基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程和CB模型的彩色圖像去噪方法

周　千

(西安航空學(xué)院理學(xué)院　西安　710077)

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基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程和CB模型的彩色圖像去噪方法

周千

(西安航空學(xué)院理學(xué)院西安710077)

將分?jǐn)?shù)階偏微分理論和CB模型相結(jié)合應(yīng)用于圖像去噪,提出了一種基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程和CB模型的彩色圖像去噪方法。首先,將一副彩色圖像分解為色度C和亮度B兩部分,然后用分?jǐn)?shù)階偏微分模型處理亮度B,而對(duì)于色度C,由于其受到單位長度的限制,在處理時(shí)非常困難,利用拉格朗日乘數(shù)法并通過添加輔助變量,將色度轉(zhuǎn)化為兩個(gè)近似的子問題,從而得到色度的近似處理方法,最后將處理后的亮度B和色度C合成為新的彩色圖像。最后通過實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。

彩色圖像去噪; 分?jǐn)?shù)階偏微分方程; CB模型

Class NumberTP391

1　引言

圖像去噪是圖像處理和圖像分析領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題。但是,一般的圖像去噪模型都是針對(duì)灰度圖像進(jìn)行處理[1～5]。然而,在實(shí)際生活中,人們接觸到的圖像主要是彩色圖像,因此,對(duì)彩色圖像進(jìn)行去噪處理[6～9]具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。傳統(tǒng)的彩色圖像處理方法都是采用RGB空間,分別對(duì)彩色圖像的紅、綠、藍(lán)三分量進(jìn)行處理,最后再將處理后的三個(gè)分量合成彩色圖像。雖然這種方法具有實(shí)現(xiàn)過程簡(jiǎn)單、處理速度快等特點(diǎn),但由于彩色圖像的三個(gè)分量原本是一個(gè)有機(jī)的整體,相互之間具有很高的相關(guān)性,將RGB三個(gè)分量分開處理往往會(huì)導(dǎo)致最終得到的彩色圖像失真,降低去噪后彩色圖像的質(zhì)量。

針對(duì)傳統(tǒng)彩色圖像去噪方法出現(xiàn)的階梯效應(yīng)以及采用RGB三分量分開處理時(shí)所產(chǎn)生的圖像失真等缺點(diǎn),本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程[10]和CB(Chromaticity-Brightness)模型的彩色圖像去噪方法。首先,將一幅彩色圖像I分為色度C(Chromaticity)和亮度B(Brightness)兩部分,其中,

這里,‖·‖表示L2范數(shù)。亮度B表示RGB彩色向量的長度,色度C用來存儲(chǔ)單位長度上的彩色信息。對(duì)于亮度B,大多數(shù)的研究者采用TV模型(全變分圖像去噪模型)進(jìn)行處理,但TV模型屬于二階偏微分方程的范疇,去噪結(jié)果會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng),本文采用分?jǐn)?shù)階偏微分方程[10]對(duì)亮度B進(jìn)行處理;對(duì)于色度C,由于其受到單位長度的限制,在處理時(shí)非常困難,本文利用拉格朗日乘數(shù)法并通過添加輔助變量,將色度轉(zhuǎn)化為兩個(gè)近似的子問題,從而得到色度的近似處理方法[8],然后將處理后的亮度B和色度C合成新的彩色圖像。最后通過實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。

2　分?jǐn)?shù)階偏微分方程圖像去噪模型

分?jǐn)?shù)階微分是整數(shù)階微分的推廣,從不同的角度去考查分?jǐn)?shù)階微分可以得到不同的定義。常用的定義方法有基于時(shí)域空間的Riemann-Liouville(R-L)定義和Grunwald-Letnikov定義,還有基于頻域空間的Fourier變換域、小波變換域等定義。本文采用基于頻域空間的定義,因?yàn)槠湎鄬?duì)簡(jiǎn)單并且容易實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L2(R),它的Fourier變換為

(1)

一階微分在頻域的等價(jià)形式為

(2)

其中,“?”表示Fourier變換對(duì)。

將整數(shù)階推廣到分?jǐn)?shù)階,可得分?jǐn)?shù)階微分在頻域的等價(jià)形式為

(3)

對(duì)于任意給定的二維信號(hào)g(x,y)∈L2(R2),其相應(yīng)的二維Fourier變換為

(4)

因此,其分?jǐn)?shù)階偏導(dǎo)數(shù)形式為

(5)

其中F-1是二維連續(xù)Fourier逆變換算子。

基于偏微分方程的圖像去噪模型的去噪過程可解釋為一個(gè)能量泛函的最小化的能量耗散的過程,整數(shù)階偏微分去噪模型的能量泛函為

(6)

式中Ω是圖像區(qū)域,f(·)≥0是遞增函數(shù)。

將整數(shù)階推廣到分?jǐn)?shù)階,可得分?jǐn)?shù)階偏微分去噪模型的能量泛函為

E(u)=∫Ωf(|Dαu|)dΩ

接下來,計(jì)算式(7)的歐拉-拉格朗日方程。

取任意的測(cè)試函數(shù)η∈C∞(Ω)，定義

Φ(a)=∫Ωf(|Dαu+aDαη|)dxdy

(8)

可得:

(9)

式(9)可利用如下的最速下降法求解:

(10)

式(10)中,當(dāng)α=1時(shí),方程就退化為Perona-Malik方程;當(dāng)α=2時(shí),方程就是四階各向異性擴(kuò)散方程。

為了計(jì)算的方便,對(duì)式(10)中分?jǐn)?shù)階偏微分的計(jì)算如下:

3　基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程和CB模型的彩色圖像去噪模型

在RGB空間,一幅彩色圖像可以看作一個(gè)映射:

(11)

大多數(shù)的圖像去噪方法是建立在RGB空間體系上,CB模型也是來源于RGB顏色空間,它把I分為色度C(Chromaticity)和亮度B(Brightness)兩部分,其中,

這里,‖·‖表示L2范數(shù)。亮度B表示RGB彩色向量的長度,色度C用來存儲(chǔ)單位長度上的彩色信息。

對(duì)于亮度B,采用基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的圖像去噪模型進(jìn)行處理,分?jǐn)?shù)階微分可以大幅提升圖像的高頻成分、增強(qiáng)圖像的中頻成分、非線性保留圖像的低頻成分,因此可以較好地保留圖像平滑區(qū)域中灰度變化不大的紋理細(xì)節(jié)信息,同時(shí),還可以避免二階非線性擴(kuò)散所特有的“階梯效應(yīng)”。

而對(duì)于色度C的去噪,首先將C表示為C=(C1,C2,C3),然后考慮:

(12)

對(duì)式(12),利用拉格朗日乘數(shù)法可得到一個(gè)無條件極值問題:

(13)

其中μ(x)是在點(diǎn)x∈Ω的拉格朗日乘數(shù)。

為了有效地解決問題(13),文獻(xiàn)[4]添加了一個(gè)新的變量U來近似的代替色度C,并且獲得了問題(13)的一個(gè)近似問題:

(14)

最后,分別推導(dǎo)出了式中μ,C,U的計(jì)算方法:

(15)

(16)

(17)

(18)

本文算法實(shí)現(xiàn)主要包括以下三個(gè)步驟:

1) 把待處理的彩色圖像分解為色度C和亮度B兩部分;

2) 對(duì)于亮度B,將其代入式(10)中進(jìn)行處理,而對(duì)于色度C則利用式(15)～式(18)進(jìn)行迭代求解;

3) 最后,將處理后的色度C和亮度B合成新的彩色圖像。

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文模型的有效性,在Matlab7.0的平臺(tái)下進(jìn)行了兩組比較實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果主要通過計(jì)算去噪后圖像的信噪比(SNR)作為去噪性能的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

第一組實(shí)驗(yàn)是將本文方法與基于整數(shù)階偏微分方程的圖像去噪算法[8]進(jìn)行比較,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。選取標(biāo)準(zhǔn)的Lena圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn),圖1(a)是原圖,圖1(b)是未加噪聲的亮度圖。由于本文算法中關(guān)于色度C的處理是利用文獻(xiàn)[8]中的方法,故只給亮度B添加均值為0,方差為0.01的高斯噪聲,其中SNR=13.4853,如圖1(d)所示,色度C不添加噪聲,如圖1(c)所示。在文獻(xiàn)[8]中,對(duì)于亮度B的處理采用Rudin-Osher-Fatemi(ROF)模型[1],而本文算法中對(duì)于亮度B的處理則采用分?jǐn)?shù)階偏微分模型,ROF模型屬于二階偏微分方程去噪模型,有其固有的缺點(diǎn),即會(huì)產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”,而本文模型去噪后的圖像不僅可以抑制大量的噪聲,同時(shí)又保護(hù)了帽檐、頭發(fā)等邊緣文理細(xì)節(jié)。最后,從實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以看出,在噪聲強(qiáng)度相同的條件下,本文模型處理后得到的圖像的SNR=19.1803高于文獻(xiàn)[8]中方法處理后得到的圖像的SNR=18.5681,從客觀角度說明了本文模型的有效性和優(yōu)越性。

圖1　Lena圖像及文獻(xiàn)[8]方法和本文方法的去噪效果圖

第二組實(shí)驗(yàn)是將本文方法與傳統(tǒng)的基于RGB三通道的圖像去噪算法[9]進(jìn)行比較,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。選取標(biāo)準(zhǔn)的Pepper圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn),圖2(a)是原圖,圖2(b)是添加均值為0,方差為0.01的高斯噪聲圖。圖2(c)是基于RGB三通道的圖像去噪算法處理的結(jié)果,從圖中可以看出,該方法處理后的彩色圖像有明顯的失真現(xiàn)象,特別是在圖中紅色辣椒的部分,從而降低了去噪后彩色圖像的質(zhì)量,其原因是彩色圖像RGB三個(gè)分量原本是一個(gè)有機(jī)的整體,相互之間具有很高的相關(guān)性,將RGB三個(gè)分量分開處理勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致圖像失真。圖2(d)是本文方法處理的結(jié)果,從圖中可以看出,本文方法處理后的圖像更加接近于原圖,視覺效果較好。最后,從實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以看出,在噪聲強(qiáng)度相同的條件下,本文模型處理后得到的圖像的SNR=21.1993高于基于RGB三通道的圖像去噪算法處理后得到的圖像的SNR=16.8106,進(jìn)而從客觀角度說明了本文模型的有效性和優(yōu)越性。

圖2　Pepper圖像及三通道方法和本文方法的去噪效果圖

5　結(jié)語

本文將分?jǐn)?shù)階偏微分理論和CB模型相結(jié)合應(yīng)用于圖像去噪,提出了一種基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程和CB模型的彩色圖像去噪方法。首先,將一副彩色圖像分解為色度C和亮度B兩部分,然后用分?jǐn)?shù)階偏微分模型處理亮度B,利用拉格朗日乘數(shù)法并通過添加輔助變量,將色度轉(zhuǎn)化為兩個(gè)近似的子問題,從而得到色度的近似處理方法,最后將處理后的亮度B和色度C合成為新的彩色圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的方法既能有效的加強(qiáng)圖像的紋理信息,并能獲得更好地視覺效果。

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Novel Color Image Denoising Method Based on Fractional-Order Partial Differential Equation and CB Model

ZHOU Qian

(School of Science, Xi’an Aerotechnical University, Xi’an710077)

Combing fractional-order differential theory with Chromaticity-Brightness(CB) model, a novel image denoising model was proposed, which was based on fractional-order partial differential equation and CB model. Firstly, a color image was decomposed into chromaticity component and brightness component. Secondly, fractional-order differential model was used for brightness component. For chromaticity component, Lagrange multipliers method was used and an auxiliary variable was added to approximate the chromaticity. Thirdly, the retorted image was got by multiplying the recovered chromaticity with recovered brightness. Finally, it proved the validity of the proposed model through the experiment.

color image denoising, fractional-order differential equation, CB color model

2016年2月13日,

2016年3月30日

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(編號(hào):15JK1379);西安航空學(xué)院科研基金項(xiàng)目(編號(hào):13XP19；2014KY1210)資助。

周千,男,碩士研究生,講師,研究方向:基于偏微分方程的圖像處理。

TP391

10.3969/j.issn.1672-9722.2016.08.037