解，又能夠舉一反三，優(yōu)化學(xué)生的解題方法，讓學(xué)生在以后解題時(shí)先想一想怎樣才能既正確又簡(jiǎn)潔.

如在學(xué)習(xí)七年級(jí)下冊(cè)《二元一次方程組》時(shí)，對(duì)于“雞兔同籠”問題學(xué)生可能給出不同的方法，如用小學(xué)時(shí)學(xué)過的抬腳法、假設(shè)法，也可用前面剛學(xué)過的一元一次方程的方法，但更多的同學(xué)用到了二元一次方程組，這是因?yàn)檫@種方法形象直觀便于理解. 在學(xué)生給出各種方法后，教師需引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法合理性的檢驗(yàn)和最優(yōu)化的檢驗(yàn)，讓解決問題的方法更加適合學(xué)生不斷成長(zhǎng)的心理需求.

2. 能否進(jìn)一步拓展思考

解決問題后不僅要檢驗(yàn)解題的正確性，還要思考在此問題的基礎(chǔ)上是否可以進(jìn)一步拓展與延伸，讓學(xué)生不僅能夠從知識(shí)層面上得到提升，還能夠從本質(zhì)上內(nèi)化對(duì)知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)由表及里、由此及彼的跨越式發(fā)展. 解后的拓展不再僅僅是相同方法的重復(fù)利用，而是對(duì)問題的深層延伸，是提高學(xué)生思維能力必不可少的重要一步.

如在學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)《勾股定理》時(shí)，對(duì)于例題中的梯子下滑問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，如底端向外滑動(dòng)一定長(zhǎng)度時(shí)頂端下滑的長(zhǎng)度，當(dāng)頂端下滑幾米時(shí)能與底端外延的長(zhǎng)度相等？諸如此等都是為了讓學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握更透徹，也是為了讓學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的拓展與延伸.

總之，讓學(xué)生經(jīng)歷解題的過程，可以使學(xué)生在思考與探究中親歷知識(shí)形成與發(fā)展的過程，從而在獲得知識(shí)結(jié)果的同時(shí)提高學(xué)生的思維能力，更好地促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展. 解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目的，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，實(shí)現(xiàn)兩者的共同進(jìn)步才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也才能使數(shù)學(xué)教學(xué)更快、更好地發(fā)展.