依不同緯度變量的子午線弧長正反解公式的級數(shù)展開

過家春，李厚樸，莊云玲，李大軍，吳艷蘭

1. 安徽農業(yè)大學理學院，安徽 合肥 230036； 2. 東華理工大學江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 安徽大學資源與環(huán)境工程學院，安徽 合肥 230601； 4. 海軍工程大學導航工程系，湖北 武漢 430033

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依不同緯度變量的子午線弧長正反解公式的級數(shù)展開

過家春1, 2, 3，李厚樸4，莊云玲1，李大軍2，吳艷蘭3

1. 安徽農業(yè)大學理學院，安徽 合肥 230036； 2. 東華理工大學江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 安徽大學資源與環(huán)境工程學院，安徽 合肥 230601； 4. 海軍工程大學導航工程系，湖北 武漢 430033

Foundationsupport：TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(Nos. 41504031; 41571441);FoundationofJiangxiProvinceKeyLabforDigitalLand(No.DLLJ201507)

推導了以歸化緯度、地心緯度解算子午線弧長的展開公式，同時又根據(jù)拉格朗日反演定理，得到了由子午線弧長反解歸化緯度、地心緯度的直接公式。該組公式與子午線弧長正反解公式的大地緯度表達在結構形式上保持一致，進一步揭示了子午線弧長同3種緯度變量之間的內在聯(lián)系。分析表明，基于歸化緯度的子午線弧長解算與大地主題解算方法具有理論上的統(tǒng)一性，正反解精度均高于傳統(tǒng)基于大地緯度的展開。

子午線弧長；級數(shù)展開；大地緯度；歸化緯度；地心緯度

子午線弧長計算是經(jīng)典大地測量問題之一[1-12]，圍繞這一問題的計算和應用，近年來各國學者提出了許多新的方法和見解[13-16]。過去，人們主要關注子午線弧長與大地緯度的關系，但在測量和地圖投影的相關理論中，也常用到歸化緯度、地心緯度等輔助緯度，以使問題得到簡化，尤其是應用歸化緯度。例如，文獻[13]曾給出分別基于大地緯度和歸化緯度的子午線弧長公式正反解的復變函數(shù)表達，并分析指出以歸化緯度為自變量的子午線弧長公式更為簡潔，且精度更高；文獻[14—16]中給出的子午線弧長公式與第二類橢圓積分的關系表明以歸化緯度表示的子午線弧長公式表達更為簡潔；文獻[17—18]分析了多種輔助緯度之間的關系，并指出其實用意義和價值。在高斯投影、UTM投影等正形投影中，應用復變函數(shù)和橢圓積分的表達與解算方法，也常引入歸化緯度[19-22]，在空間直角坐標與大地坐標的轉換中的一些方法中也常使用到歸化緯度[19-22]。同時，在貝塞爾大地主題解算方法及近年來提出的許多新的方法中，均以歸化緯度作為過渡或直接解算結果[23-24]。事實上，子午線是特殊的大地線，分析子午線弧長與歸化緯度、地心緯度的正反解關系，有助于建立子午線弧長與大地主題解算理論上的聯(lián)系。

另外，子午線弧長問題的本質是橢圓弧長問題。而在其他學科領域，一般更多關注的是橢圓弧長與其離心角、極角的關系[25-26]，即對應于大地測量中的歸化緯度和球心緯度。

鑒于此，本文將子午線弧長正、反解公式分別以大地緯度、歸化緯度和地心緯度表示，實現(xiàn)3種緯度變量與子午線弧長的直接轉換，并給出理論與精度分析，以資參考。

1　子午線弧長正解公式的不同緯度變量表達

1.1以大地緯度為自變量的子午線弧長公式

以大地緯度為自變量的子午線弧長正解公式為

B′sin 2B+C′sin 4B-D′sin 6B+E′sin 8B)

(1)

式中，各系數(shù)參考文獻[5]。文獻[16]通過引入第三扁率n和高斯超幾何函數(shù)F將其化為

(2)

該公式使子午線弧長公式得到簡化，且精度提高顯著。式中

(3)

1.2以歸化緯度為自變量的子午線弧長公式

子午線弧長公式以歸化緯度u為自變量的公式為

(4)

按文獻[16]的思路，先將被積函數(shù)按二項式定理展開，再積分，然后引入第三扁率n和高斯超幾何函數(shù)F，可得

(5)

式(5)的推導過程本文從略。為避免復雜的推導過程，可在數(shù)學軟件Mathematica中輸入如下命令一步實現(xiàn)

(6)

式(6)中各命令功能參見Mathematica手冊[27]。

1.3以地心緯度為自變量的子午線弧長公式

以地心緯度Φ為自變量的子午線弧長公式為

(7)

按同樣思路展開可得

(8)

2　由子午線弧長反解不同的緯度變量

2.1子午線弧長反解大地緯度的Helmert公式

Helmert于1880年應用拉格朗日反演定理[28-29]給出子午弧長反解的直接公式，也常稱之為三角級數(shù)回代方法，本文直接引用如下

(9)

式中，β=S/aF。

2.2子午線弧長反解歸化緯度的直接公式

(10)

根據(jù)拉格朗日反演定理，有

(11)

用β替換式(10)中的u，根據(jù)式(11)可得

(12)

(13)

(14)

依次類推，求至5階導，并代入式(11)，可得

(15)

此即為由子午線弧長反解歸化緯度的直接公式。

2.3子午線弧長反解地心緯度的直接公式

類似的，略去推導過程，可以得到由子午線弧長反解地心緯度的直接公式

(16)

至此，得到了分別基于大地緯度、歸化緯度和地心緯度的子午線弧長正解公式，式(2)、式(5)和式(8)，以及由子午線弧長反解各緯度變量的直接公式，式(9)、式(15)和式(16)。3組公式在結構形式上保持較高的一致性，可實現(xiàn)子午線弧長與3種不同緯度相互間直接的轉換計算。

3　基于歸化緯度的子午線弧長解算與大地主題解算方法的統(tǒng)一性分析

上述3種緯度變量的子午線弧長公式的表達中，以大地緯度最為常用，其他兩種表達應用較少。但基于歸化緯度的子午線弧長理論應用上有許多優(yōu)點，主要表現(xiàn)在：①形式上更為簡潔，本文式(1)、式(4)、式(7)表明以歸化緯度的積分表達更為簡潔，與第二類橢圓積分的關系也更為明顯；②精度更高，文獻[13]以復變函數(shù)理論解決子午線弧長問題，分析表明，基于大地緯度的子午線弧長計算最弱精度在7.0×10-6m，而以歸化緯度的最弱精度約為5.0×10-7m，且公式更為簡潔，本文在下一節(jié)內容中分析本文方法的精度比較。

除以上兩方面優(yōu)勢以外，基于歸化緯度的子午線弧長與大地主題解算相關方法具有理論上的統(tǒng)一性。

在文獻[22—24]中，學者給出了新的大地主題解算方法，用歸化緯度表達大地線的微分方程作為解算的基礎方程

(17)

式中，C=cosumax=cosuisinAi，稱為大地線常數(shù)或克萊羅常數(shù)(Clairault’s constant)。

由式(17)可得

(18)

特別的，當大地方位角A=0°時，則C=0，該大地線為子午線，式(18)即化為式(4)。在此種情況下，文獻[24]給出按下式以迭代算法計算歸化緯度

(19)

式中

(20)

文獻[22—24]給出的以上過程表明了歸化緯度在大地主題解算中的應用價值，而子午線是大地線的一種特殊形式。本文分析的基于歸化緯度的子午線弧長正反解建立了子午線弧長理論與大地主題解算相關方法的聯(lián)系，表明二者具有理論上的統(tǒng)一性。

4　精度驗算分析

為比較3組公式的精度，筆者以WGS-84橢球參數(shù)為例，在Mathematica 8.0中調用第2類橢圓積分函數(shù)得到各公式分別展開至n2、n3、n4項的最大誤差，計算結果如表1所示，正反解誤差曲線如圖1所示。

圖1　基于不同緯度變量的子午線弧長正反解誤差曲線Fig.1　Error curves of direct and inverse solutions for meridian by using different latitude variables

驗算表明：

(1) 正解方面，展開至n2項以大地緯度為自變量的解算精度略低，地心緯度次之；展開至n3、n4項，基于地心緯度的解算精度略低，大地緯度次之；展開至n2～n4各階次項均以歸化緯度的解算精度最好。

(2) 反解方面，展開至n2項反解歸化緯度的精度略高于地心緯度；展開至n3、n4項反解地心緯度的精度略高于歸化緯度；展開至n2～n4各階次項反解大地緯度的精度略低；

(3) 實用上來講，各正反解公式展開至n4項能夠滿足大地測量領域的應用精度要求，并可根據(jù)需要展開至更高階以獲得更高精度。

(4) 對比3組公式可發(fā)現(xiàn)，以歸化緯度為變量的正解公式最為簡潔。事實上，如前所述，在大地測量領域里的許多方面，歸化緯度都有類似的性質，常使復雜的問題得到簡化。

5　結　論

本文按以大地緯度為自變量的子午線弧長公式思路，推導了以歸化緯度、地心緯度解算子午線弧長的展開公式，同時又按拉格朗日反演定理，得到了由子午線弧長反解歸化緯度、地心緯度的直接公式，并分析了子午線弧長理論與相關大地主題解算方法的統(tǒng)一性?；?種不同緯度變量的子午線弧長正反解公式結構、形式上一致，收斂速度也基本相當。該組公式實現(xiàn)了子午線弧長同3種緯度變量的直接正反解，揭示了子午線弧長同3種緯度變量之間的關系。子午線弧長理論與大地主題解算理論的統(tǒng)一性分析表明，歸化緯度在大地主題解算方面有其應用價值，而子午線是大地線的一種特殊形式，二者表現(xiàn)為一般與特殊的關系，具有理論上的統(tǒng)一性。

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(責任編輯：叢樹平)

GUO Jiachun(1981—), male, PhD candidate, associate professor, majors in geodesy.

SeriesExpansionforDirectandInverseSolutionsofMeridianinTermsofDifferentLatitudeVariables

GUOJiachun1, 2, 3，LIHoupu4，ZHUANGYunling1，LIDajun2，WUYanlan3

1.SchoolofScience,AnhuiAgriculturalUniversity,Hefei230036,China; 2.JiangxiProvinceKeyLabforDigitalLand,EastChinaInstituteofTechnology,Nanchang330013,China; 3.SchoolofResourcesandEnvironmentalEngineering,AnhuiUniversity,Hefei230601,China; 4.DepartmentofNavigation,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China

Formulasfordirectsolutionsofmeridianwrittenbythereducedandgeocentriclatitudesrespectivelywerederivedbyseriesexpansion.Meanwhile,accordingtoLagrangeinversiontheorem,formulasforinversesolutionsoftheissuewerealsoexpressedintermsofthesamelatitudes.Thesetwoformulaswerestructurallyconsistentwiththatexpressedbygeodeticlatitudeones.Inthesesetsofformulas,internalconnectionbetweenmeridianandthreedifferenttypesoflatitudewererealized.Analysisandnumericalcalculationshowedthatthedirectandinversemeridionalsolutionwithreducedlatitudewasofhigherprecisionthanthatwithgeodeticlatitude,andfurthermore,therehadaunifiedtheorybetweenmeridiantheoryandclassicalgeodeticproblemsexpressedbyreducedlatitude.

meridianarclength;seriesexpansion;geodeticlatitude;reducedlatitude;geocentriclatitude

2014-11-05

2015-05-15

過家春(1981—)，男，博士生，副教授，研究方向為大地測量學。

E-mail： guojiachun@ahau.edu.cn

吳艷蘭

WU Yanlan

E-mail： wylmq@sina.com

GUOJiachun，LIHoupu，ZHUANGYunling，etal.SeriesExpansionforDirectandInverseSolutionsofMeridianinTermsofDifferentLatitudeVariables[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2016,45(5):560-565.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140575.

P226

A

1001-1595(2016)05-0560-06

國家自然科學基金(41504031; 41571441)；東華理工大學江西省數(shù)字國土重點實驗室開放研究基金(DLLJ201507)

引文格式：過家春，李厚樸，莊云玲，等.依不同緯度變量的子午線弧長正反解公式的級數(shù)展開[J].測繪學報，2016,45(5)：560-565.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140575.