三視圖還原出幾何體的絕招

安徽省太和中學(xué)　岳　峻　韓長(zhǎng)峰

三視圖還原出幾何體的絕招

安徽省太和中學(xué)岳峻韓長(zhǎng)峰

一、熱點(diǎn)透析

空間幾何體的三視圖是高中新課程中新增內(nèi)容之一，考綱要求同學(xué)們能畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，會(huì)根據(jù)幾何體的三視圖識(shí)別或想象出原幾何體的立體模型。此類題型屢見不鮮，其目的是考查我們的識(shí)圖能力、判斷能力與空間想象能力，往往還要求我們由三視圖還原出實(shí)物圖，進(jìn)而畫出直觀圖，并準(zhǔn)確判斷其相應(yīng)的位置關(guān)系和正確計(jì)算出幾何體的表面積、體積等相關(guān)量。此類問題多以選擇題、填空題為主，通常屬于中等偏易題。殊不知，多半考生盡管知道“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”的特征，可還是為如何還原得到實(shí)物圖而苦思冥想，甚至無(wú)奈！

如何快捷地由幾何體的三視圖還原出幾何體呢？

二、絕招闡述

引例一個(gè)四面體的三視圖如圖1所示，則該四面體的表面積是（）。

圖1

分析根據(jù)“棱角分明”的三視圖，初步判斷四面體是以長(zhǎng)方體為“母體”的幾何體，如圖2所示，不難得到長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2、1、1。

圖2

第一步：根據(jù)正視圖，在長(zhǎng)方體中畫出正視圖的四個(gè)頂點(diǎn)所在的線段，如圖3所示，正視圖的四個(gè)頂點(diǎn)必定是由圖3中的粗實(shí)線上的點(diǎn)投影而成的。

圖3

第二步：根據(jù)側(cè)視圖，在長(zhǎng)方體中畫出側(cè)視圖的三個(gè)頂點(diǎn)所在的線段，如圖4所示，側(cè)視圖的三個(gè)頂點(diǎn)必定是由圖4中的粗虛線上的點(diǎn)投影而成的。

圖4

第三步：根據(jù)俯視圖，在長(zhǎng)方體中畫出俯視圖的四個(gè)頂點(diǎn)所在的線段，如圖5所示，俯視圖的四個(gè)頂點(diǎn)必定是由圖5中的雙線上的點(diǎn)投影而成的。

圖5

第四步：三種類型線的公共點(diǎn)即為原幾何體的頂點(diǎn)，連接各頂點(diǎn)，如圖6所示，即得原幾何體V-DEC，其中O是DC的中點(diǎn)。

圖6

該幾何體是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱錐，可知VO⊥平面DEC，VO=OE=1，VD=VE=VC=DE=EC=，所以該四面體的表面積是2+。

三、絕招驗(yàn)證

例1如圖7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）。

圖7

解析該幾何體為四面體E-D1C1C，其直觀圖求法如圖8所示，故該多面體中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為6，選B。

圖8

例2某三棱錐的三視圖如圖9所示，則該三棱錐的表面積是（）。

圖9

解析三棱錐的直觀圖P-ABC，如圖10所示，過(guò)P點(diǎn)做AB的垂線交AB于D，

圖10

例3某三棱錐的三視圖如圖11所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_______。

圖11

圖12

解析依據(jù)三視圖得到三棱錐P-ABC，如圖12所示，PA⊥平面ABC，D為AC中點(diǎn)，PA=AC=2，BD=1，AB=BC，易知最長(zhǎng)棱為PC=2。故答案為2。

例4某幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的表面積為（）。

圖13

A.54 B.60 C.66 D.72

解析由三視圖可知，該幾何體為FED-ABC，如圖14所示，是由下方的直三棱柱與上方的四棱錐組成的組合體，其中直三棱柱底面為一個(gè)邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，高為2，上方的四棱錐是底面邊長(zhǎng)是3的正方形，一個(gè)側(cè)面與直三棱柱的底面重合。該幾何體共有5個(gè)面，底面，豎直的三個(gè)面面積分別為剩下的一個(gè)面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為3、5的直角三角形，

例5某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖15所示，則該三棱錐的體積是（）。

A.3 B.2

圖15

解析由三視圖可知，該幾何體為A-BCD，如圖16所示，△ABD與△BCD均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面ABD⊥平面BCD，

圖16

設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接AO、OC，則AO⊥BD，

例6設(shè)某幾何體的三視圖如圖17所示（尺寸的長(zhǎng)度單位為m），則該幾何體的體積為_________m3。

圖17

圖18

解析由三視圖可知，該幾何體為P-QCD，如圖18所示，該幾何體的體積為