基于雙曲線對(duì)五點(diǎn)法井網(wǎng)流線軌跡擬合研究

李根（中海石油（中國）有限公司天津分公司，天津 300452）

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基于雙曲線對(duì)五點(diǎn)法井網(wǎng)流線軌跡擬合研究

李根
（中海石油（中國）有限公司天津分公司，天津 300452）

以五點(diǎn)法井網(wǎng)流線軌跡的解析解為基礎(chǔ)，對(duì)MATLAB繪制的流線軌跡進(jìn)行分析得出，流線呈雙曲線的幾何特征。以雙曲線方程作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)解析解的流線軌跡進(jìn)行擬合，建立了以流線與主流線夾角為自變量的流線擬合式。流線特征在夾角接近45°的位置對(duì)夾角變化最為敏感，因此在該位置取樣進(jìn)行了加密處理，增大了擬合的可靠性，尤其對(duì)存在啟動(dòng)壓力的油田，此位置一般靠近死油區(qū)，加密處理很有意義。文中求出的擬合式能夠良好地?cái)M合解析解軌跡“兩端直、中間彎”的特點(diǎn)，與解析解曲線的重合度很高。將得到的流線方程與傳統(tǒng)的三角形簡(jiǎn)化流線形式進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)論表明，以雙曲線為基礎(chǔ)的擬合式從流線形態(tài)、長(zhǎng)度、波及面積和流管阻力上均優(yōu)于三角形簡(jiǎn)化形式，使得對(duì)流線的簡(jiǎn)化處理和流線模擬計(jì)算更準(zhǔn)確。

五點(diǎn)法；井網(wǎng)；流線軌跡；三角形；曲線擬合；雙曲線

0　引言

隨著油田開發(fā)的不斷深入，油田內(nèi)部流體的流動(dòng)情況越來越復(fù)雜，由于受網(wǎng)格劃分和差分運(yùn)算本身局限性的影響，流線模擬越來越受到重視。目前對(duì)流線模型［1-2］的研究已很深入，利用流線模型來解決油藏問題的情況越來越多，在對(duì)五點(diǎn)法井網(wǎng)的流線模型處理上都采用了三角形簡(jiǎn)化流線，必定存在偏差。但真實(shí)的流線軌跡并非折線形態(tài)。本文利用雙曲線的特征，對(duì)五點(diǎn)法井網(wǎng)的流線解析解進(jìn)行了較為精確的擬合。

1　五點(diǎn)法井網(wǎng)流線軌跡解析解的特點(diǎn)

在直角坐標(biāo)系下，五點(diǎn)井網(wǎng)流線的解析方程［3-4］的表達(dá)式為無窮級(jí)數(shù)形式，參數(shù)多且繁瑣，在應(yīng)用時(shí)存在困難，利用MATLAB將其八分之一井網(wǎng)的流線解析解表達(dá)式繪制如圖1所示。由圖1可以看出，流線呈現(xiàn)出兩端近似直線、中部近似二項(xiàng)式彎曲的特點(diǎn)。

圖1　五點(diǎn)法流線軌跡解析解

2　雙曲線與流線軌跡的特點(diǎn)

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)圖像如圖2所示，標(biāo)準(zhǔn)方程如式（1）所示。

圖2　焦點(diǎn)在y軸的雙曲線

式中：x，y分別為x，y坐標(biāo)值；a，b分別為常數(shù)，大于0。

由圖2可見，雙曲線離y軸越遠(yuǎn)越接近漸近線，呈現(xiàn)直線形；越靠近y軸越呈現(xiàn)曲線形，且能夠滿足在x=0時(shí)，其導(dǎo)數(shù)y′=0，即此處切線與x軸平行。由上述特點(diǎn)推斷，雙曲線可以作為擬合五點(diǎn)法井網(wǎng)流線的基礎(chǔ)曲線。

由于解析解圖像的對(duì)稱軸為x=0.5，為使坐標(biāo)系統(tǒng)一，將標(biāo)準(zhǔn)方程向右平移x=0.5單位，假設(shè)軸方向坐標(biāo)平移m個(gè)單位（見式（2））。

為擬合向下彎曲的流線，將式（2）變形，得

由于流線方程須過點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）和（1，0），則式（3）變?yōu)?/p>

由于b2與不相關(guān)，令g=b2，，則式（4）變?yōu)?/p>

根據(jù)解析解的結(jié)論［3］，流線在注水井位置點(diǎn)（0，0）處可近似為直線y=xtan λ，λ為流線和主流線（x軸）之間的夾角。令該直線與雙曲線在坐標(biāo)（0，0）的切線重合，對(duì)式（5）求導(dǎo)，并代入x=0，結(jié)果見式（6）。

假定擬合在點(diǎn)（0，0）導(dǎo)數(shù)為0.5的流線，則令y′= 0.5，利用式（6）可以得出h與g的關(guān)系。為觀察g值變化對(duì)式（5）曲線形態(tài)的影響效果，將式（5）所示的雙曲線在x∈［0，1］利用MATLAB進(jìn)行繪制，其參數(shù)g在［0.000 32，25］，以gn+1=5gn取值，繪制的曲線族如圖3所示?？梢钥闯鯾值決定式（5）曲線段的開始位置，則必有一條最優(yōu)曲線能夠擬合解析解，判定利用雙曲線方程能夠?qū)α骶€解析解進(jìn)行擬合。

圖3　不同g值的雙曲線族

3　擬合過程

以八分之一井網(wǎng)為研究單元，每條流線在點(diǎn)（0，0）處與主流線夾角λ（0°≤λ≤45°）有唯一性，以λ作為流線的區(qū)分標(biāo)識(shí)。利用MATLAB求出tan λ值為n×0.1 （0≤n≤10，n為自然數(shù)）的流線族的軌跡坐標(biāo)，以式（5）作為擬合函數(shù)，分別求出每條流線的h和g，在擬合過程中發(fā)現(xiàn)在tan λ接近1的位置，解析解的頂端形狀變化快，主要表現(xiàn)在x=0.5附近越來越呈現(xiàn)折線形態(tài)（見圖4），因此，在y′x=0∈［0.9，1］進(jìn)行了加密處理。

擬合完畢后得到了每條流線的h和g的值，接下來建立每條流線的tan λ與h，g對(duì)應(yīng)關(guān)系，在直角坐標(biāo)系繪制h與tan λ曲線如圖5所示。可以看出，曲線呈現(xiàn)多項(xiàng)式特性。通過優(yōu)選擬合式得出4次多項(xiàng)式擬合效果最佳，確定目標(biāo)函數(shù)為式（7），擬合結(jié)果的決定系數(shù)為1，求得 a=-0.386 8，b=0.499 4，c=-0.269 3，d= 1.160 6，e=-0.003 4。

圖4　tan λ接近1時(shí)雙曲線族

圖5　h與tan λ關(guān)系擬合

在直角坐標(biāo)系繪制g與tan λ曲線如圖6所示，可以看出，曲線呈現(xiàn)指數(shù)曲線特性。目標(biāo)函數(shù)使用MATLAB的自帶擬合函數(shù)（見式（8））。利用MATLAB進(jìn)行擬合，決定系數(shù)為0.999 8，得a=-0.002 371，b= 3.049，c=0.036 91，d=0.302 6。

圖6　g與tan λ關(guān)系擬合

得出解析解的擬合表達(dá)式為

4　結(jié)果分析與屬性對(duì)比

以本文求得的流線擬合公式與簡(jiǎn)化三角形流線的屬性進(jìn)行對(duì)比，包括相同輔角的流線長(zhǎng)度L，流線與主流線包圍面積S，流管阻力相對(duì)阻力R，其計(jì)算方法見式（10），其中W為相鄰2條流線間垂直于二者平分流線的截面的寬度。流管示意如圖7所示。對(duì)比結(jié)果如圖8—圖10所示。圖中長(zhǎng)度、面積、阻力均為無量綱。

圖7　流管示意

圖8　流線長(zhǎng)度隨輔角變化

圖9　流線面積隨輔角變化

圖10　流管阻力隨輔角變化

5　波及面積對(duì)比

在注采平衡的五點(diǎn)井網(wǎng)中，流線上壓差最小的位置為流線與注采井連線的垂直平分線（為中央等勢(shì)線）的交點(diǎn)A處。如流線上該點(diǎn)的壓差小于啟動(dòng)壓力則流體無法運(yùn)動(dòng)［5-11］，如流線上該點(diǎn)壓差與啟動(dòng)壓力相等，則該流線為最外側(cè)的流線，該流線所包圍的面積也是最大波及面積。對(duì)經(jīng)過同一交點(diǎn)A的簡(jiǎn)化三角流線和擬合式流線對(duì)比可看出前者的波及面積小于后者的（見圖11）。

圖11　過同一A點(diǎn)的2種流線軌跡

為了研究過同一A點(diǎn)2種流線軌跡所對(duì)應(yīng)的波及面積與A點(diǎn)位置的關(guān)系，以A點(diǎn)距離主流線的位置為自變量，2種波及面積為因變量進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖12所示，圖12中的變量均為無量綱。

圖12　波及面積隨A位置變化

6　結(jié)論

1）簡(jiǎn)化三角形的流線軌跡與擬合式的相比，長(zhǎng)度與面積偏差較大的位置出現(xiàn)在輔角靠近30°的位置，而滲流阻力偏差較大的位置出現(xiàn)在輔角靠近0°和45°的位置。

2）存在啟動(dòng)壓力時(shí)，簡(jiǎn)化三角形模式所得出的平面波及面積要小于擬合式的結(jié)果。

3）本文的改進(jìn)在計(jì)算速度上優(yōu)于解析解，在計(jì)算精度上接近解析解、優(yōu)于三角形簡(jiǎn)化模式，具有一定的實(shí)用性和可靠性。

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（編輯楊會(huì)朋）

Curve fitting of five-spot well pattern streamline traces based on hyperbolic equation

Li Gen
（Tianjin Branch of CNOOC Ltd.，Tianjin 300452，China）

Based on the analytical solution of the streamline traces of the five-spot well pattern，the streamline traces were plotted by MATLAB and analyzed，it is found that the streamline forms show the geometric traits of hyperbola.Using the hyperbolic equation as the objective function，the streamline traces of the analytical solution were fitted，the general curve-fitting formulas with the angle between the streamline and the main streamline as the independent variable were established.For the geometric traits are very sensitive to the angle when the angle is close to 45°，so it is neccesary to infill the sampling in this area to increase the fitting′s reliability.In the oilfield with start-up pressure gradient，the 45°area is near the inert area，so the infilling work is meaningful.The general fitting formulas gained by this paper can reflect the"bent-ends，straight-middle"features of the streamlines satisfactorily，and have an ideal coincidence with the reality.Compared with the traditional simplified triangle method，the gained formulas have the advantages of shape，length，square，and stream tube resistance.All the privilages make the simplification and simulation of the streamlines more reliable.

five-spot；well pattern；streamline simulation；triangle；curve fitting；hyperbola

國家科技重大專項(xiàng)“大型油氣田及煤層氣開發(fā)”（2011ZX05057）

TE132.1+4；P631

A

10.6056/dkyqt201601019

2015-07-10；改回日期：2015-11-21。

李根，男，1985年生，工程師，碩士，2011年畢業(yè)于東北石油大學(xué)油氣田開發(fā)工程專業(yè)，現(xiàn)主要從事油藏工程研究工作。E-mail：ligen2@cnooc.com.cn。

引用格式：李根.基于雙曲線對(duì)五點(diǎn)法井網(wǎng)流線軌跡擬合研究［J］.斷塊油氣田，2016，23（1）：86-89.

Li Gen.Curve fitting of five-spot well pattern streamline traces based on hyperbolic equation［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2016，23（1）：86-89.