雙局部行波斑圖的形成與時(shí)空結(jié)構(gòu)

齊　昕,寧利中,余　荔,劉嘉夫

(1.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 402160;2.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院,陜西 西安 710048;3.廣西電力工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究院,廣西 南寧 530023)

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雙局部行波斑圖的形成與時(shí)空結(jié)構(gòu)

齊昕1,寧利中2,余荔3,劉嘉夫1

(1.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 402160;2.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院,陜西 西安 710048;3.廣西電力工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究院,廣西 南寧 530023)

在大長(zhǎng)高比Γ=30,弱分離比ψ=-0.20參數(shù)下,通過(guò)二維流體力學(xué)基本方程組模擬了混合流體Rayleigh-Benard對(duì)流運(yùn)動(dòng)。通過(guò)變化相對(duì)瑞利數(shù)r,在對(duì)流分叉曲線鞍結(jié)點(diǎn)處得到了雙局部行波,分析了雙局部行波斑圖的形成過(guò)程及時(shí)空結(jié)構(gòu),討論了其動(dòng)力學(xué)特性。

混合流體; Rayleigh-Benard對(duì)流; 行波; 雙局部行波; 時(shí)空結(jié)構(gòu)

自上世紀(jì)初以來(lái),許多科學(xué)工作者把Rayleigh-Benard對(duì)流模型作為研究非線性熱對(duì)流運(yùn)動(dòng)的典型模型之一。該模型是指在一個(gè)封閉的腔體內(nèi)保持上部表面溫度為常數(shù),下表面受熱,由上下不同的溫度差,即可引發(fā)腔體內(nèi)不同的對(duì)流運(yùn)動(dòng)[1]。

科學(xué)工作者們分別針對(duì)純流體、混合流體進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算研究。通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),加熱腔體底板,當(dāng)相對(duì)瑞利數(shù)(反映上下溫差的無(wú)量綱參數(shù))r達(dá)到某值時(shí),液體由傳導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)流運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。若分離比(表征流體非線性特性)ψ>0,對(duì)流系統(tǒng)出現(xiàn)定常對(duì)流運(yùn)動(dòng),現(xiàn)象與純流體(ψ=0)對(duì)流時(shí)相同,對(duì)流振幅隨r增大而增大,但其對(duì)流發(fā)生臨界值r1小于純流體時(shí)的臨界值r0,如圖1所示。

若ψ<0,系統(tǒng)將出現(xiàn)一種亞分叉,如圖1中虛線段,對(duì)流呈現(xiàn)出多種形式。1986年,Moses,Heinrichs等人在大長(zhǎng)高比腔體,ψ∈(-0.15,-0.06)范圍內(nèi),首次發(fā)現(xiàn)了局部行波對(duì)流斑圖[2-3],即對(duì)流集中在腔體的一側(cè)局部區(qū)域,而其它區(qū)域無(wú)對(duì)流存在。

圖1　Rayleigh-Benard對(duì)流分叉曲線圖Fig.1　Rayleigh-Benard convective bifurcation curve diagram

1993年,Harada等人通過(guò)矩形窄槽(Γ=46),ψ=-0.47時(shí),在對(duì)流分叉曲線鞍結(jié)點(diǎn)(圖1中虛實(shí)線連接點(diǎn))附近觀察到了與以上局部行波不同的另一種行波,其對(duì)流集中在腔體的兩側(cè)局部區(qū)域,中間區(qū)域?yàn)閭鲗?dǎo)狀態(tài),即雙局部行波[4]。Kolodner通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了局部行波與r的關(guān)系[5]。

在數(shù)值計(jì)算方面,一直以來(lái),許多科研人員利用流體力學(xué)的基本方程組及流體力學(xué)的擾動(dòng)方程組模擬出了多種在實(shí)驗(yàn)中觀察到的對(duì)流斑圖,并進(jìn)行了理論分析[6-14]。文獻(xiàn)[8,10,13-14]利用高精度差分格式再現(xiàn)了行波對(duì)流的某些現(xiàn)象。近來(lái),對(duì)于局部對(duì)流的研究也獲得了進(jìn)展[15-20]?？墒?這些理論探討中發(fā)現(xiàn)雙局部行波的較少,因此,本文將通過(guò)數(shù)值模擬,研究長(zhǎng)高比Γ=30,分離比ψ=-2.0下,對(duì)流系統(tǒng)中雙局部行波的形成過(guò)程及其特性。

1　物理數(shù)學(xué)模型

本次數(shù)值計(jì)算所用的模型為一個(gè)四周封閉的矩形腔體,腔體上部溫度為定值,底部受熱。當(dāng)上下溫差達(dá)到某個(gè)數(shù)值時(shí),腔體內(nèi)部將產(chǎn)生對(duì)流運(yùn)動(dòng),對(duì)流斑圖隨溫差變化而變化。用二維流體力學(xué)基本方程組來(lái)描述該運(yùn)動(dòng)[1]。

由布辛涅斯克(Boussinesq)近似假設(shè),質(zhì)量密度狀態(tài)方程為[1,11]:

(1)

如果長(zhǎng)度用流體層厚度d,速度用κ/d(κ表示熱擴(kuò)散系數(shù)),時(shí)間用d2/κ進(jìn)行無(wú)因次化,則無(wú)因次流體力學(xué)基本方程組可表示為:

(2)

(3)

(4)

(5)

u、w分別表示腔體中的水平流速和垂向流速。

由于溫度在z=0和z=1處是等溫的,溫度在x=0和x=Γ處是絕熱的,故:

為了討論方便,下面去掉變量中上標(biāo)*。

本次數(shù)值計(jì)算采用有限容積法對(duì)控制方程進(jìn)行離散,方程中的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)采用乘方格式,具有二階精度。計(jì)算中采用均勻交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng)。網(wǎng)格采用均勻網(wǎng)格,Δx=Δz=1/20或者Δx=Δz=1/30。速度-壓力耦合方程的求解采用Simple算法,采用TDMA法求解離散方程,時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=0.001。文獻(xiàn)[21]驗(yàn)證了本文使用的計(jì)算軟件的正確性與數(shù)值格式的合理性。當(dāng)ψ=-0.40、Pr=13.8、Le=0.01、r=1.95時(shí),在上面兩種不同密度的網(wǎng)格下控制物理量的數(shù)值模擬獲得了一致的結(jié)果,從而驗(yàn)證了網(wǎng)格的疏密程度與數(shù)值模擬結(jié)果的無(wú)關(guān)性[12]。本文計(jì)算中采用Δx=Δz=1/20。計(jì)算中采用的流體參數(shù)為:Pr=13.8,Le=0.01,ψ=-0.20,Γ=30。

2　模擬結(jié)果及討論

2.1雙局部行波的形成

在給定參數(shù)Γ=30,ψ=-0.20時(shí),首先對(duì)對(duì)流分叉曲線鞍結(jié)點(diǎn)進(jìn)行了計(jì)算分析。通過(guò)變化r進(jìn)行計(jì)算,在r較小時(shí),始終未發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定的行波,直到逐漸增大r至1.30時(shí),發(fā)現(xiàn)了不同于以往在對(duì)流分叉曲線鞍結(jié)點(diǎn)處出現(xiàn)的局部行波,而是在腔體內(nèi)兩側(cè)區(qū)域存在對(duì)流運(yùn)動(dòng),中間區(qū)域無(wú)對(duì)流,即雙局部行波。

為了分析行波的形成過(guò)程,通常采用三個(gè)不同的特性參數(shù)來(lái)描述。

1)垂向流速的最大值wmax,表示對(duì)流運(yùn)動(dòng)振幅的大小,即行波波峰至波谷的高度的二分之一,用來(lái)特征腔體對(duì)流的速度場(chǎng)。

2)努塞爾(Nusselt)數(shù),反映對(duì)流傳熱強(qiáng)弱的無(wú)量綱數(shù),表示通過(guò)流體層的全部垂向熱通量。

Nusselt數(shù)被定義為:

r=1.30時(shí),隨著時(shí)間t的增長(zhǎng)矩形腔體內(nèi)的最大垂直流速wmax、Nusselt數(shù)N-1和混合參數(shù)M等隨著時(shí)間發(fā)生了一系列的變化,如圖2所示。

圖2　r=1.30時(shí)腔體內(nèi)對(duì)流參數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.2　Convection parameters variation with time at r=1.30

在對(duì)流發(fā)展的初期階段,三個(gè)特征參數(shù)變化幅度較大,但隨時(shí)間的不斷推進(jìn),各參數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)間發(fā)展到t=230以后,wmax、N-1和M三個(gè)參數(shù)均穩(wěn)定,因?yàn)榫植啃胁▽?duì)流是周期變化的,所以在一個(gè)數(shù)值范圍內(nèi)波動(dòng),不再突變,且各參數(shù)的變化規(guī)律相對(duì)應(yīng),腔體內(nèi)的對(duì)流處于穩(wěn)定狀態(tài),對(duì)流斑圖的穩(wěn)定性可由對(duì)流運(yùn)動(dòng)的特征參數(shù)變化來(lái)確定。

r=1.30時(shí)腔體內(nèi)二分之一高度處的溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化,如圖3所示。其中縱向坐標(biāo)軸t表示時(shí)間的變化,橫向坐標(biāo)軸x表示腔體長(zhǎng)度,為30倍腔體高度。為了便于比較,每幅圖所取的時(shí)間段均為100。與圖2相同,雙局部行波的形成過(guò)程是經(jīng)過(guò)一段較長(zhǎng)的時(shí)間才達(dá)到穩(wěn)定的。開(kāi)始,整個(gè)腔體內(nèi)出現(xiàn)瞬態(tài)的對(duì)流運(yùn)動(dòng),既有向左的行波,又有向右的行波,形成控制整個(gè)腔體的對(duì)傳波;t=52之后,腔體左側(cè)區(qū)域的行波逐漸穩(wěn)定,對(duì)流區(qū)域?yàn)閤=0～8之間,右側(cè)區(qū)域出現(xiàn)周期性的對(duì)流擾動(dòng),擾動(dòng)強(qiáng)度忽大忽小,對(duì)流寬度也在逐漸減小,腔體中間區(qū)域無(wú)對(duì)流;t=230之后,右側(cè)區(qū)域的擾動(dòng)改變方向,向左傳播,與左側(cè)區(qū)域行波方向相反,對(duì)流寬度保持穩(wěn)定,雙局部行波形成。

圖3　r=1.30時(shí)腔體二分之一高度處的溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化Fig.3　The temperature field variation with time at r=1.30 in the midheight of the cell

在以往的數(shù)值計(jì)算中,通過(guò)流體力學(xué)擾動(dòng)方程組,在大長(zhǎng)高比Γ=46,強(qiáng)非線性ψ=-0.47下,沿對(duì)流分叉曲線,減小r觀察到過(guò)雙局部行波,本次計(jì)算首次通過(guò)流體力學(xué)基本方程組,在非線性ψ=-0.20下,通過(guò)逐步增大r,觀察到了雙局部行波,而且由于非線性較弱,雙局部行波出現(xiàn)的r范圍很短,在r=1.30以后即轉(zhuǎn)變成了其它類型穩(wěn)定的行波,驗(yàn)證了r對(duì)對(duì)流的影響。

2.2雙局部行波的時(shí)空結(jié)構(gòu)

r=1.30時(shí)雙局部行波穩(wěn)定后,截取溫度場(chǎng)在t=330.0～332.7時(shí)段的變化情況如圖4所示。圖中縱向方向數(shù)值0至1表示腔體高度,一個(gè)矩形框代表一個(gè)時(shí)刻的行波運(yùn)動(dòng)情況,向上兩個(gè)矩形框之間時(shí)間間隔為Δt=0.3。由圖可看出,腔體中出現(xiàn)了與普通局部行波不同的對(duì)流形態(tài),普通的局部行波對(duì)流只位于腔體的左側(cè)部或者右側(cè)部,而此時(shí),對(duì)流運(yùn)動(dòng)同時(shí)出現(xiàn)在腔體的左右兩側(cè),左側(cè)對(duì)流區(qū)域在x=0～8之間,右側(cè)對(duì)流區(qū)域在x=22～30之間,兩組行波的對(duì)流區(qū)域?qū)挾认嗤?x=8～22之間的區(qū)域內(nèi)無(wú)對(duì)流滾動(dòng)。傳播方向上,左側(cè)行波向右側(cè)傳播而右側(cè)行波向左側(cè)傳播,即兩組行波的傳播方向是彼此相反的。

圖4　r=1.30時(shí)腔體內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化(t=330.0～332.7)Fig.4　The temperature field variation with time at r=1.30 (t=330.0～332.7)

圖5是r=1.30時(shí)腔體高度二分之一處溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)及垂直流速場(chǎng)隨時(shí)間的變化。其中橫向坐標(biāo)軸表示腔體長(zhǎng)度,縱向坐標(biāo)軸表示時(shí)間的增長(zhǎng),各條曲線的時(shí)間間隔為Δt=0.3。濃度場(chǎng)、溫度場(chǎng)和垂直速度場(chǎng)的行波走向變化規(guī)律大體一致,濃度場(chǎng)的對(duì)流區(qū)域左側(cè)為x=0～10,右側(cè)為x=20～30，溫度場(chǎng)和垂直流速場(chǎng)的對(duì)流區(qū)域?qū)挾纫葷舛葓?chǎng)的略小一些，這說(shuō)明濃度場(chǎng)需要比較寬的調(diào)整區(qū)間從對(duì)流向傳導(dǎo)過(guò)渡。

圖5　r=1.30時(shí)腔體二分之一高度處各場(chǎng)隨時(shí)間的變化Fig.5　Convection parameters variation with time at r=1.30 in the midheight of the cell

r=1.30時(shí),截取t=350時(shí)各物性參數(shù)在整個(gè)腔體空間內(nèi)的分布情況,如圖6所示。可以看出,腔體中間沒(méi)有滾動(dòng)的區(qū)域?yàn)閭鲗?dǎo)區(qū)域。流線圖中,各等流線圈以各滾動(dòng)中心呈中心對(duì)稱形式;壓力場(chǎng)具有移位鏡面對(duì)稱性;Shadowgraph強(qiáng)度、溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)具有移位反對(duì)稱性。

圖6　r=1.30雙局部行波對(duì)流狀態(tài)的空間結(jié)構(gòu) (t=350)Fig.6　The spatial structure of doubly localized traveling wave at r=1.30 (t=350)

3　結(jié)　語(yǔ)

本文首次基于二維流體力學(xué)基本方程組在大長(zhǎng)高比Γ=30,弱分離比ψ=-0.20下,觀察到了穩(wěn)定的雙局部行波。通過(guò)特征參數(shù)的變化確認(rèn)了行波的穩(wěn)定性,討論了雙局部行波的出現(xiàn)與相對(duì)瑞利數(shù)r的關(guān)系。詳細(xì)探討了溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)、垂直流速場(chǎng)中行波形態(tài)的區(qū)別,并再現(xiàn)了雙局部行波的時(shí)空結(jié)構(gòu)。

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(責(zé)任編輯李斌，王緒迪)

The formation and spatio-temporal structure of doubly localized traveling wave pattern

QI Xin1,NING Lizhong2,YU Li3,LIU Jiafu1

(1.Chongqing Water Resource and Electric Engineering College,Chongqing 402160,China;2.School of Water Resources and Hydroelectric Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China;3.Guangxi Electric Power Industry Investigation Design and Research Institute,Nanning 530023,China)

Under the parameters of a large aspect ratio(Γ=30),and a weak separation ratio ψ=-0.20,the hybrid fluid Rayleigh-Benard convection motion is simulated through the two-dimensional fluid mechanics basic equation system or group.The doubly localized traveling wave in the convection bifurcation saddle node is obtained through the variation in relative Rayleigh number r.The formation process of doubly localized traveling wave spot diagram and spatio-temporal structure are analyzed,whose dynamic behaviors are discussed in this paper.

hybrid fluid; Rayleigh-Benard convection; traveling wave; doubly localized traveling wave; spatio-temporal structure

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.01.020

2015-01-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872164);陜西省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目

齊昕,女,講師,研究方向?yàn)樗W(xué)、對(duì)流動(dòng)力學(xué)。E-mail:qxiou@163.com

O357

A

1006-4710(2016)01-0110-05