非負(fù)弱下鞅的極大值不等式

馮德成，王曉艷，高玉峰

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

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非負(fù)弱下鞅的極大值不等式

馮德成，王曉艷，高玉峰

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州730070)

給出了兩個初等不等式，并運(yùn)用此不等式得到了非負(fù)弱下鞅的極大值不等式.

初等不等式；非負(fù)弱下鞅；極大值不等式

1　預(yù)備知識

定義1設(shè){Sn,n≥1}是一列L1隨機(jī)變量，如果對任意1≤i

其中g(shù)是任意分量不減的函數(shù)且使得上述期望有意義，那么稱{Sn,n≥1}是一個弱鞅.進(jìn)一步,若g是一個非負(fù)函數(shù)，則稱{Sn,n≥1}是一個弱下鞅.

弱鞅的概念是由Newman和Wright[1]于1982年首先提出的.2000年，Christofides[2]將下鞅的Chow極大值不等式推廣到弱下鞅的情形.2004年，Wang[3]給出了弱鞅的極大值不等式，推廣并改進(jìn)了Christofides的結(jié)果.2013年，Acciaio等[4]利用實數(shù)中的一些初等不等式給出了非負(fù)下鞅的Doob型Lp極大值不等式.2012年,Prakasa得到了下列非負(fù)弱下鞅的兩個極大值不等式:

定理A設(shè){Si,1≤i≤n}是一個非負(fù)弱下鞅，則對任意的n≥1，有

(1)

(2)

受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)，本文首先給出兩個初等不等式，并運(yùn)用此不等式得到非負(fù)弱下鞅的另一種形式的極大值不等式.

2　主要結(jié)論

下面給出兩個初等不等式.

命題1設(shè)x1,x2,…是一列非負(fù)實數(shù).

( i )令h(x)=-log+(x)，則

(3)

( ii )當(dāng)1

(4)

證明(i)由引理1，有

由函數(shù)x|→xlog+(x)在x≥0處的凸性，有

整理上式，有

移項整理，既得(3)式.

(ii)對任意的1

對上式兩端求和，并運(yùn)用引理1就有

(4)式得證.】

定理1設(shè){Sn,n≥1}是一個非負(fù)弱下鞅，則對任意的n≥1，有

(5)

(6)

證明對非負(fù)弱下鞅{Sn,n≥1}運(yùn)用(3)式，可知

(7)

上式也可改寫成

(8)

對(7)式兩端同時求期望，可得

再結(jié)合(8)式，有

由此(5)式得證.

對非負(fù)弱下鞅{Sn,n≥1)}運(yùn)用(4)式，得

將(7)式代入上述不等式，就有

(9)

(10)

對(9)式兩端同時求期望，再結(jié)合(8)和(10)式，就有

(6)式得證.】

推論1設(shè){Sn,n≥1}是一個非負(fù)弱下鞅，則對任意的n≥1，有

證明對于任意的x≥0，有

取x=e/c,c≥0，則

c-clog+c≤1.

對于非負(fù)弱下鞅{Sn,n≥1}中的S1運(yùn)用上式，即有

S1-S1log+S1≤1a.s.

上式兩端求期望，就有

(11)

將(11)式代入(5)式，就有

結(jié)論得證.】

[1]NEWMANCM，WRIGHTAL．Associatedrandomvariablesandmartingaleinequalities[J].Zeitschrift ür Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete，1982，59(3)：361．

[2]CHRISTOFIDESTC．Maximalinequalitiesfordemimartingalesandastronglawoflargenumbers[J].Statistics and Probability Letters，2000，50(4)：357．

[3]WANGJian-feng．Maximalinequalitiesforassociatedrandomvariablesanddemimartingales[J].Statistics and Probability Letters，2004，66(3)：347．

[4]ACCIAIOB，BEIGLBOCKM，PENKNERF，etal．AtrajectorialinterpretationofDoob’smartingaleinequalities[J].The Annals of Applied Probability，2013，23(4)：1494．

[5]PRAKASAR．Remarksonmaximalinequalitiesfornon-negativedemisubmartingales[J].Statistics and Probability Letters，2012，82(7)：1388．

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Maximal inequalities for non-negative demisubmartingales

FENG De-cheng,WANG Xiao-yan,GAO Yu-feng

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The two elementary inequalities are given firstly,and the maximal inequalities for non-negative demisubmartingales is given by using these two elementary inequalities.

elementary inequality;non-negative demisubmartingale;maximal inequality

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.004

2015-10-30;修改稿收到日期:2016-04-01

國家自然科學(xué)基金資助項目(11461061)；西北師范大學(xué)青年教師科研能力提升計劃項目(NWNU-LKQN-11-2)

馮德成(1972—)，男，甘肅武威人，副教授，博士.主要研究方向為隨機(jī)分析和應(yīng)用概率.

E-mail:fengdc@163.com

O 211.4

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0014-03