一種新的基于復(fù)指數(shù)函數(shù)映射的盲均衡算法

饒　偉,高惠娟,段美怡,張建秋

(1.復(fù)旦大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,上海 200433;2.南昌工程學(xué)院信息工程學(xué)院,江西南昌 330099)

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一種新的基于復(fù)指數(shù)函數(shù)映射的盲均衡算法

饒偉1,2,高惠娟2,段美怡2,張建秋1

(1.復(fù)旦大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,上海 200433;2.南昌工程學(xué)院信息工程學(xué)院,江西南昌 330099)

定義了一個(gè)新的復(fù)指數(shù)函數(shù)將典型的16-QAM非常模信號(hào)的實(shí)部和虛部分別映射至單位圓上.然后利用映射后星座坐標(biāo)的實(shí)部和虛部之間的關(guān)系建立代價(jià)函數(shù),從而提出了一種新的盲均衡算法.新算法克服了著名的恒模盲均衡算法及其典型的改進(jìn)算法在對(duì)非常模信號(hào)均衡時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差大的缺點(diǎn).通過(guò)理論證明驗(yàn)證了新算法在無(wú)噪聲環(huán)境下穩(wěn)態(tài)均方誤差為0;通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新算法在有噪環(huán)境下比恒模及其改進(jìn)算法具有更低的穩(wěn)態(tài)均方誤差.

盲均衡;恒模算法;復(fù)指數(shù)代價(jià)函數(shù)

1　引言

在數(shù)字傳輸系統(tǒng)中受信道帶寬有限及多徑傳輸?shù)挠绊?接收信號(hào)中會(huì)存在碼間干擾(Intersymbol interference,ISI),致使信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重失真[1].因此在接收端常采用盲均衡技術(shù)[2,3]來(lái)消除或減少ISI,其中恒模盲均衡算法[4](Constant Modulus Algorithm,CMA)因其強(qiáng)魯棒性和易于實(shí)現(xiàn)性[3,5]而被廣泛使用與研究[6,7].在發(fā)射端為了提高信道帶寬的利用率,常采用高階正交幅度調(diào)制(Quadrature Amplitude Moduluation,QAM)信號(hào)[8,9].對(duì)于低階QAM(4-QAM)信號(hào),基于CMA的T/2分?jǐn)?shù)間隔均衡器(Fractionally Spaced Equalizer,FSE)在無(wú)信道噪聲環(huán)境下能實(shí)現(xiàn)迫零均衡[5,10].而對(duì)于高階QAM信號(hào),如16-QAM信號(hào),均衡器會(huì)呈現(xiàn)出相對(duì)較大的誤調(diào),致使算法穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Error,MSE)大,收斂速度慢.為了克服這一缺點(diǎn),可以先利用CMA使接收信號(hào)的眼圖睜開(kāi),然后切換到判決引導(dǎo)(Decision-directed,DD)算法來(lái)進(jìn)一步減小殘留誤差[11,12].但是只有當(dāng)CMA的輸出誤差足夠小時(shí)才能保證切換成功,而在實(shí)際環(huán)境中CMA往往達(dá)不到要求[13].又或者采用軟切換的方法[13,14]在穩(wěn)態(tài)MSE和切換的可靠性上進(jìn)行折衷處理.但是這種方法需要做大量的判決處理,計(jì)算復(fù)雜度大幅提升.為了能夠減小CMA的穩(wěn)態(tài)誤差,近年來(lái)提出了例如融入了粒子群優(yōu)化以及正交小波變換的盲均衡[15],或者基于電域反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)盲均衡方法[16],或者基于混合誤差函數(shù)的盲均衡[17～19];又或者針對(duì)CMA和DD切換方式提出新的切換方法[20]或降低其計(jì)算復(fù)雜度[21].上述算法的穩(wěn)態(tài)MSE較CMA雖有所減少,但對(duì)于非常模信號(hào)卻仍無(wú)法收斂至0.為此,文獻(xiàn)[22]提出了一種基于坐標(biāo)變換的盲均衡算法,并通過(guò)DSP加以實(shí)現(xiàn)[23].但是這種變換并不是一一映射,這對(duì)算法的魯棒性有一定影響.因此作者在文獻(xiàn)[24]中定義了一種一一映射的變換方式,并提出了一種類似于Sign-GA[25]準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)與變換方式相配合.但是該算法在信道失真嚴(yán)重或者信噪比較低的情況下性能提升不明顯[24].

本文針對(duì)典型的16-QAM非常模信號(hào)定義了一種新的一一映射的復(fù)指數(shù)函數(shù),該函數(shù)能將16-QAM信號(hào)的實(shí)部和虛部分別映射至2個(gè)單位圓上,再利用各單位圓上信號(hào)坐標(biāo)的實(shí)部和虛部之間的關(guān)系建立起一個(gè)全新的代價(jià)函數(shù),從而提出了一種新的盲均衡算法.該算法克服了傳統(tǒng)盲均衡算法對(duì)非常模信號(hào)均衡時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差大的缺點(diǎn),并且新算法在信道失真嚴(yán)重或者信噪比較低的情況下依然具有良好的性能.利用理論證明的方式驗(yàn)證了在無(wú)噪聲環(huán)境下新算法的穩(wěn)態(tài)MSE為0.同時(shí),采用Rice大學(xué)信號(hào)處理數(shù)據(jù)庫(kù)(SPIB)中的微波信道[26]以及嚴(yán)重失真信道[27]模型,在無(wú)噪和有噪環(huán)境下將新算法與具有代表性的盲均衡算法:CMA、CMA+SDD[14]、MCMA[28]、MMA[29]、文獻(xiàn)[24]算法,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了新算法的優(yōu)越性能.

2　T/2分?jǐn)?shù)間隔盲均衡

研究T/2分?jǐn)?shù)間隔均衡器[5],其結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.

圖中s(k)為發(fā)射信號(hào);長(zhǎng)度為2M的信道沖激響應(yīng)c分成奇偶兩部分ce、co;長(zhǎng)度為2N的均衡器抽頭系數(shù)向量f也分成奇偶兩部分fe、fo,形成2個(gè)子均衡器.k時(shí)刻2個(gè)子均衡器的輸入向量分別為xo,k=[xo(k)…xo(k-N+1)],xe,k=[xe(k)… xe(k-N+1)];y(k)為均衡器輸出信號(hào).令xk=[xo,kxe,k],fk-1=[fe,k-1fo,k-1],則

(1)

式中,T表示取轉(zhuǎn)置操作.

在T/2-FSE結(jié)構(gòu)中可以使用不同的盲均衡算法,這里以應(yīng)用最為廣泛的CMA[4,5]為例.CMA的代價(jià)函數(shù)定義為

(2)

式中,R2為發(fā)射信號(hào)的統(tǒng)計(jì)模值,定義為

R2=E[|s(k)|4]/E[|s(k)|2]

(3)

利用瞬時(shí)隨機(jī)梯度下降法對(duì)f進(jìn)行更新以最小化代價(jià)函數(shù),則f更新公式為

(4)

式中,▽表示求瞬時(shí)梯度操作,eo(k)為誤差函數(shù)項(xiàng).將代價(jià)函數(shù)(2)代入上式得CMA誤差函數(shù)項(xiàng)

eo(k)=y(k)[R2-|y(k)|2]

(5)

由代價(jià)函數(shù)式(2)可知,CMA的目的是期望每個(gè)輸出信號(hào)的幅度模值|y(k)|與|R|相等,此時(shí)代價(jià)函數(shù)被最小化為零,誤差函數(shù)項(xiàng)(5)為零,均衡器抽頭系數(shù)停止更新.當(dāng)均衡器穩(wěn)定后的輸出信號(hào)滿足|y(k)|=|R|=|s(k)|時(shí),稱之為理想均衡,此時(shí)CMA穩(wěn)態(tài)MSE為0.對(duì)于常模信號(hào),基于CMA的T/2-FSE(簡(jiǎn)稱CMA)在無(wú)噪聲環(huán)境下,可以實(shí)現(xiàn)理想均衡;但對(duì)于非常模信號(hào),CMA無(wú)法實(shí)現(xiàn)理想均衡[5,30].

3　新算法

非常模信號(hào)的幅度模值與CMA統(tǒng)計(jì)模值的平方根不相等是導(dǎo)致CMA穩(wěn)態(tài)誤差大,收斂速度慢的主要原因之一.因此,針對(duì)典型的16-QAM非常模信號(hào),通過(guò)映射處理再結(jié)合適當(dāng)?shù)拇鷥r(jià)函數(shù)相配合,從而克服上述缺陷:

考慮到16-QAM信號(hào)的實(shí)部和虛部均與4階脈沖幅度調(diào)制(Pulse-amplitudeModulation,PAM)信號(hào)相同.因此,先以4-PAM非常模實(shí)信號(hào)為例引出新算法,然后在通過(guò)對(duì)實(shí)部和虛部分開(kāi)均衡的方法將新算法引入16-QAM信號(hào)中.

針對(duì)4-PAM信號(hào)定義復(fù)指數(shù)映射函數(shù)

(6)

(7)

式中,下標(biāo)r和i分別代表取實(shí)部和虛部操作.因此建立新算法代價(jià)函數(shù)

(8)

?y′(k)

(9)

這正是我們所期望的理想均衡.

結(jié)合式(4)、(6)、(8)得適用與4-PAM信號(hào)的新算法誤差函數(shù)項(xiàng)

(10)

式中,sgn[·]為符號(hào)函數(shù).

由于16-QAM信號(hào)星座可以由2個(gè)正交的4-PAM信號(hào)星座組合而成,因此利用實(shí)部和虛部分開(kāi)均衡處理的思想可得適用于16-QAM信號(hào)的盲均衡新算法:

(1)代價(jià)函數(shù)為

(11)

(2)將式(11)帶入式(4)得新算法誤差函數(shù)項(xiàng)

(12)

4　新算法性能分析

4.1新算法穩(wěn)態(tài)MSE性能分析

應(yīng)用一種反饋式性能評(píng)估方法[30],對(duì)新算法收斂后的穩(wěn)態(tài)MSE進(jìn)行評(píng)估,其核心計(jì)算式為[30]

(13)

(14)

通過(guò)該式,可以得到算法的穩(wěn)態(tài)MSE:E{|ea|2}.

在進(jìn)行評(píng)估之前,先提出以下合理假設(shè)[30]:

(a)穩(wěn)態(tài)時(shí),發(fā)射信號(hào)s與誤差ea相互獨(dú)立,即E{s*ea}=0.

(b)穩(wěn)態(tài)時(shí),μ2‖x‖2與y相互獨(dú)立,μ2‖x‖2與ea相互獨(dú)立.

(1)計(jì)算T1

將新算法誤差項(xiàng)(12)代入T1得

(15)

利用余弦函數(shù)的麥可勞林展開(kāi)式

(16)

并將yr=sr-ear、yi=si-eai[30]代入T1,再結(jié)合假設(shè)得

(17)

(2)計(jì)算T2

(18)

(19)

(20)

當(dāng)μ、ear足夠小時(shí),忽略包含ear的3次及更高次冪項(xiàng),則

(21)

利用式(16)及正弦函數(shù)的麥可勞林展開(kāi)式

(22)

(23)

(24)

同理可得

(25)

所以

T2=T21+T22≈πμE{|ea|2}

(26)

(3)穩(wěn)態(tài)MSE

由T1=T2,并結(jié)合式(17)、(26)得

E{|ea|2}

(27)

E{|ea|2}≈0

(28)因此,針對(duì)16-QAM非常模復(fù)信號(hào),新算法穩(wěn)態(tài)MSE約為0.

針對(duì)4-PAM非常模實(shí)信號(hào),在分析其穩(wěn)態(tài)MSE時(shí)可以把它看成虛部為0的16-QAM信號(hào),因此易得其穩(wěn)態(tài)MSE

(29)

可見(jiàn),無(wú)論是4-PAM非常模實(shí)信號(hào)還是16-QAM非常模復(fù)信號(hào),新算法收斂后穩(wěn)態(tài)MSE約為零,而CMA穩(wěn)態(tài)MSE不為零[5,30].

4.2新算法與文獻(xiàn)[24]算法性能對(duì)比分析

新算法與文獻(xiàn)[24]算法屬同一類算法,因此有必要對(duì)這兩種算法進(jìn)行對(duì)比分析(這里以4-PAM信號(hào)為例),詳見(jiàn)表1.

可見(jiàn),新算法的映射函數(shù)和文獻(xiàn)[24]相比雖然只是一個(gè)π/4的變化,但是后續(xù)匹配代價(jià)函數(shù)的建立是全新的且它給算法性能,包括計(jì)算量、收斂速度、穩(wěn)態(tài)MSE、工作環(huán)境的適應(yīng)性等,帶來(lái)了較大的提升.

5　計(jì)算機(jī)仿真分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證新算法的性能,我們將新算法與5個(gè)極具代表性的盲均衡算法:CMA、CMA+SDD[14]、MCMA[28]、MMA[29]以及文獻(xiàn)[24]中的算法,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比.首先,通過(guò)無(wú)噪仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證前面對(duì)新算法所做出的理論分析.其次,利用Rice大學(xué)信號(hào)處理數(shù)據(jù)庫(kù)(SPIB)中的微波信道模型在不同信噪比的情況下,對(duì)上述算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析.最后,通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)的方式來(lái)說(shuō)明即便是在失真較為嚴(yán)重的信道環(huán)境[27]中,新算法同樣能夠體現(xiàn)出其優(yōu)越的性能.

表1　新算法與文獻(xiàn)[24]算法對(duì)比分析表(以4-PAM為例)

續(xù)表

5.1無(wú)噪聲環(huán)境下仿真實(shí)驗(yàn)

該仿真實(shí)驗(yàn)中,無(wú)噪聲信道的脈沖響應(yīng)為c=[-0.0901,0.6853,0.7170,0.0901][30],發(fā)射信號(hào)為16-QAM信號(hào).所有算法均采用T/2分?jǐn)?shù)間隔均衡器結(jié)構(gòu),各子均衡器抽頭個(gè)數(shù)均為5.新算法的步長(zhǎng)均為0.001;文獻(xiàn)[24]中算法的步長(zhǎng)為0.002;CMA和MMA的步長(zhǎng)均為0.000016;MCMA中步長(zhǎng)為0.000016,另一個(gè)參數(shù)取值為100;CMA+SDD中CMA部分步長(zhǎng)為0.000016,SDD部分步長(zhǎng)為0.0016,另一個(gè)參數(shù)取值為0.3.仿真結(jié)果如圖3所示,當(dāng)各算法收斂后新算法和文獻(xiàn)[24]算法的輸出穩(wěn)態(tài)MSE約為-300dB,即MSE≈10-30近似為0,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它幾種算法的穩(wěn)態(tài)MSE.但需要注意的是,雖然新算法和文獻(xiàn)[24]算法均能得到近似為0的穩(wěn)態(tài)MSE,但是在保證這兩種算法穩(wěn)態(tài)MSE近似相等(實(shí)際上新算法穩(wěn)態(tài)MSE略低)的前提下新算法收斂速度比文獻(xiàn)[24]快了近1倍.

5.2有噪聲環(huán)境下微波信道仿真實(shí)驗(yàn)

采用Rice大學(xué)信號(hào)處理數(shù)據(jù)庫(kù)(SPIB)中的微波信道模型chan2[26],在不同信噪比下對(duì)比分析各算法的穩(wěn)態(tài)MSE,且實(shí)驗(yàn)過(guò)程中以各算法經(jīng)過(guò)大約1500次迭代后收斂為前提.各算法參數(shù)設(shè)置及仿真結(jié)果如表2所示.

表2　各算法在相同收斂速度(約1500次迭代)不同SNR情況下的仿真結(jié)果

可見(jiàn),新算法在不同的信噪比下均具有最小的穩(wěn)態(tài)MSE且比次優(yōu)算法(文獻(xiàn)[24])小約1倍;此外,在低信噪比下(如20dB)文獻(xiàn)[24]算法與已有算法相比優(yōu)勢(shì)不夠明顯(這與文獻(xiàn)[24]中的分析是一致的),但是新算法卻依然能夠體現(xiàn)出其優(yōu)越的性能,該結(jié)論同樣體現(xiàn)在接下來(lái)的仿真實(shí)驗(yàn)中.

5.3有噪聲環(huán)境下嚴(yán)重失真信道仿真實(shí)驗(yàn)

采用文獻(xiàn)[27]中失真最嚴(yán)重的信道模型對(duì)新算法的適用性進(jìn)行仿真驗(yàn)證.發(fā)射信號(hào)為16-QAM信號(hào),信噪比為20dB.所有算法均采用T/2分?jǐn)?shù)間隔均衡器結(jié)構(gòu),各子均衡器抽頭個(gè)數(shù)均為9.CMA、MMA、文獻(xiàn)[24]算法、新算法的步長(zhǎng)分別為0.000032、0.0002、0.003、0.0004;MCMA中步長(zhǎng)為0.0001,另一個(gè)參數(shù)取值為40;CMA+SDD中CMA部分步長(zhǎng)為0.00004,SDD部分步長(zhǎng)為0.0008,另一個(gè)參數(shù)取值為0.8.仿真結(jié)果如圖4所示:新算法收斂后的穩(wěn)態(tài)MSE約為-12dB≈0.0631,比文獻(xiàn)[24]算法的-9dB≈0.1259減少約一倍多.此外,就此次實(shí)驗(yàn)而言,其中的兩種算法MCMA和CMA+SDD在5.1和5.2中后者的性能要略優(yōu)于前者,而在5.3中正好相反.造成這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)重要原因是這兩種算法除步長(zhǎng)外還受其它參數(shù)控制,且參數(shù)和步長(zhǎng)對(duì)算法性能的影響并不相互獨(dú)立,不同的參數(shù)組合對(duì)算法性能會(huì)產(chǎn)生不同的影響.但是新算法不存在這種多參數(shù)的選擇問(wèn)題,從這個(gè)角度講新算法除了穩(wěn)態(tài)MSE最低以外,其在操作實(shí)現(xiàn)上也要比MCMA和CMA+SDD簡(jiǎn)單得多.

6　結(jié)論

傳統(tǒng)CMA及其改進(jìn)的盲均衡算法雖然能有效克服多徑衰落,但是對(duì)于非常模信號(hào)均衡效果并不理想.本文詳細(xì)分析了產(chǎn)生上述問(wèn)題的一個(gè)重要原因,并據(jù)此針對(duì)典型的16-QAM非常模信號(hào)提出了一種基于復(fù)指數(shù)映射的盲均衡新算法.利用理論證明和仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新算法在無(wú)噪聲環(huán)境下穩(wěn)態(tài)MSE能收斂至零;在有噪環(huán)境下通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新算法同樣具有比同類算法更加優(yōu)越的性能及強(qiáng)可操作性.

雖然新算法只適用于4-PAM和16-QAM信號(hào),但是卻能為進(jìn)一步提高現(xiàn)有盲均衡的性能提供一條新的途徑.例如對(duì)于其它類型非常模調(diào)制信號(hào)以及更高階的QAM信號(hào),如果能找到適合的映射對(duì)象以及與之相匹配的代價(jià)函數(shù),那么盲均衡的性能可以得到很大提升.

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饒偉男,1982年出生,南昌工程學(xué)院信息工程學(xué)院副教授,復(fù)旦大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院在讀博士研究生,主要從事通信信號(hào)處理及應(yīng)用等方面的研究工作.

E-mail:wrao14@fudan.edu.cn

高惠娟女,1977年出生,碩士研究生,南昌工程學(xué)院信息工程學(xué)院講師,主要從事通信信號(hào)處理、圖像處理等方面的研究工作.

New Blind Equalization Algorithm Based on a Mapping from a Complex Exponential Function

RAO Wei1,2,GAO Hui-juan2,DUAN Mei-yi2,ZHANG Jian-qiu1

(1.SchoolofInformationScienceandTechnology,FudanUniversity,Shanghai200433,China; 2.SchoolofInformationEngineering,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang,Jiangxi330099,China)

A new complex exponential function is defined to map the real and imaginary parts of a classic 16-QAM nonconstant modulus signal to the unit circle,respectively.With the relationship between the real and imaginary parts of the new constellation after mapping,a new cost function is built and then a new blind equalization algorithm is proposed.The proposed algorithm can converge the steady-state mean square error (MSE) to zero under a noiseless environment,which is different from the famous constant modulus algorithm (CMA) and some CMA-based improved algorithms.In addition,we provide the theoretical analysis of the proposed algorithm.Simulation results demonstrate that the proposed algorithm has the lower steady-state MSE than CMA and some CMA-based improved algorithms.

blind equalization;constant modulus algorithm;complex exponential cost function

2014-11-05;

2015-03-04;責(zé)任編輯：馬蘭英

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61401188，No.61171127);江西省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(No.2013ZBBE50016);國(guó)家(江西省)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(No.201311319029)

TN911.5

A

0372-2112 (2016)05-1009-08

電子學(xué)報(bào)URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.05.001