復(fù)合函數(shù)知識的設(shè)計(jì)

楊林，趙絢，李國娟運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部；運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系

復(fù)合函數(shù)知識的設(shè)計(jì)

楊林1，趙絢2，李國娟1
1運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部；2運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系

摘要：一般高職高專關(guān)于高等數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)知識的講解，都是先給出定義然后應(yīng)用，本文對高等數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)知識進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際情形，采取一些相應(yīng)方法、措施，目的是使學(xué)生能夠很好地理解復(fù)合函數(shù)的內(nèi)容，為后面微分學(xué)、積分學(xué)知識打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。作為高等數(shù)學(xué)中底層必選、必學(xué)的內(nèi)容-----即常識性的知識教育的必然性，我們從結(jié)構(gòu)決定功能的原理出發(fā)，過濾、重構(gòu)高等數(shù)學(xué)知識體系.

關(guān)鍵詞：底層必選；過濾；重構(gòu)；啟發(fā)；創(chuàng)新

引言

結(jié)合我院的培養(yǎng)目標(biāo)及各專業(yè)的要求，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)課程的教學(xué)力求以應(yīng)用為目的，以“基本夠用”為度，在方法、方式上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法與手段改革的兩個(gè)方向需同時(shí)進(jìn)行。我們在教學(xué)過程中，不僅使學(xué)生理解所學(xué)知識，而且使其了解知識的發(fā)現(xiàn)和形成的脈絡(luò)，更重要的是這些常識來源于解決實(shí)際問題之中，掌握這些常識最終回歸于解決實(shí)際問題，這樣以來，就能夠加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有用性的認(rèn)識，從而對基本常識知識學(xué)習(xí)的積極性。本文堅(jiān)持“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，從目前高職學(xué)生的實(shí)際基礎(chǔ)和實(shí)際需要出發(fā)，在內(nèi)容的取舍和闡述方法上做了大膽的探索。在分層、分類、分專業(yè)高職數(shù)學(xué)改革的思想指導(dǎo)下，在知識層面上，采取底層必選(高數(shù)必備知識)，中層限選(按專業(yè)方向限選)，高層自選(按學(xué)生發(fā)展方向)方式進(jìn)行組織教學(xué)。主要是滿足底層必選的“應(yīng)用數(shù)學(xué)”部分，也有可供選擇的部分。在分層、分類、分專業(yè)高職數(shù)學(xué)改革的思想指導(dǎo)下，在知識層面上采取底層必選(高數(shù)必備知識)，中層限選(按專業(yè)方向限選)，高層自選(按學(xué)生發(fā)展方向)的方式組織教學(xué)。

1、問題驅(qū)動(dòng)

[問題驅(qū)動(dòng)]購買嬰幼兒服裝

到了谷子孕嬰專賣店，首先服務(wù)員先問家長，孩子多大，身高多少，然后根據(jù)實(shí)際情況，建議家長買什么服裝。

[啟發(fā)引導(dǎo)][回歸問題]

假設(shè)孩子的年齡是x歲，身高是h厘米，在根據(jù)國家規(guī)定，可以得出孩子穿多大范圍的服裝。

由問題驅(qū)動(dòng)我們可以給出復(fù)合函數(shù)的定義。

2、復(fù)合函數(shù)定義

定義已知函數(shù)y=f(u)和函數(shù)u=g(x)，若u=g(x)的全部或部分函數(shù)值在y=f(u)的定義域中，則y能通過u寫出x的函數(shù)y=f[g(x)]，稱為由y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。

說明：（1）y=f(u)中u為自變量；u=g(x)中u為函數(shù)值；y能通過u寫出x的函數(shù)y=f[g(x)]中的u為中間變量；

（2）復(fù)合函數(shù)的定義類似于神秘的盒子，即

u=g(x)，y=f(u)

（3）復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成，即復(fù)合函數(shù)可以有多個(gè)中間變量。

（4）研究復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)非常重要，微積分中要用到.

（5）一般地，我們分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程時(shí)，應(yīng)由外層向里層逐一拆成基本初等函數(shù)或其代數(shù)和的形式。

分析:從x到y(tǒng)的對應(yīng)中，u,v都是中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的定義求解；

例2、y=sin2x由哪些函數(shù)復(fù)合而成？

分析：要考慮復(fù)合函數(shù)的定義域，且利用函數(shù)的拆分方法可求解；

解:y=sin2x是由y=u2,u=sinx復(fù)合而成的。這個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，它也是u=sinx的定義域；

分析：此題就是復(fù)合函數(shù)，根據(jù)從外層向里層逐層進(jìn)行變量代換，直到成為基本初等函數(shù)或其四則運(yùn)算時(shí)結(jié)束；

[思考]：y=lnu與u=-x能否復(fù)合？

注：由基本初等函數(shù)知識可知，這兩個(gè)函數(shù)不能復(fù)合；

通過上面例題及復(fù)合函數(shù)的定義，我們對此定義做如下解釋。

解釋：（1）、不是任意兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合而成一個(gè)復(fù)合函數(shù)；

（2）、復(fù)合函數(shù)并不是一類新的函數(shù)，它只是反映某些函數(shù)在結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)；

（3）、兩個(gè)函數(shù)復(fù)合后函數(shù)的定義域可能發(fā)生變化；

3、復(fù)合函數(shù)應(yīng)用

例4、俄羅斯套盒

分析：大家都知道俄羅斯套盒，就是一個(gè)大盒子套一個(gè)比它稍小的盒子，稍小的盒子在套一個(gè)比他稍小的盒子，以此類推，就形成了套盒；

解：俄羅斯套盒就類似于復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的定義可以知道:

[師生互動(dòng)]兩個(gè)（或三個(gè)、更多的）函數(shù)盒能不能套子一起？

分析：這個(gè)類似于俄羅斯方塊，即復(fù)合函數(shù)內(nèi)容，但是都知道復(fù)合函數(shù)主要考慮的是定義域。

由復(fù)合函數(shù)的定義求解；解題過程由師生共同完成，由于篇幅有限，這里不做詳解。

4、結(jié)論

本文從問題驅(qū)動(dòng)引出復(fù)合函數(shù)定義，在對復(fù)合函數(shù)的具體復(fù)合過程給以具體講解，可以得出對于高等數(shù)學(xué)知識體系來說，過濾、重構(gòu)知識很重要,文章采取啟發(fā)引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)知識、歸納知識、揭示知識形式的奧秘，不斷重塑學(xué)生的自信心和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想。這樣可以讓教師講解輕松，學(xué)生學(xué)習(xí)容易，達(dá)到教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)。并使學(xué)生學(xué)會用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，使他們擺脫數(shù)學(xué)難學(xué)、厭學(xué)的思維罐式。

參考文獻(xiàn)：

[1]張春杰.高職高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)探究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2006.（2）

[2]楊林，趙絢.積分學(xué)中原函數(shù)問題的課堂探討[J].科學(xué)中國人2014.10（下）

[3]王馬英，樊娟華，楊林.應(yīng)用高等數(shù)學(xué)（文）[M].大連理工大學(xué)出版社，2014

[4]王馬英，樊娟華，楊林.應(yīng)用高等數(shù)學(xué)（工）[M].大連理工大學(xué)出版社，2014

基金項(xiàng)目：2012年山西省高等學(xué)校教學(xué)改革項(xiàng)目（高職）重點(diǎn)項(xiàng)目JG2012059。

作者簡介：楊林，男，山西運(yùn)城芮城；研究生，助理講師。