0)各項(xiàng)系數(shù)特殊的列表計(jì)算處理,解決了對于高階系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的問題,極大簡化了判穩(wěn)過程,它不僅能夠解決系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性問題,還能夠檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度,即穩(wěn)定裕度,對自動控制理論的發(fā)展起到了極大的推進(jìn)作用。在對勞斯判據(jù)的學(xué)"/>
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    對勞斯判據(jù)的淺略分析

    2019-10-21 09:36田秋來高杰張瑩甄景濤
    科學(xué)與信息化 2019年16期
    關(guān)鍵詞:穩(wěn)定性誤區(qū)

    田秋來 高杰 張瑩 甄景濤

    摘 要 勞斯于1877年提出了穩(wěn)定性判據(jù),在用于判斷系統(tǒng)穩(wěn)性時(shí),又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù),它能夠判定一個多項(xiàng)式方程中是否存在位于復(fù)平面右半部的正根,而且不必求解方程,通過對系統(tǒng)特征方程D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0s0=0(an>0)各項(xiàng)系數(shù)特殊的列表計(jì)算處理,解決了對于高階系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的問題,極大簡化了判穩(wěn)過程,它不僅能夠解決系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性問題,還能夠檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度,即穩(wěn)定裕度,對自動控制理論的發(fā)展起到了極大的推進(jìn)作用。在對勞斯判據(jù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中,應(yīng)注意一些方法和技巧,明確其中的誤區(qū),下面為大家詳細(xì)介紹。

    關(guān)鍵詞 高階系統(tǒng);穩(wěn)定性;簡化;誤區(qū)

    1 勞斯表[1](見參考文獻(xiàn))

    熟記并編制勞斯表是學(xué)好勞斯判據(jù)的第一步,但是大家會發(fā)現(xiàn)勞斯表看起來比較煩瑣,如果采用死記硬背的方式難免會產(chǎn)生疏漏并且容易遺忘,所以請記好以下口訣,這樣便能熟練的記住勞斯表。

    勞斯表口訣

    階數(shù)由高寫到低,將其放在最外側(cè)。

    不能跳階和漏寫,最后一個是零階。

    系數(shù)均在前兩行,順序排布是關(guān)鍵。

    最高系數(shù)放一一,隔山打牛填首行。

    次高系數(shù)放二一,以此類推填次行。

    三行以后要注意,上行首列做分母。

    下左上右是一對,上左下右是一對。

    兩對相減做分子,注意順序不能變。

    【注解】一一:第一行第一列 二一:第二行第一列

    隔山打牛:項(xiàng)的階數(shù)每隔一個寫出一項(xiàng)的系數(shù)

    2 勞斯判據(jù)的應(yīng)用

    系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表中第一列系數(shù)都大于零,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定,而且第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)就是系統(tǒng)特征方程中正實(shí)部根的個數(shù)。在利用勞斯判據(jù)進(jìn)行對系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷時(shí),要做到“一觀察、二計(jì)算、三替換、四構(gòu)造”,這樣才能穩(wěn)快準(zhǔn)的得出結(jié)論。

    “一觀察”

    首先要觀察系統(tǒng)的特征方程是否缺項(xiàng)、是否每項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù),當(dāng)缺項(xiàng)時(shí),這樣的系統(tǒng)一定不穩(wěn)定,當(dāng)某項(xiàng)或者某幾項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí),這樣的系統(tǒng)也一定不穩(wěn)定。通過這兩點(diǎn)即可快速判斷出系統(tǒng)的不穩(wěn)定性而不需要再列勞斯表。

    例如:①D(s)=3s4+2s3+5s+3=0 ②D(s)=2s5+3s4-4s3+6s2-s+6=0

    解析:①這個系統(tǒng)特征方程缺少s2,所以系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的。②這個系統(tǒng)特征方程-4s3、-s兩項(xiàng)的系數(shù)為負(fù),所以系統(tǒng)也一定是不穩(wěn)定的。倘若再用勞斯判據(jù)去大費(fèi)周章的計(jì)算其是否穩(wěn)定便有些南轅北轍了。

    “二計(jì)算”

    熟記口訣,準(zhǔn)確的計(jì)算勞斯表,一直計(jì)算到第零階,通過觀察第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定并得出不穩(wěn)定根個數(shù),但是在計(jì)算過程中又會遇到一些問題,這就要用到下面的“三替換”、“四構(gòu)造”。

    “三替換”

    某行第一列元素為零而該行元素不全為零時(shí),用一個很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計(jì)算,表格計(jì)算完成后再令ε→0,注意:含有ε的那個數(shù)也要最后再代值,不能直接代值參與計(jì)算下一行元素

    例:已知系統(tǒng)特征方程D(s)=s3-4s+3=0,判定這個不穩(wěn)定系統(tǒng)右半s平面中的極點(diǎn)個數(shù)。

    解析:

    列勞斯表:

    由于勞斯表第一列系數(shù)(1、0、-∞、3)符號改變了兩次(注意:從1到0未產(chǎn)生符號的改變),所以系統(tǒng)有兩個根在右半s平面。

    【誤區(qū)】在計(jì)算d1時(shí),有些同學(xué)直接將ε→0代入求出c1→-∞,并將c1→-∞直接代入到下一行,得出d1=(-3∞)/(-∞),導(dǎo)致無法求出最后一行的數(shù)值,違背了表格計(jì)算完成后再代值的要求。

    “四構(gòu)造”

    某行元素全部為零時(shí),利用上一行元素構(gòu)成輔助方程,對輔助方程求導(dǎo)得到新的方程,用新的方程的系數(shù)代替該行的零元素繼續(xù)計(jì)算。注意:構(gòu)造輔助方程時(shí),不要對方程進(jìn)行化簡,用原始方程進(jìn)行求導(dǎo)。

    例:已知系統(tǒng)特征方程D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0,判定這個系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

    解析:

    列勞斯表:

    畫線部分出現(xiàn)全零行,通過構(gòu)造以下輔助方程,并求導(dǎo)得出新的方程,用新方程系數(shù)(10、0)替代全零行。

    輔助方程:

    F(s)=5s2+25=0

    F′(s)=10s=0

    由于勞斯表第一列系數(shù)沒有改變,所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

    【誤區(qū)】某些同學(xué)將以下輔助方程進(jìn)行了化簡并求導(dǎo),違背了利用原始輔助方程求導(dǎo)的原則,導(dǎo)致全零行變?yōu)?、0。

    輔助方程:

    F(s)=5s2+25=0

    s2+5=0

    F′(s)=2s=0

    3 結(jié)束語

    對于勞斯判據(jù)的學(xué)習(xí),牢記口訣是基礎(chǔ),運(yùn)用分為四個步驟(一觀察、二計(jì)算、三替換、四構(gòu)造),完成表格后再令ε→0,構(gòu)造輔助方程不能化簡,認(rèn)真仔細(xì)定能靈活掌握。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 盧京潮.自動控制原理(第2版)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2009:78-79.

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