科赫雪花孔的衍射圖案

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江 湖州　313000)

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科赫雪花孔的衍射圖案

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江 湖州313000)

假設(shè)光波是標(biāo)量波，對(duì)衍射孔作格點(diǎn)剖分，文章給出了接受屏上光強(qiáng)度的格點(diǎn)求和計(jì)算表達(dá)式.對(duì)零到四級(jí)科赫雪花孔圖形作正方形格點(diǎn)剖分，對(duì)四級(jí)科赫雪花孔圖形作正三角形格點(diǎn)剖分，數(shù)值計(jì)算得到了科赫雪花孔的衍射圖案.計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，衍射圖案保持了科赫雪花的對(duì)稱性，并給出了衍射圖案對(duì)稱性細(xì)節(jié).

科赫雪花;衍射

平面波通過特殊形狀衍射屏后的衍射圖案的研究，是波動(dòng)光學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn).這些形狀包括方孔[1]、正三角形與正六邊形孔[2]、康托分形[3]、斯賓基三角形[4]等.衍射振幅與孔的傅里葉變換有關(guān)，保持了孔的對(duì)稱性[5].科赫雪花[6]也是一個(gè)典型的分形物體，平面波通過科赫雪花孔，衍射圖案有什么特征，具有哪些對(duì)稱性？這就是本文主要探討的問題.

形成科赫雪花的操作如下：先從一個(gè)正三角形開始，每一條邊中間選兩點(diǎn)，向外作一個(gè)等邊三角形，然后把兩點(diǎn)之間的線段去掉，再對(duì)每一條邊作同樣的操作，依次迭代下去，直至無窮，最終得到的圖形就是科赫雪花.圖1是零到三次迭代操作的圖形.

圖1　零到三級(jí)科赫雪花

(1)

這一點(diǎn)的強(qiáng)度為

(2)

(3)

格點(diǎn)選取也有兩種方法，第一種是正方形格點(diǎn)，數(shù)值計(jì)算得到正方形格點(diǎn)剖分對(duì)應(yīng)的衍射圖案如圖2～圖5所示.

圖2　正方形格點(diǎn)剖分一級(jí)科赫雪花孔的衍射圖案

圖3　正方形格點(diǎn)剖分二級(jí)科赫雪花孔的衍射圖案

圖4　正方形格點(diǎn)剖分三級(jí)科赫雪花孔的衍射圖案

圖5　正方形格點(diǎn)剖分四級(jí)科赫雪花孔的衍射圖案

第二種格點(diǎn)選取是正三角形格點(diǎn)，保持原有各級(jí)近似科赫雪花的對(duì)稱性，四級(jí)科赫雪花的格點(diǎn)分布和衍射圖案如圖6所示.

圖6　正三角形格點(diǎn)四級(jí)科赫雪花孔的衍射圖案

由圖2～圖5可以看出，衍射圖案保持原有孔的對(duì)稱性，即正三角形對(duì)稱性.衍射圖案與原有孔還有“互補(bǔ)”關(guān)系.即如果原有孔有一部分是凹陷的，那么衍射圖案在相應(yīng)位置是凸出的.圖5中的正方形格點(diǎn)有1883個(gè)，圖6中正三角形格點(diǎn)有1261個(gè)，對(duì)于四級(jí)科赫雪花孔，兩種格點(diǎn)剖分得到衍射圖案一樣，都保持科赫雪花的對(duì)稱性：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和反射對(duì)稱.

這樣，利用簡(jiǎn)化的衍射振幅表達(dá)式，選取正方形和正三角形格點(diǎn)剖分，求和近似代替積分，數(shù)值計(jì)算得到了零到四級(jí)科赫雪花孔的衍射圖案，這些圖案保持了原有圖形的對(duì)稱性.

[1]劉東州,侯志青,劉立芳.方孔夫瑯禾費(fèi)衍射的數(shù)值模擬[J].大學(xué)物理，2011，30(4)：38-42.

[2]鄭建華,梁華秋,周小莉.正三角形與正六邊形夫瑯和費(fèi)衍射光強(qiáng)分布[J].光學(xué)儀器，2005，27(5):106-108.

[3]李平.Cantor型分形光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射特性研究[J].大學(xué)物理，2002，21(11)：11-14.

[4]田磊,戴冬云,劉生華.互補(bǔ)Sierpinski 地毯光柵夫瑯和費(fèi)衍射現(xiàn)象的研究[J].應(yīng)用光學(xué)，2005，26(5):17-20.

[5]戴又善.二維小孔的對(duì)稱變換與夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布[J].大學(xué)物理，2011，30(11)：22-27.

[6]科赫雪花[EB/OL][2015-09-03]http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html.

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THE DIFFRACTION PATERN OF KOCH SNOWFLAKE HOLE

Qiu Weigang

(School of Science, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

Assuming the light wave is a scalar wave and making a lattice subdivision of the diffraction hole, the finite summation expression of light intensity distribution on the accept screen is given. The numerical solution of diffraction pattern is obtained from the square and equilateral triangle lattice subdivision of the Koch snowflake hole from zero to forth order. Results show that the diffraction patterns keep the original symmetry of Koch snowflake, and also present some special symmetry details in the diffraction patterns.

Koch snowflake; diffraction

2015-04-22;

2015-09-15

國家自然科學(xué)基金(11475062，11275067).

邱為鋼,男,副教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究.wgqiu@hutc.zj.cn

引文格式: 邱為鋼. 科赫雪花孔的衍射圖案[J]. 物理與工程，2016，26(3)：18-19，23.