淺析動(dòng)量流與電流相關(guān)性質(zhì)的類比

皇甫泉生　吳國(guó)玢　顧錚（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

淺析動(dòng)量流與電流相關(guān)性質(zhì)的類比

物理學(xué)的不同分支學(xué)科之間實(shí)際上存在著某些相似甚至相同的特征，因而可以進(jìn)行類比.本文討論力學(xué)和電學(xué)之間的類比.為此，首先以動(dòng)量這一廣延量作為力學(xué)的中心量，進(jìn)而引入動(dòng)量流的概念.文中在電荷量與動(dòng)量、電流與動(dòng)量流、電勢(shì)差與速度差、電阻與動(dòng)量阻、電容與動(dòng)量容等各個(gè)相對(duì)應(yīng)的物理量之間，以及相對(duì)應(yīng)的計(jì)算關(guān)系式之間進(jìn)行了類比，從而凸顯出力學(xué)和電學(xué)的相似性或可比性以及宇宙事物的內(nèi)在聯(lián)系.不同分支學(xué)科之間的類比不僅可以拓寬師生的視野和思路，有利于物理教學(xué)，而且能提升人們對(duì)于力學(xué)，乃至整個(gè)物理學(xué)的認(rèn)識(shí)水平.

類比；力學(xué)；電學(xué)；動(dòng)量流；物質(zhì)型物理量

類比方法在物理學(xué)的發(fā)展過(guò)程中經(jīng)常起著啟示、探索和創(chuàng)新的作用.盧瑟福根據(jù)α粒子散射實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)分析，將他想象中的原子內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與太陽(yáng)系的結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比，建立起原子核結(jié)構(gòu)的行星模型.類比有利于人們將新知識(shí)納入到已有的知識(shí)系統(tǒng)中去，使相關(guān)知識(shí)能夠融為一體，聯(lián)結(jié)成一個(gè)有機(jī)的網(wǎng)絡(luò)體系，產(chǎn)生舉一反三、觸類旁通的效果，因而被普遍應(yīng)用于物理學(xué)理論的教學(xué)中.在力學(xué)中將剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類比，使學(xué)生能較容易地掌握剛體定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.類比在振動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用亦相當(dāng)廣泛.在機(jī)械振動(dòng)中，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程，即振子相對(duì)于平衡位置的位移x隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)形式可表示為：x=A cos（ωt+φ），而在LC回路中，電容器極板上電荷q隨時(shí)間的變化規(guī)律則可表示為：q=Q cos（ωt+φ）.通過(guò)對(duì)比這兩個(gè)方程，人們認(rèn)識(shí)到LC回路中電荷量隨時(shí)間的振蕩規(guī)律十分類似于機(jī)械振動(dòng)［1］.因此若把電路中電荷量以及電流、電場(chǎng)強(qiáng)度等物理量在某給定值附近隨時(shí)間作周期性變化類比于機(jī)械振動(dòng)，人們便可以從直觀、形象的機(jī)械振動(dòng)入手建立電磁振蕩的概念.換言之，只要掌握了機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律，就能比較容易地弄明白電磁振蕩的規(guī)律.毫無(wú)疑問(wèn)，這些較為經(jīng)典的類比在物理教學(xué)中一直發(fā)揮著有益的作用.

然而，由于上述類比中所選擇的力學(xué)與電學(xué)對(duì)應(yīng)物理量還不是最佳對(duì)應(yīng)關(guān)系，致使力學(xué)與電學(xué)之間的類比囿于個(gè)例，被局限在較小的范圍內(nèi).為了突破這種局限性，本文參照電學(xué)理論的結(jié)構(gòu)，選擇將動(dòng)量這個(gè)廣延量作為貫穿于力學(xué)的中心物理量，與電學(xué)中的電荷量這一廣延量對(duì)應(yīng)起來(lái)，并由此引入動(dòng)量流的概念［2］.這樣，力學(xué)與電學(xué)之間各主要物理量的對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以得到顯著的改善.通過(guò)力學(xué)和電學(xué)中的動(dòng)量與電荷量、動(dòng)量流強(qiáng)度與電流強(qiáng)度、動(dòng)量流密度與電流密度、速度與電勢(shì)等相對(duì)應(yīng)物理量及其計(jì)算關(guān)系式（即物理過(guò)程或現(xiàn)象中的規(guī)律）之間的類比，可以使這兩門分支學(xué)科之間的相似性得以全面、清晰地顯現(xiàn)出來(lái)，展露出一種全新的面貌.

1　電流與動(dòng)量流

眾所周知，電荷量（單位：庫(kù)倫）是電學(xué)中的一個(gè)基本物理量.那么力學(xué)中有沒(méi)有類似于電荷量的物理量呢？答案是肯定的，因?yàn)榱W(xué)中的動(dòng)量跟電荷一樣，既是廣延量又是守恒量.如有一個(gè)子彈射入一個(gè)靜止的物體，那么子彈和物體的動(dòng)量都會(huì)發(fā)生變化，并且子彈的動(dòng)量減少多少，物體的動(dòng)量就必定會(huì)增加多少.這一過(guò)程可以想象為動(dòng)量從子彈流入了物體，即動(dòng)量能夠像電荷或液體和氣體等物質(zhì)一樣不僅占據(jù)一定的空間體積，具有密度，而且還可以從一個(gè)空間區(qū)域流到另一個(gè)空間區(qū)域.德國(guó)卡爾斯魯厄大學(xué)的G·Falk教授最早建議將電荷（量）、動(dòng)量等廣延量定義為物質(zhì)型物理量（substance-like quantity）［3，4］，其目的是為了強(qiáng)調(diào)此類物理量能夠像物質(zhì)那樣分布在空間并且在其間流動(dòng).

根據(jù)電流強(qiáng)度的定義：I=d q/d t；可以把動(dòng)量在如固體材料、被拉伸的繩等能夠傳導(dǎo)動(dòng)量的動(dòng)量導(dǎo)體［5］內(nèi)的流動(dòng)看成動(dòng)量流，而單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)任一截面的動(dòng)量稱為動(dòng)量流強(qiáng)度（Ip），即：Ip= d p/d t.對(duì)照牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F=d p/d t，容易看出動(dòng)量流強(qiáng)度正是大家所熟知的物理量力［6］.這意味著，凡是有作用力的地方就有動(dòng)量流，凡是發(fā)生形變的地方就有動(dòng)量流.

根據(jù)電荷守恒定律，在導(dǎo)體內(nèi)任取一閉合曲面A，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)該曲面流入或流出的電量，必定等于該曲面所包圍的空間區(qū)域V內(nèi)的電量的增加量或減少量，即

上式就是電荷連續(xù)性方程的積分形式.若凈流入（出）某區(qū)域的電量為零，則意味著該區(qū)域內(nèi)的電量將保持不變.對(duì)于一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果不會(huì)有電荷的堆積或空缺，換言之，不會(huì)有電量的變化，故必然有∑I=0，即流入（出）一個(gè)結(jié)點(diǎn)的凈電流必為零（基爾霍夫第一定律）.如前所述，將動(dòng)量理解為物質(zhì)型物理量意味著我們把它想象成一種“可流動(dòng)的物質(zhì)”，因而可以借鑒流體力學(xué)的方式來(lái)處理動(dòng)量.在流體力學(xué)中，根據(jù)動(dòng)量定理，分析流體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)與接觸它的周界之間相互作用的關(guān)系可表達(dá)為［7］

其中，V代表所選擇的控制區(qū)域；A代表該控制區(qū)域的表面積；p代表區(qū)域微元d V內(nèi)流體的密度；u代表區(qū)域微元d V內(nèi)流體的速度；∑F表示作用于該系統(tǒng)上的合外力.這樣，其實(shí)就是在單位時(shí)間內(nèi)整個(gè)控制區(qū)域內(nèi)動(dòng)量的增量；而

式（3）表明對(duì)于物體內(nèi)所取任一閉合曲面A，單位時(shí)間內(nèi)流入（出）該曲面的總動(dòng)量，必定等于在同一時(shí)間內(nèi)該曲面所包圍的區(qū)域內(nèi)動(dòng)量的增加（減少）量，這就是動(dòng)量連續(xù)性方程的積分形式.如果凈流入（出）某區(qū)域的動(dòng)量為零，則該區(qū)域內(nèi)的動(dòng)量將保持不變.對(duì)于一個(gè)靜力學(xué)結(jié)構(gòu)或結(jié)點(diǎn)，任何區(qū)域都不會(huì)有動(dòng)量的變化，必然有：∑Ip=0，即流入一個(gè)靜力學(xué)結(jié)構(gòu)或結(jié)點(diǎn)的凈動(dòng)量流必為零.這類似于電學(xué)中的基爾霍夫第一定律.

為了說(shuō)明前面公式中傳導(dǎo)動(dòng)量流和運(yùn)流動(dòng)量流之間的區(qū)別，可以將它們與電學(xué)做一個(gè)類比.人用力推小車前行時(shí)，人作為動(dòng)量泵，從地面泵出動(dòng)量，通過(guò)手將動(dòng)量傳遞給小車，這里在人的手臂中流動(dòng)的是動(dòng)量，類似于導(dǎo)體中電流，因此在人的手臂中的動(dòng)量流可稱為傳導(dǎo)動(dòng)量流；而風(fēng)吹帆船前行時(shí)，是空氣把自身攜帶的動(dòng)量傳遞給帆船而推動(dòng)帆船前行的，類似于在顯像管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的電子流，因此這種流動(dòng)空氣形成動(dòng)量流就稱為運(yùn)流動(dòng)量流.

2　動(dòng)量在物體中的流動(dòng)

把動(dòng)量想象成像與電荷一樣是可以流動(dòng)的“流體”，那么動(dòng)量在物體中又是怎樣流的呢？如圖1所示，設(shè)A板靜止在光滑的平面上，讓B物體在A板上運(yùn)動(dòng)，如果A與B的接觸面存在摩擦，那么B物體的動(dòng)量將會(huì)減少，A板的動(dòng)量將會(huì)增加，直到兩個(gè)物體的速度相同為止，且總動(dòng)量保持不變.如果將其中的動(dòng)量想象成如電荷一樣可以流動(dòng)，并且不生不滅，這自然就會(huì)認(rèn)為動(dòng)量是從運(yùn)動(dòng)速度大的B物體經(jīng)接觸面流入了運(yùn)動(dòng)速度小的A板，直到兩者的速度相同為止，因此動(dòng)量流動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力為速度差.類似于兩個(gè)不同電勢(shì)的帶電導(dǎo)體相接觸，電荷會(huì)從高電勢(shì)處流向低電勢(shì)處，直到兩帶電導(dǎo)體的電勢(shì)相同為止，電荷流動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力為電勢(shì)差.

圖1　摩擦?xí)r的動(dòng)量流

說(shuō)明在此情形下，粘滯液體中的動(dòng)量流強(qiáng)度與粘滯液體兩端的速度差成正比，與粘滯液體的動(dòng)量阻成反比，相當(dāng)于在兩個(gè)不同的電勢(shì)之間接入了一個(gè)電阻，電阻中的電流遵循歐姆定律.

如果有兩個(gè)同樣的彈性球做對(duì)心碰撞，如圖2所示.不妨設(shè)A球的動(dòng)量為正，那么B球的動(dòng)量為負(fù)，碰撞過(guò)程中A球的動(dòng)量將由正值減少為零再減為負(fù)值，而B球的動(dòng)量則從負(fù)值增加為零再增加為正值，而且總動(dòng)量保持不變，這可以認(rèn)為A球的動(dòng)量通過(guò)接觸面逐漸地流入了B球，直到兩球都恢復(fù)原狀，動(dòng)量流才會(huì)停止.如果用一個(gè)彈簧將這A、B兩球連接起來(lái)，既可以看到當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)動(dòng)量從A向B的流動(dòng)，還可以看到當(dāng)彈簧被拉伸時(shí)動(dòng)量從B向A的流動(dòng)［6］.就好像電學(xué)中的LC振蕩電路，電荷會(huì)不停地在電路中來(lái)回振蕩運(yùn)動(dòng)，電感在電路中起到了電泵的作用，彈簧則在動(dòng)量流路中起到了動(dòng)量泵的作用，利用自身的彈性形變產(chǎn)生動(dòng)量流；而A、B兩球猶如電路中的電容，在動(dòng)量流路中儲(chǔ)存和釋放動(dòng)量.而且從中可以得出以下結(jié)論：物體中動(dòng)量流動(dòng)的方向與動(dòng)量正方向的設(shè)定和物體的形變（應(yīng)力狀況）密切相關(guān)，當(dāng)物體無(wú)形變時(shí)，物體中的動(dòng)量流為零；當(dāng)物體被壓縮（受壓應(yīng)力）時(shí)，動(dòng)量流流向正方向；而當(dāng)物體被拉伸（受張應(yīng)力）時(shí)，動(dòng)量流流向負(fù)方向［6］.由于動(dòng)量流是矢量，當(dāng)遇到不同方向的動(dòng)量流時(shí)，需要把它們分解成二維甚至三維的分量來(lái)進(jìn)行討論.

假設(shè)固定在地面上的電動(dòng)機(jī)（動(dòng)量泵）拖拉著一物體，見(jiàn)圖3，物體的速度為v，處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài).根據(jù)牛頓力學(xué)的觀點(diǎn)，該系統(tǒng)在水平方向上至少有4個(gè)不同的力，其中一對(duì)是通過(guò)牽引繩作用在電動(dòng)機(jī)與物體之間的拉力，一對(duì)是物體與地面之間存在著的滑動(dòng)摩擦力，如圖3所示.每一對(duì)力都遵循牛頓第三定律，而作用在物體上的拉力和摩擦力構(gòu)成了一對(duì)平衡力，這4個(gè)力的大小都相等，因此物體勻速前進(jìn).如果設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閯?dòng)量的正方向，那么上述事件可以描述為電動(dòng)機(jī)（動(dòng)量泵）從地面抽取動(dòng)量，通過(guò)被拉伸的繩讓動(dòng)量流入物體，物體通過(guò)與地面之間的滑動(dòng)摩擦（負(fù)載）把動(dòng)量再傳遞回地面，這樣動(dòng)量“繞著一個(gè)回路”流動(dòng)，如圖4所示，回路中各處的動(dòng)量流強(qiáng)度都相等，沒(méi)有地方有動(dòng)量的累積，因此物體水平方向的動(dòng)量保持不變，物體勻速前進(jìn).這里水平方向的動(dòng)量只有一個(gè)流回路，在其中流動(dòng)的是動(dòng)量，各處的動(dòng)量流強(qiáng)度自然都相等.它等同于電學(xué)中的一個(gè)電源和一個(gè)電阻組成的簡(jiǎn)單電路，各點(diǎn)的電流強(qiáng)度都相等.如果關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，物體也停止了運(yùn)動(dòng)，假如此時(shí)牽引繩上還有拉力，那么物體與地面之間就會(huì)有靜摩擦力，也就意味著盡管動(dòng)量泵已經(jīng)“罷工”，但回路中動(dòng)量流依然存在，卻沒(méi)有能量的損耗，類似于電學(xué)中能量耗散為零的超導(dǎo)電流（electric super current），可稱之為超導(dǎo)動(dòng)量流（momentum super current）［8］.

除水平方向外，圖4中的物體還有豎直方向的動(dòng)量流.我們知道，地球附近的物體都受到地球的引力作用，因此物體與地球連線方向的引力場(chǎng)處于拉伸狀態(tài)［5］，而物體與地面的接觸部位則處于壓縮狀態(tài)，如果設(shè)向下為動(dòng)量的正方向，那么豎直方向的動(dòng)量從地球流出，經(jīng)過(guò)引力場(chǎng)流入物體（動(dòng)量流強(qiáng)度為mg），再?gòu)奈矬w經(jīng)接觸面流回地球，構(gòu)成一個(gè)豎直方向的動(dòng)量流回路.如果物體處在空中，那么經(jīng)過(guò)引力場(chǎng)流入物體的豎直方向的動(dòng)量將累積在物體中，物體的動(dòng)量會(huì)一直增加，物體將在豎直方向作勻加速運(yùn)動(dòng).相當(dāng)于處于均勻向下的電場(chǎng)中的正電荷，經(jīng)過(guò)電場(chǎng)流入電荷的向下的動(dòng)量（動(dòng)量流強(qiáng)度為q E）將累積在電荷中，電荷的動(dòng)量會(huì)一直增加，電荷將向下作勻加速運(yùn)動(dòng).

圖5是對(duì)載物桁架進(jìn)行的動(dòng)量流分析后所得到的水平方向動(dòng)量流圖［6］，不僅反映了動(dòng)量的流動(dòng)狀況，而且尤如一幅光彈應(yīng)力光圖，一眼就可看出桁架的受力（動(dòng)量流）情況.

圖2　碰撞時(shí)的動(dòng)量流

圖3　電動(dòng)機(jī)在地面上拉物體

圖4　動(dòng)量“繞著回路”流動(dòng)

圖5　水平方向的動(dòng)量流圖

導(dǎo)電材料根據(jù)傳導(dǎo)能力可分為導(dǎo)體和絕緣體.類似地，傳導(dǎo)動(dòng)量的材料也可分為導(dǎo)體和絕緣體.動(dòng)量的導(dǎo)體包括固體材料、拉伸的繩子、電磁場(chǎng)和引力場(chǎng)等.動(dòng)量的絕緣體則包括軸承性能良好（能自由轉(zhuǎn)動(dòng)）的輪子和空氣墊等.做氣軌實(shí)驗(yàn)時(shí)，氣軌上滑塊的動(dòng)量能保持很長(zhǎng)時(shí)間不變，說(shuō)明氣墊有效地阻止了滑塊的動(dòng)量流失（流入地球），光滑的冰雪表面以及有良好軸承的輪子也會(huì)產(chǎn)生相同的效果.液體傳導(dǎo)動(dòng)量的能力介于固體和氣體之間，一般會(huì)在不同程度上阻滯動(dòng)量的傳導(dǎo)，且其傳導(dǎo)能力通常與溫度有關(guān)（其粘度隨溫度而變：粘度越高，傳導(dǎo)能力越強(qiáng)；粘度越低，傳導(dǎo)能力越差），可以將液體視為動(dòng)量的半導(dǎo)體.有趣的是，我們還能夠在力學(xué)中找到與電學(xué)中的半導(dǎo)體二極管（單向?qū)щ姡┫鄬?duì)應(yīng)的“力學(xué)二極管”（單向傳導(dǎo)動(dòng)量）：繩子——它只能在拉伸狀態(tài)下（正向）傳導(dǎo)動(dòng)量卻不能在壓縮狀態(tài)下（反向）傳導(dǎo)動(dòng)量.

3　一些力學(xué)與電學(xué)關(guān)系式的類比

電荷作為一種能量載體在流動(dòng)時(shí)輸送的能流強(qiáng)度（功率）為：P=U·I；動(dòng)量作為能量載體，在流動(dòng)時(shí)輸送的能流強(qiáng)度（功率）為：P=v·Ip= v·F［6］.

電流超載會(huì)使導(dǎo)體過(guò)熱，決定導(dǎo)線安全的因素是電流密度j（j=I/S）的大小.同樣，動(dòng)量流超載時(shí)也會(huì)引起動(dòng)量導(dǎo)體的破壞，決定工程材料安全的因素是動(dòng)量流密度σ（σ=F/S=Ip/S）的大小［9］.

電容器上增加的電荷與流入電荷前后的電勢(shì)增量的關(guān)系為：Δq=CΔU.物體上所增加的動(dòng)量與流入動(dòng)量前后的速度增量的關(guān)系為：Δp=mΔv.可見(jiàn)物體的質(zhì)量實(shí)際上還反映了物體儲(chǔ)存動(dòng)量能力的大小，所以質(zhì)量可看作物體的動(dòng)量容［8］（momentum capacity）.反過(guò)來(lái)類比，由于質(zhì)量是物體運(yùn)動(dòng)慣性的量度，因而電容也可認(rèn)為是電容器電勢(shì)慣性（potential inertia）的量度［6］.

通過(guò)上述可以明顯地看出，以動(dòng)量為中心物理量來(lái)描述力學(xué)可以凸顯出力學(xué)過(guò)程與電學(xué)過(guò)程之間的相似性，為二者之間的類比敞開(kāi)了大門.運(yùn)用類比，各個(gè)力學(xué)量和電學(xué)量一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，而且力學(xué)量之間的關(guān)系與相應(yīng)的電學(xué)量之間的關(guān)系具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而反映出客觀世界的統(tǒng)一和諧.當(dāng)然，類比作為一種平行式思維的方法，并不是萬(wàn)能的，受到自然事物獨(dú)特性的限制，力學(xué)與電學(xué)畢竟分屬不同的學(xué)科分支，具有各自的特性，類比時(shí)要注意不同物理量之間的差別.比如，電學(xué)中的電勢(shì)、電流是標(biāo)量；然而力學(xué)中的速度、動(dòng)量流卻都是矢量，因此當(dāng)遇到不同方向的動(dòng)量流時(shí)，需要把它們分解成二維甚至三維的分量來(lái)進(jìn)行討論，需要有一定的空間想象能力.因此只有既掌握好不同學(xué)科之間的共性，又掌握好它們之間的個(gè)性，才能使我們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)更加全面深刻.

4　結(jié)語(yǔ)

將傳統(tǒng)力學(xué)中的主要物理量力理解成動(dòng)量流（強(qiáng)度）可以為人們提供一種研究力學(xué)的新方法.這種新方法不僅使力學(xué)自身的面貌一新，而且有助于在力學(xué)與電學(xué)（實(shí)際上還有其他分支學(xué)科）之間開(kāi)展類比.將類比方法引入物理教學(xué)可以幫助師生從不同的視角去觀察和認(rèn)識(shí)我們周圍的世界和宇宙，拓寬他們的視野和思路，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.通過(guò)掌握這些新建立起來(lái)的概念、規(guī)律和方法，不僅有利于力學(xué)教學(xué)，還有利于人們?cè)谛碌母叨壬现匦抡J(rèn)識(shí)整個(gè)物理學(xué).

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A BRIEF DISCUSSION ON THE ANALOGY BETWEEN RELEVANT PROPERTIES OF MOMENTUM CURRENT AND THOSE OF ELECTRIC CURRENT

Huangfu Quansheng Wu Guobin Gu Zhengtian
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093）

There exist some similar or even identical characteristics between the different branches of physics，which make the analogy between them possible.The analogy between mechanics and electricity is briefly discussed in this paper.Therefore，the concept of momentum current is introduced after the extensive quantity momentum has been taken as the central quantity in mechanics.Then，the analogies between such corresponding quantities in these two branches as electric charge and momentum，electric current and momentum current，potential difference and velocity difference，electric resistance and momentum resistance，electric capacity and momentum capacity，and the corresponding calculation formulas（relationships between the quantities）are simply conducted in the paper.As a result，the similarity or comparability between mechanics and electricity，and the internal connection of cosmic matters are highlighted.It is therefore anticipated that such analogies should not only be conducive to opening up new horizons for both teachers and students，activating their innovative ideas and hence promoting the teaching of physics，but also be beneficial for improving people，s cognitive level of mechanics and even whole physics itself.

analogy；mechanics；electricity；momentum current；substance-like quantities

2015-10-10；

2015-12-03

2016年度教師教學(xué)發(fā)展研究項(xiàng)目（CFTD1605DY）；上海理工大學(xué)“精品本科”系列教材——《大學(xué)物理基礎(chǔ)》項(xiàng)目支持（編號(hào)2015-JPBKJ-018）.

皇甫泉生，男，講師，主要從事大學(xué)物理教學(xué)科研工作. hufken@163.com