廣義Maxwell阻尼器高層結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)解析法

李創(chuàng)第,王磊石,鄒萬杰,葛新廣,李　暾

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

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廣義Maxwell阻尼器高層結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)解析法

李創(chuàng)第1,2,王磊石1,鄒萬杰2,葛新廣2,李暾2

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

為解決設(shè)置廣義Maxwell阻尼器的非定常耗能結(jié)構(gòu)在隨機(jī)風(fēng)荷載作用下的隨機(jī)響應(yīng)采用傳統(tǒng)方法比較繁瑣及精度不高的問題，針對此類結(jié)構(gòu)提出基于傳遞函數(shù)法的精確分析方法。首先，用微分積分混合方程組建立了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程；其次用傳遞函數(shù)法及巴斯金相關(guān)函數(shù)的隨機(jī)風(fēng)振激勵(lì)模型，獲得了結(jié)構(gòu)用第一振型表達(dá)的時(shí)域瞬態(tài)位移響應(yīng)非擴(kuò)階解析解；然后，根據(jù)獲得的解析解，運(yùn)用隨機(jī)振動(dòng)方法獲得了該類型耗能結(jié)構(gòu)第一振型下的隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)及樓層處等效靜態(tài)風(fēng)荷載設(shè)計(jì)取值的解析解，最后通過算例計(jì)算顯示：設(shè)置阻尼器后結(jié)構(gòu)的位移減少約36.7%，同時(shí)與數(shù)值方法計(jì)算結(jié)果完全吻合，證明了本文方法的優(yōu)越性。由于采用巴斯金相關(guān)函數(shù)的隨機(jī)風(fēng)振激勵(lì)模型，本文方法可以應(yīng)用其他諸如地震、路面不平等激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)。

廣義Maxwell阻尼器；高層建筑結(jié)構(gòu)；隨機(jī)風(fēng)振；風(fēng)載取值；解析解

0　引　言

目前廣泛應(yīng)于建筑結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)耗能結(jié)構(gòu)眾多，但其中粘滯阻尼器及粘彈性阻尼器由于其優(yōu)良的減振效果及簡便的工程應(yīng)用[1-2]，日益受到研究人員的重視。由于實(shí)際風(fēng)荷載具有隨機(jī)性的特性，故對粘彈性阻尼器耗能高層結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的分析具有理論和實(shí)際工程意義。Maxwell模型阻尼器本構(gòu)方程簡單，易于擴(kuò)階，模型計(jì)算參數(shù)便于從試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合[3-4]，且一般流體阻尼器和粘彈性阻尼器均可用Maxwell模型近似表示或用廣義Maxwell模型表示[1-4]，故基于Maxwell模型阻尼器的耗能結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性分析日益受到重視[5-8]。Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有解析分析方法分為擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法和非擴(kuò)階近似法兩類。擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法主要是引入狀態(tài)變量對運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行擴(kuò)階，將Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)的動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程化為一階狀態(tài)方程組求解，目前非擴(kuò)階近似法已用于耗能結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的數(shù)值分析[6-8]，但因擴(kuò)階方程組物理意義不明確，變量個(gè)數(shù)劇增，計(jì)算效率低，使該法的實(shí)際應(yīng)用受到限制；非擴(kuò)階近似法有模態(tài)應(yīng)變能法[1-2,9]和強(qiáng)行解耦法[10]。當(dāng)前非擴(kuò)階近似法得到廣泛應(yīng)用，但該法采用頻域建模方式會(huì)導(dǎo)致耗能結(jié)構(gòu)方程不能嚴(yán)格適用于強(qiáng)風(fēng)和地震等非簡諧激勵(lì)的時(shí)域分析，且近似假設(shè)過多，精度較低和適用范圍有限[8]。

針對上述方法的不足，本文提出一種兼顧精確和效率的優(yōu)效方法。由于傳遞函數(shù)法不用擴(kuò)階，可直接獲得一般粘滯阻尼對稱線性定常結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的精確解[11]。設(shè)置粘彈性阻尼器的建筑耗能結(jié)構(gòu)，其具有頻率依賴的特性，目前對于該類型的結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)法研究較少。當(dāng)前隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)速(或風(fēng)壓)有兩種表達(dá)方式，一種是應(yīng)用功率譜表達(dá)式[12]，另一種是應(yīng)用相關(guān)函數(shù)表達(dá)式[13-15]，由于功率譜和相關(guān)函數(shù)存在一一對應(yīng)的傅氏變換關(guān)系，因此這兩種表達(dá)式在本質(zhì)上是完全一樣的。因巴斯金提出的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式包含有4個(gè)可調(diào)參數(shù)，可以統(tǒng)一表示工程上相當(dāng)廣泛的一類隨機(jī)激勵(lì)，適用范圍更廣。為使分析方法更具一般性，本文采用巴斯金相關(guān)函數(shù)表征脈動(dòng)風(fēng)速或風(fēng)壓隨機(jī)特性，應(yīng)用傳遞函數(shù)方法獲得設(shè)置廣義Maxwell耗能結(jié)構(gòu)受隨機(jī)風(fēng)振作用的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的分析法。

1　運(yùn)動(dòng)方程

(1)

(2)

式中：Kd為ki0組成的三對角平衡剛度(或模量)矩陣，i=1～n，r=1～m，且：

其中：i=1～n，r=1～m，x0= 0。

由式(1)、式(2)，可得結(jié)構(gòu)的微分積分混合方程為：

(3)

由于在風(fēng)荷載作用下，高層建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)主要受第一振型控制[16]，故高層結(jié)構(gòu)的樓層處位移x按結(jié)構(gòu)第一振型φ1展開：

x=φ1y1,

(4)

式中：y1為結(jié)構(gòu)第一振型廣義坐標(biāo)變量。

則結(jié)構(gòu)方程(3)化為

(5)

圖1廣義Maxwel阻尼耗能結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

Fig.1Calculation diagram of energy dissipation structure with generalized Maxwell damper

圖2第i層廣義Maxwel阻尼器fi(t)計(jì)算簡圖

Fig.2Calculation diagram of generalized Maxwell damper of theilayer

2　基于傳遞函數(shù)法的瞬態(tài)響應(yīng)分析

2.1結(jié)構(gòu)特征值分析

設(shè)廣義位移初始條件為：

(6)

用拉氏公式對式(5)進(jìn)行變換：

(7)

其中：

(8)

(9)

結(jié)構(gòu)特征值方程為：

D(s)=0。

(10)

由式(10)可求出N個(gè)特征值sj，顯然，N=mn+2，說明耗能結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程特征值由mn個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)及一對共軛復(fù)數(shù)組成。

2.2傳遞函數(shù)解析式

根據(jù)耗能結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的特征值sj是傳遞函數(shù)H(s)極點(diǎn)的原理，傳遞函數(shù)可用下列多項(xiàng)式表示[16]：

(11)

式中：ηj為待定常數(shù)。

根據(jù)洛必達(dá)法則可求出待定常系數(shù)ηj為：

(12)

2.3廣義位移時(shí)域響應(yīng)解析解

由式(8)、(9)、(11)、(12)可得：

(13)

對式(13)作拉氏逆變換，由此可以獲得廣義位移(或坐標(biāo))的時(shí)域響應(yīng)解析解為：

(14)

式中：δ(·)為Dirac delta 函數(shù)。

t>0時(shí)，廣義位移(或坐標(biāo))的響應(yīng)可進(jìn)一步表示為：

(15)

式中：aj(t)表示由初始條件對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的響應(yīng)影響，且：

(16)

對于零初始條件，aj(t)=0,j=1～N。

3　基于巴斯金相關(guān)函數(shù)的脈動(dòng)風(fēng)荷載模型

3.1基于巴斯金相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)激勵(lì)模型

基于巴斯金相關(guān)函數(shù)，對均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)f(t)，可知其相關(guān)函數(shù)Rf(τ)與譜密度函數(shù)Sf(ω)存在以下關(guān)系[15]：

(17)

式中：τ和ω分別為f(t)的時(shí)差和頻率變量；σ2、α、β、μ分別為f(t)的方差、相關(guān)因子、卓越頻率因子和正弦函數(shù)參與因子。

式(17)中，σ2、α、β、μ為可調(diào)參數(shù)，當(dāng)這些參數(shù)取不同組合時(shí)，可表示工程上廣泛應(yīng)用的平穩(wěn)隨機(jī)過程模型，具體如下：

①當(dāng)σ2=1時(shí)，有：

(18)

(19)

式(19)常用來表達(dá)脈動(dòng)風(fēng)的隨機(jī)風(fēng)速譜[14-15,18]。

③當(dāng)μ=0時(shí)，有：

(20)

式(20)作為有界噪聲模型[19-21]，不僅可以模擬寬帶和白噪聲模型激勵(lì)，也可模擬窄帶過程激勵(lì)。式(20)也常作為脈動(dòng)風(fēng)速譜[22-23]、隨機(jī)地震譜[14]和軌道及路面譜[24]。

(21)

式(21)為結(jié)構(gòu)地震工程分析中使用較多的Kanai-Tajimi地震譜[14]，其中：ωg為結(jié)構(gòu)所在地的地面特征頻率；ξg是結(jié)構(gòu)所在地的地面特征阻尼比；s0是激勵(lì)譜常數(shù)，其數(shù)值可反映地震動(dòng)的強(qiáng)弱程度。

(22)

⑥當(dāng)σ2=1，β=0，μ=0時(shí)，有：

(23)

式(23)用來表示基于白噪聲輸入的一階線性濾波器的平穩(wěn)輸出，常作輕軌路面譜激勵(lì)模型[27]。

⑦當(dāng)σ2=α，β=0，μ=0，且α→∞時(shí)，有：

(24)

此時(shí)，巴斯金譜即退化為理想白噪聲模型激勵(lì)譜。

⑧當(dāng)σ2=1，α=0，μ=0時(shí)，有：

Rf(τ)=cosbπ，

(25)

式中：δ(·)為dirac delta函數(shù)。

式(25)為隨機(jī)正弦波f(t)=sin(βt+φ)模型的激勵(lì)譜密度函數(shù)表達(dá)式，其中，相位φ在(0,2π)上滿足均勻隨機(jī)分布特點(diǎn)。

綜上所述，巴斯金相關(guān)函數(shù)統(tǒng)一描述工程上相當(dāng)廣泛的平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，從無限小帶寬的隨機(jī)正弦波到無限大帶寬的白噪聲。采用這一激勵(lì)模型的好處是易于獲得響應(yīng)相關(guān)特性的解析表達(dá)式，如響應(yīng)的功率譜與各階譜矩的解析公式等，這在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性分析方面是重要的[14]。

3.2基于巴斯金函數(shù)的脈動(dòng)風(fēng)載模型

在高度為Hi的樓層處，建筑結(jié)構(gòu)所受的脈動(dòng)風(fēng)荷載Fi(Hi,t)為[18]：

(26)

當(dāng)規(guī)格化脈動(dòng)風(fēng)速平穩(wěn)隨機(jī)過程f(t)用巴斯金相關(guān)函數(shù)及其譜密度表示時(shí)，表達(dá)式為[18]：

(27)

(28)

其中：E[·]表示取函數(shù)期望值；

(29)

由于脈動(dòng)風(fēng)荷載具有豎向高度的相關(guān)性，為此，脈動(dòng)風(fēng)荷載Fi(Hi,t)與Fj(Hj,t)的存在關(guān)系[11]：

E[Fi(Hi,t)Fj(Hj,t)]=ρijB(Hi)B(Hj)Rf(τ),

(30)

式中：Rf(τ)用式(27)表示，其參數(shù)σ2、μ、α、β按式(29)計(jì)算。

(31)

4　耗能結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)風(fēng)荷載作用下的位移響應(yīng)分析

由式(15)和式(26)，可得廣義位移(或坐標(biāo))響應(yīng)y1(t)的平穩(wěn)解為：

(32)

故平穩(wěn)響應(yīng)y1(t)的相關(guān)函數(shù)為：

(33)

令：

(34)

利用歐拉公式：

(35)

將Rf(τ)的表達(dá)式(27)改寫為：

(36)

則y1(t)的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式(33)可化為：

(37)

式中：

(38)

將式(38)代入式(37)，y1(t)的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式簡化為：

(39)

式中：

(40)

特別的，令τ=0，得廣義位移(或坐標(biāo))y1的平穩(wěn)方差解析解為：

(41)

5　結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)響應(yīng)分析

(42)

對于結(jié)構(gòu)所受風(fēng)載的計(jì)算，我國《荷載規(guī)范》(GB50009-2012)規(guī)定峰值因子Cf=2.5，故由式(42)可求得廣義位移y1的設(shè)計(jì)響應(yīng)值y1max。

由于式(4)推導(dǎo)時(shí)，是對結(jié)構(gòu)位移按第一振型展開的：

x(t)=φ1y1(t)。

(43)

因此，耗能結(jié)構(gòu)各樓層處的風(fēng)振動(dòng)位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值：

Xmax=φ1y1max。

(44)

6　耗能結(jié)構(gòu)樓層處等效靜態(tài)風(fēng)荷載取值計(jì)算

由于耗能結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K+Kd、質(zhì)量矩陣M與其第1振型φ1及頻率ω1存在恒等關(guān)系：

(K+Kd)φ1=ω12Mφ1，

(45)

故：

(46)

故要使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的設(shè)計(jì)位移向量為Xmax，需施加的等效風(fēng)振力向量為ω12MXmax，所以原主體結(jié)構(gòu)第i樓層的等效風(fēng)振力分量Pdi為：

Pdi=ω12miXimax=ω12miφi1y1max,

(47)

式中：mi為結(jié)構(gòu)第i層的樓層質(zhì)量；φi1為耗能結(jié)構(gòu)第一振型φ1在第i層處的振型分量。

耗能結(jié)構(gòu)順風(fēng)向風(fēng)壓作用效應(yīng)可等效為平均風(fēng)壓與風(fēng)振動(dòng)壓力共同作用的總效應(yīng)。因此，耗能結(jié)構(gòu)在第i層樓層處的順風(fēng)向等效靜態(tài)風(fēng)荷載設(shè)計(jì)取值可用下式表示：

(48)

7　算　例

用本文方法獲得的結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移設(shè)計(jì)響應(yīng)解析解和用數(shù)值積分獲得的風(fēng)振位移設(shè)計(jì)響應(yīng)數(shù)值解完全相同，如圖3所示(圖形已重合),從而驗(yàn)證了方法的正確性。圖3給出了有無阻尼器控制的結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計(jì)值的對比曲線，表1和表2分別列出了結(jié)構(gòu)在是否設(shè)置阻尼器的情況下，各樓層的位移、等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值。計(jì)算結(jié)果表明，與無阻尼器控制相比，結(jié)構(gòu)的位移設(shè)計(jì)響應(yīng)減小了約36.7%。由此可見，阻尼器對于風(fēng)振的減振效果是較為明顯的。

圖3　結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移設(shè)計(jì)值

樓層未設(shè)置阻尼器結(jié)構(gòu)/cm設(shè)置廣義Maxwell阻尼器結(jié)構(gòu)/cm減少比例/%105.0533.19836.7194.9403.12636.7284.7172.98536.7274.3882.77736.7163.9622.50736.7253.4472.18136.7342.8541.80636.7232.1991.39136.7421.4940.94536.7510.7550.47836.69

表2　結(jié)構(gòu)等效靜態(tài)設(shè)計(jì)風(fēng)荷載取值Tab.2　The design value of structural equivalent static wind load

8　結(jié)　語

本文通過對設(shè)置廣義Maxwell阻尼器的高層建筑耗能結(jié)構(gòu)在隨機(jī)風(fēng)荷載激勵(lì)下振動(dòng)響應(yīng)和等效靜態(tài)風(fēng)荷載設(shè)計(jì)取值進(jìn)行了探究。首先，利用傳遞函數(shù)法對此類結(jié)構(gòu)在隨機(jī)風(fēng)振下的響應(yīng)進(jìn)行精確分析，并通過算例驗(yàn)證了該方法相對與傳統(tǒng)方法具有精度高、計(jì)算量少的優(yōu)點(diǎn)。其次，將復(fù)雜的隨機(jī)振動(dòng)設(shè)計(jì)方法簡化為靜態(tài)等效設(shè)計(jì)方法，有助于此類被動(dòng)控制結(jié)構(gòu)在具體工程中推廣應(yīng)用。此外，由于文中采用巴斯金相關(guān)函數(shù)及其譜密度函數(shù)作為一類典型的平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，在工程分析中具有廣泛的代表性，可以用來描述諸如隨機(jī)風(fēng)載、地震激勵(lì)、路面或軌道的隨機(jī)起伏以及有界噪聲激勵(lì)等激勵(lì)模型，故本文基于巴斯金模型隨機(jī)激勵(lì)所獲得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)相關(guān)特性的解析解具有較好的工程應(yīng)用意義。

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(責(zé)任編輯唐漢民梁健)

Analytic method for random wind-induced response of high-rise structure with general Maxwell dampers

LI Chuang-di1,2, WANG Lei-shi1, ZOU Wan-jie2，GE Xin-guang2, LI Tun2

(1.Institude of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China;2.Institude of Civil Engineering and Architecture, University of Science and technology of Guangxi, Liuzhou 545006, China)

An accurate analytic method based on transfer function is applied to solve the response of high-rise structures equipped with General Maxwell dampers under random wind load, while traditional methods are relatively complicated and low precision. Firstly, structural dynamic integral-differential response equations are established. Secondly, by using transfer function method, the exact solutions of structural transient response in time-domain are obtained by expanding the structural response with respect to the first mode. Thirdly, analytical solution of wind-induced structural random response and equivalent static design wind load of high-rise structure with general Maxwell dampers are obtained by using random vibration method. Finally, a numerical example is provided to show that the displacement of the structure with dampers is reduced by about 36.7% against that without dampers, and the results given by the proposed method are in good agreement with the numerical method, so the advantages of the method are proved. In addition, due to the adoption of Baskin correlation function of random wind vibration excitation model, the proposed method can be applied to excitation response induced by earthquake, random fluctuation of pavement or track, and so on.

General Maxwell damper; high-rise structure; wind-induced random response; wind load; analytic solution

2016-03-15；

2016-06-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51468005, 51368008)；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃項(xiàng)目(2015)

李創(chuàng)第(1964—)，男，廣西柳州人，廣西科技大學(xué)教授，博士； E-mail：lichuangdi1964@163.com。

10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0953

TU311.3

A

1001-7445(2016)04-0953-11

引文格式：李創(chuàng)第,王磊石,鄒萬杰,等.廣義Maxwell阻尼器高層結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)解析法[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，41(4)：953-963.