控制方向未知的輸入受限非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊反步控制

王永超, 張勝修, 曹立佳, 扈曉翔

(火箭軍工程大學自動控制工程系, 陜西 西安 710025)

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控制方向未知的輸入受限非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊反步控制

王永超, 張勝修, 曹立佳, 扈曉翔

(火箭軍工程大學自動控制工程系, 陜西 西安 710025)

針對一類輸入受限控制方向未知的非線性系統(tǒng),提出一種基于Lipschitz條件的自適應(yīng)模糊反步控制器的設(shè)計方法。在控制器的設(shè)計過程當中,通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決控制方向未知的問題;采用模糊系統(tǒng)對不確定非線性函數(shù)進行在線逼近;利用雙曲正切函數(shù)和Nussbaum函數(shù)對系統(tǒng)輸入飽和函數(shù)進行處理;將動態(tài)面法與反步法相結(jié)合解決“計算膨脹”的問題。運用Lyapunov理論分析證明設(shè)計的控制律能夠使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致有界(semi-globallyuniformlyultimatelybounded,SGUUB)。該方法的有效性在一類通用的高超聲速飛行器的攻角控制仿真中得到了驗證。

輸入受限;非線性系統(tǒng);自適應(yīng)模糊;反步法;高超聲速飛行器

0　引　言

輸入受限問題普遍存在于控制系統(tǒng)工作過程中。近年來,引起了廣大學者的普遍關(guān)注。基于小波網(wǎng)絡(luò),文獻[1]設(shè)計出了一種抗飽和自適應(yīng)控制器。文獻[2]針對線性自抗擾控制(linearactivedisturbancerejectioncontrol,LADRC)執(zhí)行機構(gòu)的飽和約束問題,提出了兩種抗飽和補償方案。文獻[3]提出了一種針對控制受限問題的時變滑?？刂品桨?。文獻[4]提出了一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近補償執(zhí)行機構(gòu)的飽和非線性智能自適應(yīng)滑?？刂品椒?。文獻[5-6]利用雙曲正切函數(shù)解決輸入飽和受限問題,引入Nussbaum增益函數(shù)應(yīng)對未知項,基于反步法設(shè)計出了魯棒控制器。文獻[7-8]利用線性矩陣不等式(linearmatrixinequation,LMI)設(shè)計出了對飽和進行實時補償?shù)目刂破?。文獻[9-10]將系統(tǒng)輸入幅值受限問題轉(zhuǎn)化為預(yù)測控制框架中待求解目標函數(shù)的約束條件。

1991年,由Kokotovic等人首次提出反步法[11]。反步法實際上是一種由前向后遞推的方法,所以又稱逐步后推法,在解決具有純反饋形式的非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計問題上,具有明顯的優(yōu)勢。但是傳統(tǒng)的反步法,虛擬控制器需要反復(fù)求導,計算量隨著階數(shù)的增加呈指數(shù)增長,這使得控制器難以工程化實現(xiàn)。為了有效應(yīng)對這種被Bellman稱為“微分爆炸”的難題,文獻[12]引入了一階濾波器,首先提出了稱之為動態(tài)面控制(dynamicalsurfacecontrol,DSC)的方法,避免了虛擬控制量的反復(fù)求導。伴隨著模糊理論的發(fā)展,自適應(yīng)模糊反步法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計[12-13]。這一類的控制算法具備以下所列出的顯著優(yōu)勢:①無需被控系統(tǒng)滿足匹配條件;②無需被控系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)能夠參數(shù)線性化。故自適應(yīng)模糊反步法在針對非線性不確定系統(tǒng)控制器設(shè)計上應(yīng)用非常普遍。

近年來針對不滿足匹配條件的非線性系統(tǒng)輸入受限問題,許多學者將反步法與模糊逼近相結(jié)合進行了比較深入的研究[5,14-15]。但這些研究成果在處理控制方向問題上,一般采用假設(shè)已知控制方向的做法?？刂品较蛭粗姆蔷€性系統(tǒng)控制器設(shè)計有待進一步解決。

本文針對一類輸入受限的單輸入單輸出(singleinputsingleoutput,SISO)系統(tǒng),提出一種基于Lipschitz條件的自適應(yīng)模糊反步控制方法。在設(shè)計虛擬控制律的過程中,通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決控制增益方向未知的問題,運用帶有中心平均解模糊器的模糊系統(tǒng)在線逼近系統(tǒng)中包含不確定參數(shù)的函數(shù)。將雙曲正切函數(shù)和Nussbaum函數(shù)有機結(jié)合,應(yīng)對輸入飽和和補償所引起的未知項。系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性能通過Lyapunov經(jīng)典穩(wěn)定理論進行詳細地分析證明。

1　問題描述及模糊邏輯系統(tǒng)建立

1.1問題描述

考慮如式(1)所示的一類SISO非線性系統(tǒng):

(1)

式中,xi(t)=[x1(t),…,xi(t)]T∈Ri是狀態(tài)向量;y∈R是輸出量;fi(·)和gi(·)均為未知的光滑非線性函數(shù);v(t)為系統(tǒng)控制器輸入量;d(t)為系統(tǒng)受到的外界干擾;u(v(t))為具有飽和約束性質(zhì)的輸出控制量,其表達式為

(2)

式中,uM是系統(tǒng)式(1)中控制器的輸出上界值。

定義雙曲正切函數(shù)h(v(t))(v(t)記為v,其他變量和狀態(tài)作類似處理)為

(3)

則飽和函數(shù)可以表示為

(4)

式中,w(v)=sat(v)-h(v)為有界函數(shù),其界限值表示為

(5)

文中的目的是通過設(shè)計魯棒控制器使得式(1)中的輸出y能夠穩(wěn)定跟蹤參考指令yr。

根據(jù)控制器設(shè)計和穩(wěn)定性證明過程中的實際需求,作出如下合理的假設(shè)、定義和引理。

假設(shè) 1參考信號yr及其n階導數(shù)已知且有界。

定義 1如果連續(xù)函數(shù)N(s)滿足如下性質(zhì):

則稱N(s)為Nussbaum函數(shù)。

引理 1[15]V(·)和χ(·)均為定義在區(qū)間[0,tf)上的光滑函數(shù),且?t∈[0,tf),V(t)≥0,N(χ)為Nussbaum增益函數(shù)。如果如式(6)所示不等式成立,則函數(shù)V(·)和χ(·)在[0,tf)必有界。

(6)

式中,C,M,γχ>0均為常數(shù);ζ為一正變量。

1.2模糊邏輯系統(tǒng)建立

模糊器、知識庫、模糊推理機和解模糊器構(gòu)成模糊邏輯函數(shù)這個有機整體。依賴于經(jīng)驗知識建立的知識庫是模糊系統(tǒng)的核心。知識庫包含如下所示的IF-THEN模糊規(guī)則:

假設(shè) 2[16]文中建立的一系列IF-THEN模糊規(guī)則中,模糊集Bl為標準模糊集。

根據(jù)假設(shè)2,建立的模糊基函數(shù)表示為

(7)

(8)

引理 2[17]如果F(x)(x∈Rn)是緊集Ω上的一個連續(xù)函數(shù)。?ε>0,必將存在FLS使得

(9)

定義最優(yōu)估計參數(shù)集

(10)

假設(shè) 3存在未知有界常數(shù)ε*>0,使得模糊逼近誤差ε(x)=F(x)-θTξ(x),滿足|ε(x)|≤ε*。

2　控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(3),系統(tǒng)等效為

(11)

(12)

式中,HL(s)為Butterworth低通濾波器(lowpassfilter,LPF)。

(13)

式中,‖·‖表示向量的2-norm范數(shù)。

假設(shè) 5[18-20]執(zhí)行器具有低通特性,即使得xi,f=HL(s)·xi≈xi。故存在一常數(shù)βi,0使得不等式|xi-xi,f|≤βi,0成立。

需要說明的是,假設(shè)5中xi,f≈xi,uf≈h(v)是合理的,因為大多數(shù)控制系統(tǒng)的執(zhí)行器具有低通特性[18-20]。

下面將結(jié)合反步法和DSC開展受限控制器的設(shè)計工作。

步驟 1定義

z1=x1-yr

則z1關(guān)于時間t的導數(shù)為

(14)

(15)

式中,τ1為一階濾波器的時間常數(shù)。

定義

(16)

(17)

根據(jù)式(17),κ1關(guān)于時間t的導數(shù)為

(18)

根據(jù)式(14)～式(16),z1關(guān)于時間t的導數(shù)為

(19)

選擇Lyapunov函數(shù)為

(20)

(21)

將式(19)代入式(21),得

(22)

引理 3對于?D>0,|x|-xtanh(x/D)≤0.278 5D=D′成立。

(23)

(24)

(25)

式中,c1>0為常數(shù)。

采用投影法[16],引入?yún)?shù)的自適應(yīng)律為

(26)

式中,M1為設(shè)定的最大值。根據(jù)文獻[16]可知,估計參數(shù)θ1滿足‖θ1‖≤M1,并且使得

(27)

則根據(jù)式(23)～式(27),式(22)可變換為

(28)

根據(jù)Young’s不等式,假設(shè)4和假設(shè)5可得

(29)

(30)

(31)

則式(28)可變換為

(32)

步驟 i(2≤i≤n-1)定義

(33)

(34)

(35)

(36)

zi關(guān)于時間t的導數(shù)為

(37)

同時對式(35)求導,得

(38)

選擇Lyapunov函數(shù)Vi為

(39)

式中,ri1,ri2>0。則Vi關(guān)于時間t的導數(shù)為

(40)

根據(jù)引理3,式(40)可變換為

(41)

選取參數(shù)自適應(yīng)律：

(42)

(43)

(44)

式中,ci>0為常數(shù)。

并根據(jù)上述參數(shù)自適應(yīng)律和Young’s不等式以及假設(shè)4和假設(shè)5,式(41)可變換為

(45)

步驟 n定義

(46)

(47)

(48)

(49)

式(46)和式(48)關(guān)于時間t的導數(shù)分別為

(50)

(51)

選擇Lyapunov函數(shù)Vn為

(52)

式中,rn1,rn2>0。則Vn關(guān)于時間t的導數(shù)為

(53)

根據(jù)引理3,式(53)可變換為

(54)

選擇參數(shù)自適應(yīng)律:

(55)

(56)

(57)

式中,cn>0為常數(shù)。

并根據(jù)上述參數(shù)自適應(yīng)律和Young’s不等式以及假設(shè)4和假設(shè)5,式(54)可變換為

(58)

步驟 n+1定義

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

選擇Lyapunov函數(shù)

(64)

則Vn+1關(guān)于時間t的導數(shù)為

(65)

為了保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的有界性,選取Lyapunov函數(shù)Vsum

(66)

根據(jù)式(32),式(45),式(58)和式(66),函數(shù)Vsum關(guān)于時間t的導數(shù)為

(67)

式中

對式(68)積分,得

(68)

依據(jù)引理1和式(69)可以得到Vsum和χ有界的結(jié)論,且跟蹤誤差滿足不等式:

(69)

(70)

從式(72)中不難得到閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差終值有界。

根據(jù)以上Lyapunov穩(wěn)定性理論的推倒證明,得到定理1。

定理 1對于控制方向未知的非線性系統(tǒng)式(1),依據(jù)反步法和模糊系統(tǒng)理論,設(shè)計出如式(59)所示的控制器和如式(24)～式(26)、式(42)～式(44)和式(55)～式(57)所示的自適應(yīng)律。則形成的閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局最終一致有界(semi-globallyuniformlyultimatelybounded,SGUUB)。

3　仿真分析

本文以一種吸氣式高超聲速飛行器在速度V=4 590.3m/s,高度h=33 528m的飛行條件下攻角的跟蹤控制為對象,對控制系統(tǒng)進行仿真研究。

首先建立縱向特性方程[6,20]:

(71)

式中，α,q分別表示氣動攻角和俯仰姿態(tài)角;m,V依次為高超聲速飛行器的質(zhì)量和沿機體軸向速度;L,T,Myy依次為施加在機體上的升力,推力和縱向俯仰力矩。式中所涉及的氣動力與氣動力矩計算表達式為

(72)

式(73)中氣動參數(shù)的具體表達形式及參數(shù)的不確定度詳見文獻[21]。

由于舵面的偏轉(zhuǎn)受到幅值限制,同時機體還會受到外界干擾的影響,故可將式(72)轉(zhuǎn)換為

(73)

控制器參數(shù)分別為c1=13,c2=18,c3=7,c=6,γχ=0.008,τ1=0.015,τ2=0.045,χ(0)=0.4。

仿真中給定的攻角參考指令信號為yr=-22.5°cost+22°,設(shè)定飛行器舵偏角的偏轉(zhuǎn)范圍為±30°[6],取俯仰軸上受到的諧波干擾力矩大小為3×106sin(2t)。

圖1中虛線表示為給定的攻角參考指令信號曲線,實線表示的為系統(tǒng)實際的跟蹤響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，在所設(shè)計的控制器的作用下,系統(tǒng)能夠?qū)o定的指令信號實現(xiàn)很好的跟蹤,且跟蹤誤差一直保持在0的一個很小的鄰域內(nèi)。圖2中舵偏角的輸入信號用虛線表示,實線表示控制器舵偏角信號。圖中顯示不論舵輸入信號發(fā)生多大的角度變化,舵偏角一直處于幅值范圍內(nèi),并且能夠?qū)崿F(xiàn)對指令信號的跟蹤。充分驗證了本文設(shè)計方法在系統(tǒng)存在參數(shù)不確定和較大外界干擾時具有很強的魯棒性能。

圖1　輸出響應(yīng)曲線Fig.1　Curves of output response

圖2　系統(tǒng)控制信號Fig.2　Curves of control signals

4　結(jié)　論

文中針對一類不確定非線性系統(tǒng)設(shè)計了一種約束反步控制方法。首先通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決了受控系統(tǒng)控制增益方向未知的問題,將反步法與DSC相結(jié)合,不但非常有效地解決了“微分爆炸”的難題,而且使得中間控制變量變得更加簡潔,利于工程化的實現(xiàn)。引入雙曲正切函數(shù)和Nussbaum增益函數(shù)有效地應(yīng)對了普遍存在于非線性系統(tǒng)中的幅值約束問題。通過選取Lyapunov函數(shù)分析證明了系統(tǒng)中的所有信號是SGUUB。最后,依據(jù)本文提出的控制算法在高超聲速飛行器的攻角跟蹤控制回路上進行仿真驗證,最終的結(jié)果驗證了本文方法的有效性。

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Adaptivefuzzybacksteppingcontrolfornonlinearsystemwithunknowncontroldirectionandinputsaturation

WANGYong-chao,ZHANGSheng-xiu,CAOLi-jia,HUXiao-xiang

(Department of Automatic Control Engineering,Rocket Force Engineering University, Xi’an 710025, China)

AnadaptivefuzzybacksteppingcontrollerdesignmethodbasedonLipschitzconditionisdeve-lopedtodealwiththenonlinearsystemwithinputsaturationandunknowncontroldirection.Alongthecontrollerdesignprocess,thetransformedstyleandButterworthlowpassfilterareusedtosolvetheproblemoftheunknowncontroldirection.Byusingthefuzzylogicsystemtoidentifytheuncertainnonlinearfunctionsonline.ThehyperbolictangentfunctionandNussbaumareusedtohandletheinputsaturation.Thebacksteppingapproachiscombinedwiththedynamicsurfacecontroltechniquetosolvetheproblemof“explosionofcomplexity”.ItisshownwithLyapunovstabilitytheoremthattheproposedcontrolmethodcanguaranteethatallthesignalsoftheresultingclosed-loopsystemaresemi-globallyuniformlyultimatelybounded(SGUUB)inprobability.Finally,themethodisappliedforthecontroldesignoftheattackangleofthehypersonicvehicle.Simulationresultsshowtheeffectivenessofthepresentedmethod.

inputsaturation;nonlinearsystem;adaptivefuzzy;backsteppingapproach;hypersonicvehicle

2015-02-06；

2015-08-24；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-01-14。

國家自然科學基金(61304001,61304239)資助課題

TP273.2

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.26

王永超(1991-),男,博士研究生,主要研究方向為智能魯棒控制。

E-mail:wyc031566@163.com

張勝修(1963-),男,教授,博士研究生導師,博士，主要研究方向為組合導航與飛行器制導控制。

E-mail:zsx1963@aliyun.com.cn

曹立佳(1982-),男,講師,博士,主要研究方向為飛行器控制、仿真與決策。

E-mail:caolijia82@gmail.com

扈曉翔(1982-),男,講師,博士,主要研究方向為非線性系統(tǒng)魯棒控制。

E-mail:hxx820605@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160114.1658.008.html