有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性

夏恩惠（西安交通大學，運籌學與控制論，陜西西安710049）

有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性

夏恩惠
（西安交通大學，運籌學與控制論，陜西西安710049）

本文研究的是帶有擾動項v的正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)E x?=Ax+Gu+Hv 。首先，我們在原有給出了的帶有擾動項的正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的分布解基礎上，對其分布解分類加以研究。再者，本文結合有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能控性的研究，給出了有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性的定義。最后，我們給出了有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)是否為擾動脈沖能觀的重要判斷依據(jù)，并且通過建立對偶系統(tǒng)，分析得出原系統(tǒng)與其對偶系統(tǒng)之間關于擾動脈沖能控能觀性的聯(lián)系。本文所得結果對于研究廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的設計問題有重要的理論與應用價值。

正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)；脈沖能觀性；擾動脈沖能觀性

本文引用格式：夏恩惠.有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性［J］.新型工業(yè)化，2016，6（7）：40-45.

0　引言

近年來，隨著人工智能的不斷發(fā)展，現(xiàn)代控制理論中很多有限維的系統(tǒng)理論已經不足以解決大數(shù)據(jù)時代的很多系統(tǒng)控制了。因此，很多學者也在研究分布參數(shù)系統(tǒng)相關理論，并得出了很多重要結論，包括帶有擾動項的有限維系統(tǒng)的脈沖能控能觀性研究以及無窮維廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的脈沖能控能觀性結論。但是到目前為止，對于無窮維廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)，還沒有人研究帶有擾動項后該系統(tǒng)的相關性質會發(fā)生什么樣的變化。故本文就將對此問題進行分析和研究。

為了研究廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能控能觀性，可以把所要研究的部分分為四大板塊：有限階廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能控性、有限階廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性、無限階廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能控性以及無限階廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性。其中有限階廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能控性已經在另一篇我的文章中分析過了，本文就有限階廣義正則分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性進行分析和研究。另外兩個部分是關于無限階的系統(tǒng)會在今后繼續(xù)研究。

為了減弱干擾項對分布參數(shù)系統(tǒng)的干擾程度以達到系統(tǒng)的控制效果，一些H∞控制問題已經得到了不少學者的關注［1］-［7］。在這些研究領域中，研究的帶有控制輸入u和干擾項v的分布參數(shù)系統(tǒng)形式如下：

其中x是系統(tǒng)狀態(tài)。E是方陣可能是奇異的。但目前大部分學者的研究都是基于有限維的分布參數(shù)系統(tǒng)。下面我們來介紹本文所要研究的正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的定義。

1　有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)

形式如下：

其中E∈L（X，Z），A∈CD（X，Z），B ∈L（U，Z）；x（t）∈X，u（t）∈U分別表示狀態(tài)向量和輸入向量。我們定義廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的有限階正則性如下：

定義1 對于廣義分布參數(shù)系統(tǒng)（1），如果存在Banach空間X1， X2及單射P∈L（Z，X1×X2），雙射Q∈L（X1×X2，X），使得

其中N是一個h階冪零算子（即存在正整數(shù)h使得Nh-1≠0，Nh=0），K是強連續(xù)算子半群的生成元，則稱原系統(tǒng)（1）是階數(shù)為h的正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)，簡稱為有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)。

此時，算子P，Q把系統(tǒng)（1）變換為Banach空間X1×X2上如下形式的解耦系統(tǒng)

由（2.1）-（2.2）所表示的系統(tǒng)稱為有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的正則標準形式。

通過之前的學習，我們已經知道給定階數(shù)h和初值的系統(tǒng)（2.1）和（2.2），當系統(tǒng)的輸入向量u（t）為任意h階連續(xù)可導向量時，有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的解已經給出。并且，我們知道有限階正則廣義系統(tǒng)（1）的脈沖能控性是只和其快子系統(tǒng)（2.2）有關的。那么當輸入向量u（t）為分段光滑的時候，原系統(tǒng)的解又將如何。接下來，我們只對其快子系統(tǒng)進行研究。

設計與研究

2　初始值問題的分布解

快子系統(tǒng)

在研究初值問題分布解之前，我們先作一些相關定義。

2.1相關定義

2.2分段光滑函數(shù)映射的拉普拉斯變換

2.3初始值問題的分布解

現(xiàn)在我們來考慮初始值問題（3）。它的頻域形式為：

（sN- I）X（s）=Nx0+BU（s）（5）

很顯然，我們得到：

下面的引理向我們展示了輸入向量的節(jié)點以及它的導數(shù)對頻域解得影響。

證明：為了簡單，我們只證明u只存在一個間斷點τ＞0的情況。由推論1知：

交換連加號順序，注意Nq=0，我們得到

將上式代入（7）中并推廣至無窮個間斷點時則得出結論。

定義4：用逆拉普拉斯變換從（5）中解出的X（s）稱為（3）的分布解。

定理1：u∈κh

P（R+，LP（U））帶有間斷點0＜τ1＜τ2＜…。那么系統(tǒng)（3）的分布解為：

3　脈沖的分類

在上述的狀態(tài)響應中出現(xiàn)兩種類型的脈沖，第一種脈沖表達式是：

第一種脈沖由初始值和輸入引起。第二種脈沖表達式是：

第二種脈沖是由輸入向量u的跳躍Δτu（l），l= 0，1，…，q -1和u在τ＞0的導數(shù)引起的。第二種脈沖與初值無關。我們需要強調的是這兩種脈沖有著本質的不同。

4　擾動脈沖能觀性

4.1擾動脈沖能觀性

研究系統(tǒng)：

因為本文下面考慮的是由輸出來觀測狀態(tài)響應，這和輸入向量u（t）和擾動向量v（t）沒有關系。因此，本文下面主要研究系統(tǒng)：

定義5：系統(tǒng)（11）中，若由y（0）=0都能推出x（t）|t=0=0，則系統(tǒng)（11）是擾動脈沖能觀的。

定理：2：系統(tǒng)（11）擾動脈沖能觀當且僅當ker（Q［C1，N］N）∩ker（Q［C2，N］N）=kerN.

因此要由y（0）=0推出xI（t）|t =0=0，當且僅當ker（Q［ C1，N］N）∩ker（Q［ C2，N］N）=kerN .

綜上，由定義5知，系統(tǒng)（11）擾動脈沖能觀當且僅當ker（Q［ C1，N］N）∩ker（Q［ C2，N］N）=kerN

定理3：一般系統(tǒng)：

E x?=Ax+Gu+Hv

y（t）=Mx（t）

如上的一般系統(tǒng)，它的慢子系統(tǒng)狀態(tài)響應中不含脈沖項，因此一般系統(tǒng)的慢子系統(tǒng)均是擾動脈沖能觀的。因此一般系統(tǒng)的擾動脈沖能觀性等價于其快子系統(tǒng)的能觀性。

4.2例子

因為

5　對偶原理

本文的對偶原理揭示的是無窮維有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)的擾動脈沖能控性和其對偶系統(tǒng)的擾動能觀性之間的聯(lián)系。 下面X，Y，U，V，Z均在Hilbert空間上研究。

下面只考慮快子系統(tǒng)。

定義6：系統(tǒng)（10）的對偶系統(tǒng)定義如下：定理4：當ker（Q［ C1，N］N），ker（Q［ C2，N］N），kerN，kerN*是閉的且kerN*=ran（N*C（N*，C1*））系統(tǒng)（10）擾動脈沖能觀則其對偶系統(tǒng)（13）擾動脈沖能控。

kerN，kerN*均是閉的。故：

因此根據(jù)之前研究無窮維有限階正則廣義分布參數(shù)系統(tǒng)擾動脈沖能控性［8］充要條件得系統(tǒng)（13）擾動脈沖能控。

［1］Zhibin Yan.“Disturbance impulse controllability in Descriptor system”，IEEE Trans.Autom.Control，2011.

［2］Ge，Zhaoqiang.“Impulse observability and impulse controllability of regular degenerate evolution systems.” Journal of Systems Science ＆ Complexity ：1-13.

［3］I.Masubuchi，Y.Kamitane，A.Ohara，and N.Suda，“H∞control for descriptor systems：A matrix inequalities approach，” Automatica，1997，33（4）：669-673.

［4］曾麗瓊，匡洪海，張曙云，等.風電并網(wǎng)前后的系統(tǒng)短路故障特性分析與仿真［J］.新型工業(yè)化，2016，6（4）：27-33.ZENG Li-qiong，KUANG Hong-hai，ZHANG Shu-yun，et al.Research on the Influence of Wind Power Integration by Matlab for System Dynamic Stability［J］.The Journal of New Industrialization，2016，6（4）：27-33.

［5］I.Masubuchi，“Dissipativity inequalities for continuous-time descriptor systems with applications to synthesis of control gains，” Syst.Control Lett.，2006，55（2）：158-164.

［6］劉建國，劉振丙.基于一階矩的DFT 脈動陣列快速實現(xiàn)［J］.新型工業(yè)化，2011，1（4）：8-15.Liu Jianguo，Liu Zhenbing.Efficient Systolic Implementation of DFT Using only the First-order Moments［J］.The Journal of New Industrialization，2011，1（4）：8-15.

［7］I.Masubuchi，“Output feedback controller synthesis for descriptor systems satisfying closed-loop dissipativity，” Automatica，2007，43（2）：339-345.

［8］H.S.Wang，C.F.Yung，F(xiàn).R.Chang.“Bounded real lemma and H∞control for descriptor systems，” Proc.Inst.Elect.Eng.D，1998，145（3）：316-322.

［9］C.F.Yung.“H∞control for linear discrete-time systems：State feedback and full information cases，” in Proc.17thWorld Congress，IFAC，Seoul，Korea，Jul.6-11，2008，1003-10008.

［10］Y.Xia，E.K.Boukas，P.Shi，et al.“Stability and stabilization of continuous-time singular hybrid systems，” Automatica，2009，45（6）：1504-1509.

［11］任麗娜，呂明月，劉爽爽，等.基于蜂群算法優(yōu)化的變槳距自抗擾控制器［J］.新型工業(yè)化，2014，4（6）：43-48.Ren Lina，Lv Mingyue，Liu Shuangshuang，et al.Based on colony optimization algorithm Pitch ADRC［J］.The Journal of New Industrialization，2014，4（6）：43-48.

Disturbance Impulse Observability of Infinite-dimensional Regular Descriptor System with Finite Order

XIA En-hui
（School of Operations research and control theory，University of Jiaotong University of Xi'an，Xi'an 710049，China）

Impulse observability of infinite-dimensional regular descriptor system with finite order E x?=Ax+Gu+Hv，which goes with external disturbance v is considered.Firstly，on the premise of infnite-dimensional descriptor system with external disturbance，we study on the distributional solution of the system.Secondly，combining with the theory about impulse controllability of infnite-dimensional regular descriptor system with fnite order，we give the defnition of disturbance impulse observability of infnite-dimensional regular descriptor system with fnite order.Finally，necessary and suffcient conditions for the disturbance impulse observability of the system are obtained，and through the establishment of the dual system，we get the analysis results of the original system and its dual system of between about disturbance impulsive controllability observability contact.The result plays a very important role in later research about infnite-dimensional regular descriptor system.

Infnite-dimensional regular descriptor system；Impulse observability；Disturbance impulse observability

10.19335/j.cnki.2095-6649.2016.07.007

XIA Enhui.Disturbance Impulse Observability of Infnite-dimensional Regular Descriptor System with Finite Order［J］.The Journal of New Industrialization，2016，6（7）：40-45.