非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的穩(wěn)定性研究

王　硯，聶子恒，武吉梅，陳　媛，景　濤，郭旭俠

(1.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，陜西 西安 710048；3.寶雞文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 寶雞 721016)

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非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的穩(wěn)定性研究

王硯1，聶子恒2，武吉梅2，陳媛2，景濤2，郭旭俠3

(1.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，陜西 西安 710048；3.寶雞文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 寶雞 721016)

文章研究了非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的動(dòng)力特性及其穩(wěn)定性問(wèn)題。以軸向運(yùn)動(dòng)薄膜為模型，建立非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的計(jì)算模型，推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)薄膜在面內(nèi)非均勻張力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用微分求積法，建立運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)特征值方程。通過(guò)數(shù)值求解，得到了系統(tǒng)復(fù)頻率的實(shí)部與薄膜長(zhǎng)寬比、速度及張力變化系數(shù)的關(guān)系曲線(xiàn)，并分析了張力變化系數(shù)、長(zhǎng)寬比和運(yùn)動(dòng)速度等參數(shù)對(duì)薄膜動(dòng)力特性及穩(wěn)定性的影響。

非均勻張力；運(yùn)動(dòng)薄膜；穩(wěn)定性

生產(chǎn)中的印刷紙帶、印刷薄膜、紡織纖維布匹等均可模化為軸向運(yùn)動(dòng)的薄膜，其橫向振動(dòng)使系統(tǒng)產(chǎn)生了不穩(wěn)定性，限制了它們的應(yīng)用效果。軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)其控制方程包含了時(shí)間和空間的混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，屬于經(jīng)典的陀螺連續(xù)體，運(yùn)動(dòng)微分方程中包含著豐富的動(dòng)力學(xué)內(nèi)容。文獻(xiàn)[1]闡述了張力控制的基本原理，研究了影響張力波動(dòng)的因素。文獻(xiàn)[2]提出一套保持薄膜所受張力恒定的張力系統(tǒng)補(bǔ)償策略。文獻(xiàn)[3]建立了張力控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，搭建了系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)并開(kāi)發(fā)出相應(yīng)算法，在系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行性能實(shí)驗(yàn)，對(duì)系統(tǒng)算法進(jìn)行了驗(yàn)證并對(duì)系統(tǒng)做出整體分析與評(píng)價(jià)。文獻(xiàn)[4-7]研究了運(yùn)動(dòng)薄膜相關(guān)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域的影響。文獻(xiàn)[8-10]基于粘彈性本構(gòu)研究了黏彈性地基梁橫向振動(dòng)和軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁非線(xiàn)性受迫振動(dòng)。文獻(xiàn)[11]研究了軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的動(dòng)態(tài)特性和不穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[12-13]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的穩(wěn)定性及橫向振動(dòng)進(jìn)行控制研究。文獻(xiàn)[14]考慮到微小橫振動(dòng)中的張力不相等，將張力角的增量和角度的比值取為變量，提出了一種新方法用以對(duì)弦振動(dòng)和薄膜振動(dòng)方程進(jìn)行修正。

目前對(duì)于該方面的研究主要集中在均勻張力作用下的軸向運(yùn)動(dòng)薄膜，而較少討論非均勻張力作用下軸向運(yùn)動(dòng)薄膜的工作狀態(tài)及穩(wěn)定性。但是，實(shí)際工作條件下，高速印刷運(yùn)動(dòng)薄膜在傳輸制備過(guò)程中由于相鄰導(dǎo)紙輥等支撐副的平行度安裝加工誤差及薄膜運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生漂移皺褶等因素，易出現(xiàn)張力不均勻性的問(wèn)題。而印刷機(jī)張力控制直接影響著印刷套準(zhǔn)精度，張力的微小變化都會(huì)嚴(yán)重影響印刷機(jī)的印刷質(zhì)量及工作平穩(wěn)性。因此必須考慮在非均勻張力作用下，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)行為。

本文以在非均勻張力作用下軸向運(yùn)動(dòng)的承印物為研究對(duì)象。研究非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的穩(wěn)定性，建立非均勻張力作用下的運(yùn)動(dòng)薄膜的計(jì)算模型，推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)薄膜在面內(nèi)非均勻作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程，基于微分求積法，建立非均勻張力下運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)特征方程，通過(guò)數(shù)值求解，分析薄膜幾何參數(shù)、速度和張力的變化對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜穩(wěn)定性的影響。

1　振動(dòng)微分方程的建立

(1)

圖1　非均勻張力作用下的印刷運(yùn)動(dòng)薄膜Fig.1　The printing moving membrane under the non-uniform tension

若不考慮橫向外力，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向自由振動(dòng)微分方程為：

(2)

將式(1)帶入式(2)，得到非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向自由振動(dòng)微分方程(3):

(3)

引入無(wú)量綱量：

(4)

則方程(3)可化為無(wú)量綱形式：

(5)

設(shè)方程(5)的解為：

(6)

將式(6)代入式(5)中，得到運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向振動(dòng)微分方程(7)：

(7)

考慮對(duì)邊固支對(duì)邊自由邊界條件，其無(wú)量綱形式為：

(8)

2　復(fù)特征值方程的建立

用微分求積法建立非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的復(fù)特征值方程。節(jié)點(diǎn)分布方式選用非均勻分布，其中x方向上節(jié)點(diǎn)數(shù)取Nx，y方向上節(jié)點(diǎn)數(shù)取Ny，x方向和y方向上取等量的節(jié)點(diǎn)數(shù)，即Nx=Ny=N。用微分求積法對(duì)方程(7)進(jìn)行離散可得：

(9)

邊界條件的微分求積形式為：

(10)

方程(9)和邊界條件(10)可寫(xiě)成矩陣形式：

(11)

式(11)構(gòu)成了系統(tǒng)廣義特征值問(wèn)題，即非均勻張力作用下運(yùn)動(dòng)薄膜的復(fù)特征值方程為：

(12)

式中，R為廣義質(zhì)量矩陣，G為廣義阻尼矩陣，K為廣義剛度矩陣，其中包含有薄膜運(yùn)動(dòng)速度c、薄膜的張力變化系數(shù)β、張力比λ和薄膜的長(zhǎng)寬比μ等參數(shù)。取不同的參數(shù)，可以得到不同復(fù)頻率的變化關(guān)系。

3　數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

當(dāng)β=0，c=0和λ=1時(shí)，非均勻作用力的運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)方程(9)退化為矩形薄膜無(wú)阻尼橫向自由振動(dòng)的振型微分方程。

為了體現(xiàn)微分求積方法是可行有效的，取β=0，c=0，λ=1，不同長(zhǎng)寬比μ時(shí)，對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜的前3階無(wú)量綱振動(dòng)頻率計(jì)算，并和經(jīng)典文獻(xiàn)[15]的解進(jìn)行比較，比較的結(jié)果如表1所示。從表1可知，本文計(jì)算方法(微分求積法)得到的頻率和經(jīng)典文獻(xiàn)[15]的解析解相一致，說(shuō)明應(yīng)用微分求積法求解運(yùn)動(dòng)薄膜的橫向振動(dòng)問(wèn)題是可行有效的。

表1　振動(dòng)頻率本文解與文獻(xiàn)[15]解的比較

圖2所示為張力變化系數(shù)分別為β=0、β=0.4(λ=1，μ=2)時(shí)，無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與無(wú)量綱速度關(guān)系曲線(xiàn)。

圖2　無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與速度的變化關(guān)系 (λ=1，μ=2)Fig.2　The relationship between the real part of dimensionless complex frequencies and velocity (λ=1,μ=2)

從圖2可以看出，對(duì)于薄膜穩(wěn)定工作區(qū)域(0≤c≤1)的任一速度，張力變化系數(shù)越大，薄膜的前三階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部值也越大；隨著張力變化系數(shù)的增大，薄膜失穩(wěn)的臨界速度也逐漸增大，當(dāng)β=0.4時(shí)，臨界速度增大到1.17。

圖3給出了長(zhǎng)寬比μ=2、張力比λ=1時(shí)，前三階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部同張力變化系數(shù)的關(guān)系曲線(xiàn)。由圖3可知，隨著張力變化系數(shù)的增大，前三階復(fù)頻率實(shí)部都呈逐漸增大趨勢(shì)；對(duì)任意相同的張力變化系數(shù)，階數(shù)越高，復(fù)頻率實(shí)部則越大。

圖3　復(fù)頻率實(shí)部與張力變化系數(shù)變化關(guān)系 (λ=1，μ=2)Fig.3　The relationship between the real part of complex frequencies and tension coefficient (λ=1,μ=2)

圖4給出了張力比λ=1、張力變化系數(shù)β=0.5時(shí)，無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與薄膜長(zhǎng)寬比的關(guān)系曲線(xiàn)。從圖中可以看出，第一階復(fù)頻率實(shí)部的值受長(zhǎng)寬比的影響甚?。欢诙?、三階復(fù)頻率實(shí)部則明顯受到影響，即長(zhǎng)寬比越大，第二、三階復(fù)頻率實(shí)部也會(huì)越大。

圖4　復(fù)頻率實(shí)部與長(zhǎng)寬比的關(guān)系 (λ=1，β=0.5)Fig.4　The relationship between real part of complex frequencies and the aspect ratio (λ=1,β=0.5)

圖5給出了在長(zhǎng)寬比μ=1、張力比λ=1時(shí)，運(yùn)動(dòng)薄膜臨界速度與張力變化系數(shù)的關(guān)系曲線(xiàn)。從圖中可以看出，隨著張力變化系數(shù)的增大，臨界速度的值逐漸增大。

圖5　臨界速度與張力變化系數(shù)的關(guān)系 (μ=1，λ=1)Fig.5　The relationship between tension coefficient and critical velocity (μ=1，λ=1)

4　結(jié)　論

本文應(yīng)用微分求積法分析了對(duì)邊固支對(duì)邊自由的邊界條件下印刷運(yùn)動(dòng)薄膜在非均勻張力作用下的振動(dòng)特性，張力變化對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)頻率和臨界速度都有著明顯的影響。

1)通過(guò)數(shù)值求解，得到了系統(tǒng)的復(fù)頻率的實(shí)部與張力變化系數(shù)、長(zhǎng)寬比及運(yùn)動(dòng)速度的變化關(guān)系曲線(xiàn)。

2)分析了張力變化系數(shù)、長(zhǎng)寬比對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜復(fù)頻率的影響，研究了張力變化系數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)薄膜的振動(dòng)頻率及失穩(wěn)臨界速度的影響。

3)得到了張力變化系數(shù)與臨界速度的關(guān)系曲線(xiàn)。

[1]吳俊.冷軋機(jī)張力控制系統(tǒng)分析[J].科技與創(chuàng)新,2015(2):9-10.

WU Jun.Cold rolling mill tension control system analysis[J].Science and Technology & Innovation,2015(2):9-10.

[2]張文慶,王凡.薄膜收卷張力控制動(dòng)力學(xué)分析[J].科技視界,2014(28):60-61.

ZHANG Wenqing,WANG Fan.The dynamic analysis on the rolling thin film tension control system[J].Science & Technology Vision,2014(28):60-61.

[3]穆明,曹少中.基于運(yùn)動(dòng)控制器的卷筒紙印刷機(jī)張力控制系統(tǒng)研究[J].中國(guó)印刷與包裝研究,2014,6(3):44-51.

MU Ming,CAO Shaozhong.Research on tension control system of web press based on motion controller[J].China Printing and Packaging Study,2014,6(3):44-51.

[4]WU Jimei,LEI Wenjiao,WU Qiumin,et al.Transverse vibration characteristics and stability of a moving membrane with elastic supports[J].Journal of Low Frequency Noise,Vibration and Active Control,2014,33(1):65-78.

[5]WANG Yan,CAO Xiaoshan,JING Tao,et al.Dynamic characteristics and stability of axially moving viscoelastic plate with piezoelectric layer[J].Journal of Low Frequncy Noise,Vibration and Active Control,2014,33 (3):341-356.

[6]WU Jimei,WU Qiumin,MA Li’e,et al.Parameter vibration and dynamic stability of the printing paper web with variable speed[J].Journal of Low Frequency Noise,Vibration and Active Control,2010,29(4):281-291.

[7]武吉梅,王忠民,武秋敏,等.基于微分求積法的變密度印刷紙帶振動(dòng)特性分析[J].振動(dòng)與沖擊，2010,29(3):100-102.

WU Jimei,WANG Zhongmin,WU Qiumin,et al.Analysis of vibration characteristics of printing paper web with variable density based on differential quadrature method[J].Journal of Vibration and Shock,2010,29(3):100-102.

[8]彭麗,丁虎,陳立群.黏彈性三參數(shù)地基梁橫向自由振動(dòng)[J].振動(dòng)與沖擊,2014,33(1):101-105.

PENG Li,DING Hu,CHEN Liqun.Transverse free vibration of a beam resting on a three-parameter viscoelastic foundation[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(1):101-105.

[9]唐有綺,陳立群.面內(nèi)平動(dòng)黏彈性板非線(xiàn)性振動(dòng)的內(nèi)-外聯(lián)合共振[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2013,34(5):480-487.

TANG Youqi,CHEN Liqun.Internal-external combination resonance of nonlinear vibration of in-plane translating viscoelastic plates[J].Applied Mathematics and Mechanics,2013,34(5):480-487.

[10]丁虎，陳力群.軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁橫向非線(xiàn)性受迫振動(dòng)[J].振動(dòng)與沖擊，2009，28(12)：128-131.

DING Hu,CHEN Liqun.Transverse non-linear forced vibration of axially moving viscoelastic beam[J].Journal of Vibration and Shock,2009,28(12):128-131.

[11]BANICHUK N,JERONEN J,NEITTAANM

KI P,et al.Theoretical study on travelling web dynamics and instability under non-homogeneous tension[J].International Journal of Mechanical Sciences,2013,66:132-140.

[12]NGUYEN Q C,HONG K S.Transverse vibration control of axially moving membranes by regulation of axial velocity[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2012,20(4):1124-1131.

[13]NGUYEN Q C,HONG K S.Stabilization of an axially moving web via regulation of axial velocity[J].Journal of Sound and Vibration,2011,330(20):4676-4688.

[14]孫遜,張仁杰.對(duì)弦振動(dòng)方程與薄膜振動(dòng)方程的探討[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40(17):236-240.

SUN Xun,ZHANG Renjie.Study on vibrating string equation and vibrating thin film equation[J].Mathematicals in Prictice and Theory,2010,40(17):236-240.

[15]TIMOSHENKO S P,YOUNG D H,WEAVER W Jr,et al.Vibration problems in engineering[M].New York:John Wiley &Sons,Inc,1974.

(責(zé)任編輯王衛(wèi)勛，王緒迪)

The study of stability of the moving membrane under non-uniform tension

WANG Yan1，NIE Ziheng2，WU Jimei2，CHEN Yuan2，JING Tao2，GUO Xuxia3

(1.School of Civil Engineering and Architecture,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China; 2.Schoolof Printing,Packaging Engineering and Digital Media Technology,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China; 3.School of Mechanical Engineering,Baoji University of Arts and Sciences,Baoji 721016,China)

The dynamic characteristics and stability of the moving membrane under non-uniform tension are studied in this paper.The axially moving membrane is taken as a model.The calculation model of the moving membrane under non-uniform tension is established.The motion differential equation of the membrance under inhomogeneous tension is derived,and the complex special value equation in motion system is established using differential quadrature method.The relation curves of the aspect ratio,speed and tension variation coefficient of the real part and membrane of the complex frequencies in the system can be obtained through numerical calculation.The effects of the tension variation coefficient,the aspect ratio and the speed on the dynamic characteristics of the membrane are analyzed.

non-uniform tension; moving membrane; stability

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.01.011

2015-04-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272253，11202159，11302003)

王硯，女，副教授，博士,研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)及其穩(wěn)定性控制。E-mail：wy751112@xaut.edu.cn

O321

A

1006-4710(2016)01-0058-05