Error Analysis of FBG Sensors Bonded on LowModulus Host Materials*

WU Rujun，SUN Dianliang（1.Shanghai Dianji University，Shanghai 01306，China；.Shandong P&T Engineering Co.，LTD，Jinan 50001，China）

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Error Analysis of FBG Sensors Bonded on LowModulus Host Materials*

WU Rujun1*，SUN Dianliang2
（1.Shanghai Dianji University，Shanghai 201306，China；2.Shandong P&T Engineering Co.，LTD，Jinan 250001，China）

FBG sensor has been widely used in measuring the strain of host material.The existing of FBG sensor af?fects strain distribution of the host material，and the host material does not contact the optical fiber.However，may result in a decrease of strain measurement accuracy.So，the strain relationship between the optical fiber and host material was needed to study to improve the measurement accuracy.A theoretical model of strain transfer was devel?oped to include the influence of FBG sensor.Subsequently，the theoretical predictions were validated by finite ele?ment analysis.The effect of parameters on strain transfer rate was discussed according to the current theoretical analysis.the error between theoretical solution and FEA was controlled within 3%.The theoretical model satisfied accuracy requirement of the FBG sensors，which is considered as a guidance for its practical application。

Fiber Bragg Grating（FBG）；strain transfer rate；theoretical analysis；shear stress

與傳統(tǒng)電阻傳感器相比，光纖布拉格光柵（FBG）傳感器具有體積小、質(zhì)量輕、抗電磁干擾等眾多優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)安裝方式的不同，可以分為表面粘貼式和埋入式兩種，但是無(wú)論哪一種安裝方式，測(cè)量應(yīng)變和真實(shí)應(yīng)變存在一定的誤差，為進(jìn)一步提高測(cè)量精度，建立測(cè)量應(yīng)變與真實(shí)應(yīng)變之間的關(guān)系至關(guān)重要［1］。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者針對(duì)該問(wèn)題作了研究，Ansari等［2］假定光纖中心處的應(yīng)變和基體應(yīng)變相同，從而得到FBG傳感器的應(yīng)變分布規(guī)律。Duck G等［3］利用傅里葉變換得到光纖應(yīng)變與基體應(yīng)變之間的關(guān)系。李東升等［4-6］首次提出FBG傳感器各層應(yīng)變率相等的假設(shè)，得到更高精度的應(yīng)變傳遞理論。周智等［7］假定各層中點(diǎn)處應(yīng)變相等，進(jìn)而得到光纖應(yīng)變與基體應(yīng)變之間的關(guān)系。Zhao等［8］對(duì)四層表面粘貼式FBG傳感器應(yīng)變傳遞理論進(jìn)行了研究，得出各層應(yīng)變分布規(guī)律。Wang等［9］對(duì)表面式FBG傳感器應(yīng)變傳遞問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到與李東升等人相似的結(jié)論。Her和Huang［10］針對(duì)表面粘貼式FBG傳感器應(yīng)變傳遞問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)研究。Moradi M［11］建立了粘貼于薄板上的傳感器測(cè)量應(yīng)變與薄板應(yīng)變之間的傳遞理論。Wu等［12］人研究了埋入式FBG傳感器與基體之間的耦合作用；吳入軍等［13］首次提出多項(xiàng)式形式的剪應(yīng)力表達(dá)式，基于此建立應(yīng)變傳遞方程，經(jīng)驗(yàn)證具有較高精度。王花平等［14］針對(duì)純?yōu)r青包裹的FBG傳感器結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)變傳遞理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作。金秀梅等［15］推出了裸光纖、涂覆層和基體的剪應(yīng)力在徑向的分布，并通過(guò)有限元進(jìn)行了驗(yàn)證。

雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了諸多相關(guān)研究，但是大多研究都是基于基體承受均勻應(yīng)變狀態(tài)，忽略傳感器的存在對(duì)基體應(yīng)變的影響，這在基體剛度較小時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定誤差，因此本文充分考慮了FBG傳感器與基體之間的耦合作用，利用平面應(yīng)力理論建立了FBG傳感器與基體之間的應(yīng)變傳遞理論，研究光纖應(yīng)變與基體應(yīng)變之間的關(guān)系，將被測(cè)對(duì)象進(jìn)一步擴(kuò)展到剛度較小的基體。

1　理論推導(dǎo)

圖1為安裝結(jié)構(gòu)示意圖，該結(jié)構(gòu)由光纖、保護(hù)層、粘結(jié)層、襯底、外粘結(jié)層和基體組成，基體在軸向（x方向）預(yù)應(yīng)變?yōu)棣拧?。在本?jié)中將基于以下假設(shè)推導(dǎo)基體預(yù)應(yīng)變與光纖應(yīng)變之間的關(guān)系［2-13］。①所有的材料，包括光纖、保護(hù)層、粘結(jié)層、襯底和外粘結(jié)層都是線彈性材料。②所有的界面都是理想界面，即無(wú)相對(duì)滑移。③FBG傳感器厚度很薄，忽略r方向的作用力。

圖1　傳感器示意圖

下標(biāo)f，p，a，t，b和m分別代表光纖、保護(hù)層、粘結(jié)層、襯底、外粘結(jié)層和基體；E，G和λ分別代表彈性模量、剪切模量和泊松比；L，Ra，Da分別代表半粘結(jié)長(zhǎng)度、粘結(jié)層上厚度和傳感器寬度；2L為粘結(jié)長(zhǎng)度；σ，τ，ε和γ分別代表軸向應(yīng)力、剪切應(yīng)力、應(yīng)變和剪應(yīng)變；rf代表光纖半徑、r代表徑向坐標(biāo)量。

對(duì)光纖建立平衡微分方程：

其中τ（x，rf）代表光纖和保護(hù)層界面上的剪應(yīng)力。同理，保護(hù)層、粘結(jié)層、襯底和外粘結(jié)層的微分平衡方程為：

其中：τp（x，r）、τa（x，r）、τt（x，r）和τb（x，r）分別代表保護(hù)層剪應(yīng)力、粘結(jié)層剪應(yīng)力、襯底剪應(yīng)力和外粘結(jié)層剪應(yīng)力。

整理式（1）～式（5）并簡(jiǎn)化，得到保護(hù)層、粘結(jié)層、襯底和外粘結(jié)層剪應(yīng)力：

李東升［4-6］等提出：因?yàn)楣饫w、保護(hù)層、粘結(jié)層、襯底和外粘結(jié)層是同步變形的，可以假設(shè)其x方向的應(yīng)變梯度近似相同，即：存在式（7）：

將式（7）代入式（6）并簡(jiǎn)化，得到各層結(jié)構(gòu)剪應(yīng)力與光纖軸向應(yīng)變的關(guān)系為：

因?yàn)檩S向變形是主要的變形，r方向變形是非常小的，忽略r方向變形［4-6，10-13］，所以存在式（9）：

其中，u和v分別代表x方向和r方向位移。將式（8）代入式（9）并且積分得到：

求解式（10）得到：

式（11）是基體軸向位移與光纖軸向位移之間的微分方程，參數(shù)k為：

由于基體上表面所受剪應(yīng)力為奇函數(shù)，所以存在σx和σy為偶函數(shù)，τxy為奇函數(shù)，設(shè)雙調(diào)和函數(shù)通解［16］為：

將式（11）對(duì)x求微分得到光纖應(yīng)變的二階微分方程（13）：

根據(jù)雙調(diào)和函數(shù)（14），可以求得基體應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式為［16］：

應(yīng)力場(chǎng)式（15）滿足基體下邊界為自由表面，上邊界受來(lái)自傳感器的剪切力，如式（16）所示：

根據(jù)邊界條件式（16）第1式和第2式帶入式（15），求得各個(gè)系數(shù)為：

將（17）所示的參數(shù)帶入到式（15）的第三式得到基體上邊界的剪應(yīng)力表達(dá)式（18）：

根據(jù)傅里葉變換與逆變換之間的關(guān)系將式（18）變形為：

對(duì)式（19）進(jìn)行整理、變形為：

利用傅里葉逆變換可以得到基體在式（16）所示邊界條件下，基體上邊界軸向應(yīng)變表達(dá)式：

假定基體承受預(yù)應(yīng)變?chǔ)拧?，則基體上邊界軸向應(yīng)變?nèi)缡剑?2）所示：

將式（22）帶入式（13）得到：

由式（8）可知基體上邊界所受剪應(yīng)力是具有對(duì)稱性的面分布力，如式（24）所示：

其中，Eeq定義為FBG傳感器剪切剛度，利用式（23）和式（24）得到表達(dá)光纖應(yīng)變與基體預(yù)應(yīng)變之間的關(guān)系的二階微分方程：

FBG傳感器兩端為自由面，存在以下邊界條件［4-13］：

式（25）求解非常困難，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化得到：

基體上邊界承受的剪應(yīng)力簡(jiǎn)化為：

對(duì)式（28）進(jìn)行傅里葉變換得到：

其中：

將式（27）和式（29）帶入式（23）中得到式（31）：

式（31）是關(guān)于εx（0，0）的線性函數(shù)，整理后得到基體原點(diǎn)處的軸向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

將式（32）帶入式（27）中得到光纖應(yīng)變與基體預(yù)應(yīng)變之間的關(guān)系表達(dá)式，該表達(dá)式是關(guān)于軸向坐標(biāo)x指數(shù)變化、與基體預(yù)應(yīng)變?chǔ)拧蕹删€性關(guān)系，同時(shí)與基體彈性模量、厚度等參數(shù)相關(guān)的函數(shù)。

由式（33）可以得到光纖應(yīng)變傳遞率為：

實(shí)際測(cè)量應(yīng)變是光纖應(yīng)變?cè)谳S向各點(diǎn)應(yīng)變的平均值，因此對(duì)式（34）求其平均值得到FBG傳感器平均應(yīng)變傳遞率為：

雖然本節(jié)利用傅里葉變換進(jìn)行了直接求解，但是得到解析解仍非常困難，一般需要借助數(shù)值方法，將無(wú)限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限域求其數(shù)值解。對(duì)方程（34）和方程（35）寫成離散形式分別為式（36）和式（37）。

其中，L0為基體長(zhǎng)度的一半，λn=nπ/L0，n=（1，2，3…）。方程（36）即為長(zhǎng)度為光纖長(zhǎng)度為2L，基體長(zhǎng)度為2L0，厚度為h，在光纖軸向方向上的應(yīng)變傳遞率，它是軸向坐標(biāo)x的函數(shù)；（37）代表平均應(yīng)變傳遞率，它反映FBG傳感器的平均應(yīng)變傳遞效果。

2　理論驗(yàn)證和參數(shù)分析

2.1有限元驗(yàn)證

利用有限元軟件Ansys對(duì)本文理論進(jìn)行驗(yàn)證。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，在分析時(shí)候取一半進(jìn)行分析，圖2為有限元模型圖，所使用材料物理參數(shù)如表1所示，其他參數(shù)為：rf=0.062 5 mm，rc=0.102 5 mm，ra=0.14 mm，rt=0.17 mm，rb=0.19 mm，L=20 mm，L0=60 mm，h=8 mm，基體彈性模量取4 000 MPa和6 000 MPa，對(duì)稱面使用對(duì)稱約束、端面使用位移邊界條件來(lái)模擬預(yù)應(yīng)變。

表1　各層物理參數(shù)

理論解是利用式（36）得到的，F(xiàn)EM解是利用軟件Ansys得到的結(jié)果。圖3為理論解和FEM解的對(duì)比，通過(guò)對(duì)比可知：根據(jù)理論解和FEM解誤差非常小，基本控制在3%以內(nèi)，且基體彈性模量對(duì)應(yīng)變傳遞率是有影響的，基體彈性模量越大越應(yīng)變傳遞率越高；在應(yīng)變傳遞率光纖中間點(diǎn)最大，越接近兩端越小，直到在兩端減小為0。因此在設(shè)計(jì)FBG傳感器時(shí)，可以在FBG傳感器兩端留一定的粘結(jié)余量，以提高測(cè)量的精度。

圖2　有限元模型圖

圖3　理論解和FEM解得對(duì)比

表2為應(yīng)變對(duì)比表，測(cè)量應(yīng)變反映的是整個(gè)光纖各處應(yīng)變的平均值，因此，F(xiàn)EM應(yīng)變?nèi)≌麠l光纖各處應(yīng)變的平均值。由表2可知：FEM應(yīng)變遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于真實(shí)應(yīng)變，必須進(jìn)行修正，利用本文理論修正后的修正應(yīng)變與真實(shí)應(yīng)變誤差在2%左右。因此，在實(shí)際測(cè)量時(shí)得到的測(cè)量應(yīng)變也必須進(jìn)行修正，以提高測(cè)量精度。

表2　應(yīng)變比較

2.2參數(shù)分析

光纖光柵傳感器材料參數(shù)見表1，圖4和圖5分別表示基體彈性模量分別為4 000 MPa、6 000 MPa和10 000 MPa時(shí)，厚度分別為8 mm、12 mm和20 mm時(shí)的應(yīng)變傳遞率隨FBG傳感器軸向坐標(biāo)變化曲線圖。從圖中可知：隨著基體厚度和彈性模量的增加，應(yīng)變傳遞率逐漸增加；厚度和彈性模量對(duì)應(yīng)變傳遞具有較大的影響，隨著基體彈性模量和厚度的增加，其對(duì)應(yīng)變傳遞率的影響逐漸減小；最大應(yīng)變傳遞率出現(xiàn)在中間，逐漸減小至兩端為0。這是因?yàn)?，隨著基體厚度和彈性模量的增加，基體剛度也逐漸增加，傳感器的存在對(duì)基體應(yīng)變的影響逐漸減小。這一結(jié)論與一些文獻(xiàn)中應(yīng)變傳遞率隨著基體厚度的增加而逐漸減小的結(jié)論相反，這是因?yàn)椋罕疚睦碚撌墙⒐饫w應(yīng)變與基體原有應(yīng)變之間的關(guān)系，而現(xiàn)有大多數(shù)理論是建立光纖應(yīng)變與粘貼傳感器之后的基體應(yīng)變之間的關(guān)系，兩者有著根本的區(qū)別。

圖4　h=8 mm、12 mm、20 mm時(shí)，基體彈性模量對(duì)應(yīng)變傳遞率的影響

圖5　Em=4 000 MPa、6 000 MPa、10 000 MPa時(shí)，基體厚度對(duì)應(yīng)變傳遞率的影響

3　結(jié)論

本文針對(duì)低模量基體材料，建立了基體應(yīng)變與測(cè)量應(yīng)變之間的理論關(guān)系，充分考慮了基體和傳感器之間的耦合作用，且FEM解和理論解的誤差在3%以內(nèi)，具有非常高的精度，經(jīng)研究得出以下結(jié)論：①隨著基體彈性模量和厚度的增加應(yīng)變傳遞率均逐漸增大。②由于FBG傳感器的存在，改變了基體應(yīng)變分布，減小了基體應(yīng)變，而且FBG傳感器多層結(jié)構(gòu)在應(yīng)變傳遞過(guò)程中造成損失，因此在實(shí)際實(shí)際應(yīng)變測(cè)量時(shí)，需要對(duì)測(cè)量應(yīng)變進(jìn)行修正。

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吳入軍（1979-），博士，上海電機(jī)學(xué)院講師，主要從事工程力學(xué)、數(shù)值模擬和光纖傳感方面研究，wurujunwurujun@ 163.com。

EEACC：0220；7230E10.3969/j.issn.1004-1699.2016.06.013

安裝于低模量基體的FBG傳感器誤差分析*

吳入軍1*，孫佃亮2
（1.上海電機(jī)學(xué)院，上海201306；2.山東省郵電工程有限公司，濟(jì)南250001）

FBG傳感器廣泛應(yīng)用于基體結(jié)構(gòu)的應(yīng)變測(cè)量，由于FBG傳感器的存在改變了基體的應(yīng)變分布，光纖與基體并非直接接觸，導(dǎo)致測(cè)量應(yīng)變產(chǎn)生一定的損失，因此需要研究光纖應(yīng)變與基體應(yīng)變的關(guān)系用以提高測(cè)量精度。建立了一個(gè)FBG傳感器應(yīng)變傳遞模型，并利用有限元驗(yàn)證其正確性，利用文中理論對(duì)各個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)變傳遞率的影響進(jìn)行詳細(xì)的分析；理論解和有限元解誤差在3%以內(nèi)。本文理論滿足FBG傳感器精度要求，對(duì)其實(shí)際應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。

光纖布拉格光柵（FBG）；變傳遞率；理論分析；剪應(yīng)力

TN253；O39

A

1004-1699（2016）06-0865-07

2015-12-22修改日期：2016-02-25

項(xiàng)目來(lái)源：國(guó)家863計(jì)劃項(xiàng)目（2012AA040106）