影響復擺周期誤差因素的分析研究

許敏明， 王萍

(河池學院　物理與機電工程學院， 廣西　宜州　546300)

?

影響復擺周期誤差因素的分析研究

許敏明， 王萍

(河池學院物理與機電工程學院， 廣西宜州546300)

針對復擺擺角、空氣浮力和復合阻力對復擺周期的影響，分別給出了相應的周期修正公式和周期普遍修正公式，并利用給出的相關公式結合實驗實際，定量評估了上述因素對測量復擺周期的影響，分析發(fā)現(xiàn)，在大學物理實驗中，擺角、空氣浮力的影響應該考慮，而復合阻力的影響可忽略不計。

復擺；實驗；誤差；修正

0　引言

1　復擺實驗簡介

1.1實驗原理

圖1　復擺

如圖1表示一個形狀不規(guī)則的剛體，掛于過O點的水平軸(回轉軸)上，若剛體離開豎直方向轉過θ角度后釋放，它在重力力矩的作用下將繞回轉軸自由擺動，這就是一個復擺。擺動過程中，復擺受重力和轉軸的反作用力，而重力矩起著回復力矩的作用。

設質量為m的剛體繞轉軸的轉動慣量為I，讓剛體繞固定軸O在豎直平面內作左右擺動，G是該物體的質心，質心與軸O的距離為h，θ為其擺動角度。

此時剛體受到一個轉動力矩的作用而發(fā)生轉動，此力矩為

M=-mghsinθ

(1)

其中，θ為轉動角位移，負號表示力矩的方向，它總是與角位移方向相反。

根據(jù)轉動定律，轉動力矩M應為剛體轉動慣量I與角加速度的乘積，即

(2)

將式(1)的M代入式(2)中稍加整理得

(3)

當轉角很小，滿足θ<5°時，上式成為

由上式可看出此時剛體的運動是一種諧振動，其振動的圓頻率為

(4)

此時復擺的振動周期為

(5)

設a為復擺對質心軸G的回轉半徑，則剛體對過質心G且平行于回轉軸O的轉動慣量TG=ma2，根據(jù)平行軸定理得

I=ma2+mh2

將此公式代入式(5)，得

(6)

上式即為復擺在無空氣阻力、支點光滑無摩擦、擺角無窮小的理想情況下作簡諧振動的周期公式，我們把T0稱為理想周期，ω0則為理想狀態(tài)下的圓頻率。通過測量復擺在不同支點擺動的周期和回轉軸到質心軸的距離h，就可以利用公式(6)近似地算出當?shù)氐闹亓铀俣萭。

1.2實驗儀器裝置

圖2　復擺

以如圖2所示實驗裝置為例，實驗所用復擺為一均勻鋼板，寬約幾厘米，長約100厘米。它上面從中心向兩端對稱地開有數(shù)量相同的小孔。測量時分別將復擺通過小圓孔懸掛在固定刀刃上。

常用的計時儀器有數(shù)字毫秒計(精度為0.000 1 s)或電子秒表(精度0.01 s)和機械秒表(精度為0.1 s)；測量長度所用的鋼尺精度為0.001 m。

2　影響復擺實驗誤差的因素

2.1影響復擺實驗誤差因素概述

影響復擺實驗誤差的因素有系統(tǒng)誤差也有隨機誤差。解決誤差問題的重點在于解決系統(tǒng)誤差問題，而系統(tǒng)誤差的難點在于分析實驗方法帶來的系統(tǒng)誤差，其中包括了實驗原理的近似性、實驗條件與理論要求的偏差、測量方法等因素，以下重點分析和評估復擺的擺角、浮力以及阻力對實驗帶來的影響。

2.2復擺周期的理論公式

2.2.1任意擺角的復擺周期公式

可得出

上式是第一類勒讓德橢圓積分[1]，其模數(shù)為k,按其級數(shù)解可求得

略去高次項，得

(7)

由式(7)可看出，考慮擺角影響后的運動周期大于理想周期。

2.2.2在浮力作用下的復擺周期公式

設復擺受浮力為f，則復擺總的轉動力矩為

M=(-mgh-fh)sinθ

將上式代入式(2)中稍加整理得

設空氣密度為ρ0，復擺密度為ρ，當θ很小時，sinθ≈θ，則上式化為

則周期為

(8)

因此可從式(8)看出引入了浮力之后的周期大于理想周期。

2.2.3在復合阻力作用下的復擺周期公式

在流體中運動的物體受到的阻力比較復雜，一般與物體的截面積、流體的密度成正比，與相對運動速度成正比，影響轉軸處摩擦阻力的因素也很復雜，摩擦阻力的大小與轉軸的光滑程度及壓力狀況等有關，摩擦阻力不可能消除。因此復擺在空氣中振動時受到的阻力很復雜，與具體復擺的大小、形狀、運動狀態(tài)還有支點狀態(tài)都有關系[2]。設復擺振動時受到的總阻力fr的大小與復擺的質心速度大小v成正比，阻力的方向都與質心速度方向相反，即

上式中χ是與真實復擺及媒質有關的阻力系數(shù)，在通常情況下χ的量級為(10-3～10-2)kg·s-1。則剛體受到的力矩為

將式(2)和式(4)代入上式，復擺的運動方程為

按照微分方程理論，因阻尼較小(β﹤ω0)，由上式可求出復擺的運動方程為

θ=θ0e-βtcos(ωt+φ)

(9)

將上式按二項式展開得

上式略去高次項得

(10)

從式(10)可見，復擺在空氣中受到復合阻力的周期T大于理想復擺的周期T0.

3　復擺周期普遍修正公式

在任意擺角的復擺周期公式(7)中，如果把空氣浮力考慮進去，則式(7)成為

(11)

(12)

令

(13)

再考慮復合阻力，這里把式(9)中的ω寫為

把復擺的運動周期寫為

將式(13)代入上式化簡按二項式展開，然后整理、略去高次項得

(14)

即考慮了空氣浮力、阻尼、擺角的大小后復擺周期的近似公式為

(15)

4　對影響復擺周期因素的討論

以下將在普通的大學物理實驗條件下對影響復擺周期的因素進行討論和評估。

4.1角振幅θ0的影響

表1　不同角振幅時振動周期的修正量

設復擺的周期為2s，則擺角小于5°時ΔT<0.000 95 s。如果測量時間用的是秒表，精度為0.1 s或0.01 s，則0.01 s比0.000 95(擺角5°時)高2個數(shù)量級，若只對周期進行單次測量，則此時由擺角所引起的系統(tǒng)誤差可以忽略。如果用的是數(shù)字毫秒計時裝置，精度為0.000 1 s，此時對復擺周期作單次測量，2°～5°的擺角對周期的影響依然能表現(xiàn)出來，而1°以下的擺角對周期的影響就體現(xiàn)不出來了。

4.2空氣浮力的影響

4.3復合阻力的影響

由式(10)知，復合阻力的影響為

(16)

由式(9)知，復擺作小角振動由于阻力的影響，角振幅隨時間的增加按指數(shù)方式衰減，規(guī)律為

若經過t時間，角振幅從θ0變化到θ1，則阻力系數(shù)

把上式代入式(16)得

(17)

為算出?T/T0還必須知道剛體的轉動慣量I和角振幅從θ0變化到θ1所用的時間t.

表2　不同支點的復合阻尼修正量

設擺的周期為2 s，從表2知，當懸掛點為第10個時，空氣阻尼對復擺周期的影響為?T/T0=3.04×10-5，則?T=6.08×10-5s，用數(shù)字毫秒計測量得的周期已不能體現(xiàn)出阻尼產生的影響。對比表1和表2的數(shù)據(jù)可知，其他的懸掛點的阻尼對復擺周期的影響比小擺角和浮力對周期的影響小約2～3個數(shù)量級，因此，在實驗中一般情況下可忽略不計。而小擺角對復擺周期的影響與空氣浮力對周期影響是同一個數(shù)量級的，而且其影響能被數(shù)字毫秒計時器記錄下來，因而在測量精度較高的時候應該對此進行修正，此時，式(15)可簡寫為

在大學物理實驗中，用上式作為復擺的周期公式已能滿足較高測量精度的要求。

[1]王梓坤.常用數(shù)學公式大全[M].重慶:重慶出版社,1991:465-467.

[2]何松林,黃焱.復合阻力作用下復擺振動的研究[J].西南師范大學學報(自然科學版),2010,35(4):220-223.

[3]何松林,黃焱,戴祖誠．復擺實驗修正阻力影響的研究[J].實驗室研究與探索,2010,29(7):41-43.

[Abstract]Aiming at the influence of compound pendulum swing angle, air buoyancy and composite resistance on compound pendulum period, this paper puts forward some corresponding periodic correction formula and cycle generally modified formula, and by using the given formula to combine with the experiment practice, carries out a quantitative assessment of the effects of mentioned factors on the measurement of compound pendulum.Analysis found that in college physical experiments, swing angle and air buoyancy’s effects should be taken into account, and impact of composite resistance can be ignored.

[Key words]compound pendulum; experiment; error; correction

[責任編輯劉景平]

Analysis Research on Factors Influencing Compound Pendulum Period Error

XU Min-ming, WANG Ping

(School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Hechi University,Yizhou, Guangxi 546300, China)

G642；O321

A

1672-9021(2016)02-0111-07

許敏明(1976-)，男，廣西宜州人，河池學院物理與機電工程學院講師，主要研究方向：大學物理、核物理。

廣西高校中青年教師基礎能力提升項目(KY2016YB385)；河池學院青年科研基金資助項目(XJ2015QN002)；河池學院教學軟件資助課題(2015ER07)。

2016-03-01