A Noise Suppression Scheme with EEMD Based on Angle Cosine and Fuzzy Threshold*

MA Ziji，GUO Shuaifeng，LI Yanfu（School of Electrical and Information Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

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A Noise Suppression Scheme with EEMD Based on Angle Cosine and Fuzzy Threshold*

MA Ziji*，GUO Shuaifeng，LI Yanfu
（School of Electrical and Information Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

In this paper，a novel noise suppression scheme that exploits the angle cosine and fuzzy threshold，is pro?posed to improve the denoising accuracy for nonlinear and non-stationary signals.The proposed scheme combines with the adaptive characteristics of the conventional EEMD as well.Firstly，the similarity between intrinsic mode function（IMF）and observed signal is calculated by the angle cosine method.The IMFs are then divided into noise dominated and signal dominated part by finding the latter location of the first minimal value of cosine similarity curve.The VisuShrink threshold tends to“overkill”the detail coefficient，while the SUREShrink threshold tends to“underkill”the noise coefficient.Employing a fuzzy threshold that is an optimal value within the convergent range of VisuShrink and SUREShrink threshold，we can remove the noise part from the noise dominated IMF well.Finally，all of the remained IMFs are reconstructed to get a noise suppressed signal.Simulation experiments are conducted by us?ing both suppositional and actual ECG signal.The simulation results demonstrate that the proposed scheme can effec?tively suppress the noise，and has better denoising performance than some conventional schemes，such as the half soft threshold wavelet method，EMD soft threshold（EMD-soft）method and the EMD interval threshold（EMD-IT）method.

signal denoising；ensemble empirical mode decomposition；intrinsic mode function；angle cosine；fuzzy threshold

在儀器儀表和測量領(lǐng)域，信號去噪是一個經(jīng)典的問題，良好的去噪方法可以降低由于信號的不確定性而造成的去噪效果的差異。由于實際信號大多是非平穩(wěn)信號，所以傳統(tǒng)的分析方法，例如基于維納濾波的消噪方法已不能滿足要求。小波分析由于良好的時頻分析特性解決了分析非平穩(wěn)信號的問題，但是用小波變換進行去噪時需要預先設定小波基和分解層數(shù)。研究表明［1］，選用不同的小波基和分解層數(shù)對信號的去噪效果影響很大。聚合經(jīng)驗模態(tài)分解EEMD（Ensemble Empirical Mode De?composition）是一種新的數(shù)據(jù)分析方法［2］，它無需設定基函數(shù)，完全根據(jù)信號本身的特征進行分解，將其從高頻到低頻分解成具有物理意義的幾個本征模態(tài)函數(shù)IMF（Intrinsic Mode Function）和一個余量，適用于非平穩(wěn)信號的分析。同時也避免了信號經(jīng)過經(jīng)驗模態(tài)分解［3］EMD（Empirical Mode Decomposi?tion）過程中可能出現(xiàn)的模態(tài)混疊現(xiàn)象，所分解出的IMF更好的反映了信號的特征，去噪性能更具有自適應性，已經(jīng)被廣泛的用于各種領(lǐng)域。

然而EEMD也存在著如何有效的選取模態(tài)的問題。文獻［4］已經(jīng)證明信號的重要成分主要集中在含噪低的高階IMF分量中，即信號主導模態(tài)；而在含噪高的低階IMF分量即噪聲主導模態(tài)中分布較少。文獻［5］提出利用噪聲自相關(guān)特性并對方差設定合適的閾值，克服了文獻［4，6-7］依據(jù)連續(xù)均方誤差法和相關(guān)系數(shù)法容易受信噪比變化影響的缺點，較好地確定了噪聲主導和信號主導分界的IMF分量，但是閾值的確定并沒有給出準確的準則。另外僅利用信號主導IMF的局部重構(gòu)法在去噪的同時會不可避免地丟失一部分有用信號，尤其當信噪比較高的時候更為明顯。在文獻［5］中將噪聲主導IMF使用小波變換法去噪，消噪性能缺乏自適應性。文獻［8］中提出將指定的幾層IMF經(jīng)過間隔閾值法處理，然而參數(shù)M1和M2以及閾值的確定缺乏足夠的理論支撐。

針對以上問題，利用EEMD的抗模態(tài)混疊的優(yōu)點，本文提出一種基于夾角余弦和模糊閾值的去噪方法。利用夾角余弦法計算經(jīng)EEMD分解得到地IMF與觀測信號的相似度得到信號主導模態(tài)與噪聲主導模態(tài)分界的IMF，分層效果更具有魯棒性；并在噪聲主導模態(tài)中引入模糊區(qū)域，通過隸屬度函數(shù)對模糊區(qū)域內(nèi)的系數(shù)進行縮減，然后將所有的IMF合并得到消噪信號。實驗表明，該方法可以在有效消除噪聲的同時，較好地保留了信號的細節(jié)。

1　EEMD算法

針對EMD分解中的模態(tài)混疊現(xiàn)象，Wu等人提出了EEMD方法。該方法是利用高斯白噪聲具有頻率均勻分布的統(tǒng)計特性。當向信號中加入高斯白噪聲后，信號將在不同尺度上具有連續(xù)性，保證了每次對信號都能夠準確求得上下包絡的局部均值，避免了EMD分解的模態(tài)混疊現(xiàn)象。

EEMD具體分解過程如下：

在目標數(shù)據(jù)x（t）上加入白噪聲序列n（t），且白噪聲序列均值為零、方差為常數(shù)，得到一個總體序列X（t），即：

將加入白噪聲的信號序列X（t）利用EMD方法分解為一組本征模態(tài)函數(shù)IMF和殘余分量rc（t），可以表示為：

每次加入不同的白噪聲，重復上述過程，得到：

把m次分解得到的各個IMF分量求取均值作為目標信號的最終分解結(jié)果，

2　基于夾角余弦和模糊閾值的EEMD的去噪方法

2.1夾角余弦法分離噪聲主導模態(tài)

為了得到噪聲主導和信號主導分界的位置Kth，本文采用相似度方法。可以認為信號主導模態(tài)與原始信號具有較多的相似特征，而噪聲主導模態(tài)與輸入信號的相似性較少。本文利用夾角余弦方法計算觀測信號和每一個IMF的相似程度。假定兩個數(shù)據(jù)序列之間的夾角是處于0到90°的閉區(qū)間內(nèi)，當夾角趨于90°時兩個時間序列最不相似，此時的余弦值最小。當夾角趨于0°時兩個時間序列最相似，此時的余弦值最大。在機器學習中，余弦相似度（Cosine Similarity）是一種有效的證明數(shù)據(jù)序列之間相似性的方法。令x和y為N維的列向量，則它的公式可以表示為：

將含噪信號x（t）和imfk（k=1，2...C）之間的相似性定義為：

確定Kth的原則是尋找相似度首次發(fā)生開始逆向轉(zhuǎn)折的位置，可以認為此時Kth是處于IMF分量與原始信號之間的相似度由逐漸減小轉(zhuǎn)換為逐漸變大的分界點。所以本文將Kth定位在S（k）的首個極小值的后一個位置。如一個仿真信號y（t），添加高斯白噪聲n（t），當含噪信號信噪比SNR（Signal To Noise Ratio）為5 dB時可表示為：x（t）=y（t）+n（t）。任意的，令y（t）=cos（2πf1t）+sin（2πf2t），其中f1=0.8 Hz，f2=2Hz。采樣頻率為0.1 kHz，采樣長度為2 048。將噪聲標準差設為0.4，添加噪聲次數(shù)為20。經(jīng)過EEMD分解之后，它的各個IMF分量及其與含噪信號之間的余弦相似度關(guān)系曲線S（k）分別如圖1和圖2所示。圖1可以看出對該仿真信號來說從IMF分量的第四層開始噪聲部分明顯減少。圖2可知經(jīng)本文提出地確定Kth的原則也是自動確定了Kth= 4，表示imf4～imf11為信號主導的IMF分量，imf1～imf3為噪聲主導的IMF分量。同時也可以看出在與觀測信號相似性最高IMF之后相似性會出現(xiàn)下降的情況，這是因為在高階IMF分量中信號的幅度較小，更多體現(xiàn)的是信號的趨勢部分。

圖1　含噪聲的測試信號EEMD分解結(jié)果

為了進一步確認該方法確定Kth的有效性，從第二層IMF開始以逐層遞增方式合并后邊幾層IMF分量，得到初步的消噪信號如如圖3所示。并與原始信號對比，分別計算其信噪比SNR和均方根誤差RMSE（Root Mean Square Error），結(jié)果表1所示。

圖3　原始信號依次合并后幾層的IMF分量

表1　依次合并后幾層IMF分量的去噪效果比較

由圖3可看出，當合并第4～11層IMF分量時，輸出信號在保持信號細節(jié)的同時噪聲成分明顯較少，而且表1中也可以看出此時得到的消噪信號的SNR最大，RMSE最小，此時的信號最接近原始信號y（t），表明使用本文提出的夾角余弦法可以精準的尋找到信號主導IMF和噪聲主導IMF的分界位置，確定Kth的值。

2.2模糊閾值處理

閾值消噪方法是目前應用最為廣泛和有效的一種方法。其步驟如下：首先將信號分解成多個IMF分量，并選取合適的閾值λk對imfk中的系數(shù)進行閾值處理；然后將所有的IMF分量合并即可得到消噪信號。閾值的確定有很多種方法，其中包括：

①VisuShrink閾值，也稱為通用閾值，是一種多尺度的統(tǒng)一閾值去噪方法。這種閾值是針對多維獨立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨近于無窮時得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲的概率趨近于零［9］，以實現(xiàn)去噪的目的，因此當N變大時容易出現(xiàn)閾值設定過大的問題。對分解出來的每一層信號設定一個閾值，其中當信號長度為N時第k層的閾值可以表示為：

其中，Median表示取中值操作。

②SUREShrink閾值，這種閾值選擇方法是一種基于史坦的無偏似然估計（Stein’s Unbiased Estimator of Risk，簡記為SURE）準則的自適應閾值選擇。該準則是均方差準則的無偏估計，它是專門針對軟閾值函數(shù)得出的結(jié)論，且SUREShrink閾值趨近于理想閾值。與多尺度統(tǒng)一閾值相比，能夠更好地保持信號的細節(jié)，但是這種閾值選取方法容易過多地保留信號的細節(jié)部分，在信噪比提高方面不占優(yōu)勢。在EEMD分解的第k層上，SUREShrink按照如下公式選擇閾值：

其中，T∈｛0，max［imfk（t）］｝，N為信號的長度，imfk，t表示第k層imf的第t個系數(shù)，∧表示兩數(shù)取小運算，#（|imfk，t|≤T）表示第k層中系數(shù)小于T的個數(shù)，σn為噪聲的標準差，利用EEMD分解之后的第一層IMF分量由經(jīng)典的Donoho公式得到，可以表示為［10］：

針對VisuShrink閾值的“過扼殺”和SURE?Shrink閾值的“過保留”的特點［11］，本文將Shark提出的模糊閾值思想［12］用于噪聲主導的IMF分量去噪處理。摒棄了傳統(tǒng)方法中固定閾值的方法，而是通過設定一個模糊區(qū)域和隸屬度函數(shù)，將該區(qū)域的上界和下界設定為VisuShrink閾值和SUREShrink閾值。將絕對值|imfk，t|大于VisuShrink閾值的系數(shù)視為是由信號引起的，小于SUREShrink閾值的系數(shù)視為噪聲引起，位于模糊區(qū)域的系數(shù)使用隸屬度函數(shù)μk（imfk）進行萎縮。考慮到此處的模糊函數(shù)是用于噪聲主導模態(tài)的處理，系數(shù)分布滿足偏大型的模糊分布，萎縮后的系數(shù)及偏大型模糊分布的一般形式如下所示：

其中，a為常數(shù)，是模糊隸屬度函數(shù)曲線與橫軸的交點到坐標原點的距離，表示模糊區(qū)域的下界SUREShrink閾值；f（imfk，t）為函數(shù)值小于1的曲線，可以通過改變它的形式得到不同的偏大型的模糊分布函數(shù)，其中包括：梯形，拋物型和正態(tài)型等，如圖4所示。圖中b表示模糊區(qū)域的上界VisuSh?rink閾值。

因為是對噪聲主導模態(tài)進行處理，噪聲系數(shù)含量較大，需要對靠近SUREShrink的系數(shù)或者距離VisuShrink閾值較遠的系數(shù)進行較大比例的萎縮；而對靠近VisuShrink閾值的系數(shù)進行萎縮的程度相對較小。圖4可以看出拋物型模糊隸屬度函數(shù)曲線在靠近a也即SUREShrink閾值的時候斜率較小，函數(shù)值較小，可以實現(xiàn)對靠近該閾值的系數(shù)進行較大比例的萎縮，而在靠近b也即VisuShrink閾值的時候斜率又較大，實現(xiàn)了對靠近該閾值的系數(shù)進行小比例的萎縮，函數(shù)曲線最符合去噪處理要求，因此選用拋物型模糊分布。

圖4　三種不同的偏大型模糊分布

當采用拋物型的隸屬函數(shù)時，相應的f（imfk，t）可以表示為：

綜上所述，基于EEMD和模糊閾值去噪方法的具體步驟可以分為：

Step1對含噪信號經(jīng)過EEMD分解，表示為（2）；

Step 2通過（6）式得到含噪信號和每一個IMF的余弦相似度S（k），并將Kth定為S（k）的首個極小值的后一個位置；

Step 3對噪聲主導模態(tài)分量分別利用式（7）和式（8），求得模糊區(qū)域的上下邊界，然后利用式（10）求得處理后的噪聲主導模態(tài)分量imfk′（t）；

Step 4將所有的IMF合并得到消噪信號，即：

3　實驗結(jié)果與分析

為了分析所提方法的去噪性能，分別對仿真信號和真實信號進行了去噪實驗。利用matlab7.0中的wnoise函數(shù)生成三種典型的仿真信號，分別為“Blocks”，“Bumps”，“HeavySine”，真實信號選用MIT-BIH數(shù)據(jù)庫的ECG信號。為了對比去噪效果，分別利用小波半軟閾值方法［13］、文獻［14］提出的基于EMD的軟閾值方法（EMD-Soft）和文獻［8］提出的基于EMD的間隔閾值方法（EMD-IT）與本文方法進行比較。在利用小波軟閾值法去噪時，小波基選用“sym4”，分解層數(shù)為3層；EMDSoft和EMD-IT方法均采用經(jīng)典的連續(xù)均方誤差法確定要處理的層數(shù)，并且以式（7）得到的通用閾值作為處理閾值；本文方的參數(shù)設定為：噪聲標準差為0.4，添加噪聲的次數(shù)為20。另外，本文選取去噪后輸出信號的信噪比SNR和均方根誤差RMSE作為去噪性能的評價指標：信噪比越大，均方根誤差越小，表明去噪效果越好。

3.1含噪仿真信號去噪

在該實驗中，利用Matlab中的wnoise函數(shù)生成信號長度（即采樣點數(shù)）N取為2 048的仿真信號“Blocks”信號、“Bumps”信號、“Heavy Sine”信號。使用awgn函數(shù)向信號中添加白噪聲，分別生成信噪比為-5 dB，0 dB、5 dB、10 dB的含噪信號。再分別用小波半軟閾值法，EMD-Soft法，EMD-IT法和本文方法進行去噪處理并計算其SNR和RMSE。重復實驗2 000次，分別求得SNR和RMSE的平均值，結(jié)果如表2所示。

表2　仿真信號的去噪結(jié)果

圖5表示在信噪比為10 dB時，四種方法對“Bumps”信號某次進行去噪的效果。從表2中也可以看出當信噪比為10 dB時，Bumps信號經(jīng)過本文方法去噪之后效果最好，與小波半軟閾值法相比SNR高出0.103 2 dB，RMSE降低了0.001 6；與EMD-Soft方法相比SNR高出1.196 7 dB，RMSE降低了0.019 2；與EMD-IT方法相比SNR高出0.339 4 dB，RMSE降低了0.005 2。圖6～圖8表示當信噪比為-5 dB～10 dB時，四種方法對Blocks信號，Bumps信號和Heavy Sine信號進行去噪時的SNR曲線。圖中可以看出本文方法對三種仿真信號進行去噪時，整體上要優(yōu)于其他三種方法。

圖5　四種方法對Bumps信號的去噪效果

圖6　不同信噪比下的Blocks信號去噪后的SNR曲線

圖7　不同信噪比下的Bumps信號去噪

圖8　不同信噪比下的Heavy Sine信號

3.2實際信號去噪

為了分析本文所提方法對實際信號的去噪性能，采用MIT-BIH數(shù)據(jù)庫的ECG數(shù)據(jù)進行實驗，截取信號的長度（即采樣點數(shù)）為2 048。心電信號中含有的噪聲大多為工頻干擾，基線漂移，肌電干擾等。肌電干擾主要由人體活動肌肉緊張收縮引起，頻率范圍為0～1 kHz，頻譜特性近似于高斯白噪聲［15］，可以使用Matlab中的awgn函數(shù)向信號中添加高斯白噪聲來模擬；以幅度為0.1的50 Hz和60 Hz的正弦波模擬工頻干擾；以幅度為0.01的0.15 Hz的正弦信號模擬基線漂移［16］。表3中給出了在三種噪聲影響下，用不同強度的高斯白噪聲模擬肌電干擾得到原始含噪信號的信噪比分別為-2.27 dB，1.34 dB，5.07 dB，11.45 dB時，分別用四種方法進行去噪得到的SNR和RMSE結(jié)果。實驗表明當對ECG信號進行去噪時，本文方法要明顯優(yōu)于另外三種方法，去噪效果有所提高。圖9表示當含噪信號的信噪比為5.07 dB時，對該含噪信號分別利用四種方法進行去噪的結(jié)果。可以看出，本文所提方法去噪后，信號的細節(jié)部分和突變部分保持較好，與其他方法去噪的效果相比，信號失真較少。由表3可以知道，當信噪比為5.07 dB時，本文方法的去噪效果最好，與小波半軟閾值方法相比，SNR高出1.50 dB，RMSE降低了0.006 2，與EMD-Soft方法相比SNR高出2.64 dB，RMSE降低了0.010 7，與EMD-IT方法相比SNR高出2.64 dB，RMSE降低了0.010 7。

表3　真實信號消噪效果比較

圖9　ECG信號消噪效果比較

4　結(jié)束語

為了提高實際中非平穩(wěn)非線性信號的去噪效果，結(jié)合EEMD具有自適應的時頻分析特性，本文提出了一種基于夾角余弦和模糊閾值的EEMD去噪方法。精準地確定了EEMD分解后的IMF分量中噪聲主導模態(tài)和信號主導模態(tài)的分界位置，并采用模糊閾值法對噪聲主導模態(tài)進行處理。為了驗證該方法的去噪性能，選擇了小波半軟閾值法、EMD-Soft方法和EMD-IT方法進行比較。實驗結(jié)果表明，本文方法的去噪性能總體上優(yōu)于其他三種方法，并且對含噪的ECG信號的去噪實驗也進一步證明了本文方法去噪地有效性。

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馬子驥（1978-）男，漢族，湖南長沙人，博士，講師，IEEE會員，IEICE編委。主要研究領(lǐng)域是無線通信技術(shù)，數(shù)字信號處理，廣播系統(tǒng)及傳感器技術(shù)，zijima@hnu. edu.cn；

郭帥鋒（1992-）男，漢族，河南汝州人，碩士研究生，主要從事數(shù)字信號去噪處理以及復雜系統(tǒng)建模的研究，hnugsf@ sina.com；

李艷福（1988-），男，漢族，河南偃師人，博士研究生。主要從事軌道交通數(shù)字信號處理，數(shù)據(jù)挖掘，經(jīng)驗模態(tài)分解相關(guān)研究，837139089@qq.com。

EEACC：722010.3969/j.issn.1004-1699.2016.06.014

基于夾角余弦和模糊閾值的EEMD去噪方法*

馬子驥*，郭帥鋒，李艷福
（湖南大學電氣與信息工程學院，長沙410082）

針對非線性非平穩(wěn)信號的去噪問題，結(jié)合EEMD分解信號的自適應特性，提出一種基于夾角余弦和模糊閾值的去噪方法。首先用夾角余弦法計算各個本征模態(tài)函數(shù)（IMF）與觀測信號之間的相似度，以相似度曲線的首個極小值的后一個位置為分界點將分解出的IMF分為噪聲主導模態(tài)和信號主導模態(tài)；然后根據(jù)VisuShrink閾值易“過扼殺”細節(jié)系數(shù)和SUREShrink閾值易“過保留”噪聲系數(shù)的特點，利用模糊閾值對噪聲主導的IMF進行處理；最后將所有的IMF重構(gòu)得到消噪信號。分別采用仿真信號和真實ECG信號進行去噪實驗。結(jié)果表明，所提方法在整體性能上優(yōu)于小波半軟閾值方法、基于EMD的軟閾值（EMD-Soft）和間隔閾值（EMD-IT）方法，是一種有效的去噪方法。

信號去噪；聚合經(jīng)驗模態(tài)分解；本征模態(tài)函數(shù)；夾角余弦；模糊閾值

TN911.72

A

1004-1699（2016）06-0872-08

2015-11-30修改日期：2016-02-18

項目來源：中央國有資本經(jīng)營預算項目（財企［2013］470號）；中央高?；究蒲许椖浚?014-004）；國家自然科學基金項目（61172089）；湖南省科技計劃項目（2014WK3001）；中國博士后科研基金項目（2014M562100）；湖南省科技計劃重點項目（2015JC3053）；湖南省自然科學基金項目（14JJ4026）