平面上一類特殊齊次Moran集的Packing維數(shù)下界

胡曉梅

(1.湖北科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 咸寧　437100;2.華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,湖北 武漢　430079)

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平面上一類特殊齊次Moran集的Packing維數(shù)下界

胡曉梅1,2

(1.湖北科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 咸寧437100;2.華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,湖北 武漢430079)

研究構(gòu)造了平面上一類特殊的齊次Moran集,通過分析其結(jié)構(gòu)并利用分形幾何中計算維數(shù)的方法和技巧,證明得到了它們的Packing維數(shù)下界。

齊次Moran集;Packing維數(shù);下界

1　預(yù)備知識

Moran集是一類不具有自相似結(jié)構(gòu)的分形集,它與數(shù)學(xué)其他分支的聯(lián)系非常密切。例如,在動力系統(tǒng)方面[1,2]、度量數(shù)論方面[3,4]、Lipschitz等價方面[5,6]、重分形方面[7,8]、擬同胚方面[9,10]等多方面都有重要的發(fā)展和應(yīng)用。在這些應(yīng)用中,齊次Moran集是重要的一部分。構(gòu)造了平面上一類特殊的齊次Moran集,并計算出了它們的Packing維數(shù)下界。

(1) Iφ=I;

若Iσ1與Iσ有相同的左端點,Iσnk與Iσ有相同的右端點,且Iσi之間的間隔相等,則E又稱為齊次Cantor集,記為C。

若Iσ1與Iσ有相同的左端點,對于1≤i≤nk-1,Iσ(i+1)的左端點與Iσi的右端點相同,則E又稱為偏齊次Cantor集,記為C*。

齊次Cantor集與偏齊次Cantor集是兩類特殊但非常重要的齊次Moran集。

關(guān)于一維齊次Moran集的Packing維數(shù),文獻[11]中證明了下面的結(jié)果:

定理1任給E∈M,有

s*≤dimPE≤t*。

特別地

dimPC*=s*,dimPC=t*,

其中:

C,C*分別表示齊次Cantor集,偏齊次Cantor集。

我們試圖把此結(jié)果推廣到二維平面上一類特殊的齊次Moran集上,證明得到了它們Packing維數(shù)的下界。

2　一類特殊齊次Moran集

圖1　平面上齊次Moran集的構(gòu)造Fig.1　Homogeneous Moran set construction in plane

圖1中,(n1,m1,c1)=(3,2,1/5),(n2,m2,c2)=(2,3,1/5)。

定理2任給

有dimPH≥l*,其中:

證明設(shè)μ是支撐在H上的概率測度,且對H的任意k階基本區(qū)間Ak,μ(Ak)=(n1m1n2m1…nkmk)-1。對任意的x∈H,記B(x,c1c2…ck)為中心在x,邊長為c1c2…ck的正方形,它至少包含一個H的k階基本正方形,并至多與9個H的k階基本正方形相交,因此,有

(n1m1n2m1…nkmk)-1≤μ(B(x,c1c2…ck))≤9(n1m1n2m1…nkmk)-1,

于是,有

其中:δsk=c1c2…csk。因此,對任意x∈H,當(dāng)k>N時,有

μ(B(x,δsk))≤(δsk)α。

(1)

對任意子集M?H,用N(δsk,M)表示中心在M中,邊長為δsk且兩兩不交的正方形的最大個數(shù),記B(xi,δsk),xi∈M,i=1,2,…,N(δsk,M)為這些不交的正方形,于是{B(xi,2δsk)}是M的一個覆蓋。注意到B(x,2δsk)至多與16個邊長為δsk的正方形相交,所以有

(2)

(3)

(4)

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Packing Dimension of First-Class Special Homogeneous Moran Set in Plane

Hu Xiaomei1,2

(1.School of Mathematics and Statistics,Hubei University of Science and Technology,Xianning 437100,China;2.School of Mathematics and Statistics,Central China Normal University,Wuhan 430079,China)

This article builds a first-class special homogeneous Moran set in plane to prove the lower bound of Packing dimension by analyzing the structure and utilizing calculation methods and techniques of dimension in fractal geometry.

Homogeneous Moran set;Packing dimension;Lower bound

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.04.002.

2015-05-12;

2015-07-20.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11271148);湖北科技學(xué)院校級資助項目(2013-XB-013).

胡曉梅(1979-),女,湖北咸寧人,副教授,研究方向為分形幾何.E-mail:xiaomeihu@163.com.

O174.12

A

1004-0366(2016)04-0006-03

引用格式:Hu Xiaomei.Packing Dimension of First-Class Special Homogeneous Moran Set in Plane[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(4):6-8.[胡曉梅.平面上一類特殊齊次Moran集的Packing維數(shù)下界[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(4):6-8.]