Duffing振子檢測微弱正弦信號的新方法

彭祖亞代登敏范 玫1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院；.四川省雅安市雅安中學(xué)彭祖亞（199-）女，漢族，四川省達(dá)州人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，華中師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語六級，職稱：中學(xué)二級；代登敏（199-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，東北師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級，職稱：中學(xué)二級；范玫（1989-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，西華師范大學(xué)理學(xué)碩士，范玫，年齡：7，性別：女，最高學(xué)歷：碩士，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級，職稱：中學(xué)二級。

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Duffing振子檢測微弱正弦信號的新方法

彭祖亞1，2代登敏2范 玫2
1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院；2.四川省雅安市雅安中學(xué)
彭祖亞（1992-）女，漢族，四川省達(dá)州人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，華中師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語六級，職稱：中學(xué)二級；代登敏（1992-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，東北師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級，職稱：中學(xué)二級；范玫（1989-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，西華師范大學(xué)理學(xué)碩士，范玫，年齡：27，性別：女，最高學(xué)歷：碩士，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級，職稱：中學(xué)二級。

本文針對Duffing振子檢測微弱正弦信號時，振子系統(tǒng)相變判別困難、計(jì)算機(jī)難以自動識別的難題，提出一種簡單、利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的相變判別方法，并在此基礎(chǔ)上提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號的新方法。在微弱信號檢測行業(yè)起到一定的借鑒作用。

如付諸現(xiàn)實(shí)將有利于微弱信號檢測的發(fā)展，在自動化、通信、機(jī)械工程等領(lǐng)域均能產(chǎn)生較好的經(jīng)濟(jì)效益。

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針對Duffing振子檢測微弱正弦信號時，振子系統(tǒng)相變判別困難、計(jì)算機(jī)難以自動識別的難題，提出一種簡單、利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的相變判別方法，并根據(jù)逆向相變（由大周期狀態(tài)躍遷到混沌狀態(tài)）和振子陣列的原理提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號的新方法，仿真分析表明，該方法對系統(tǒng)相變的判別準(zhǔn)確，對微弱正弦信號檢測能力強(qiáng)，具有工程應(yīng)用潛力。

微弱正弦信號檢測在信號檢測領(lǐng)域具有重要地位，在自動化、通信、機(jī)械工程等許多研究領(lǐng)域，常常需要判斷微弱正弦信號是否發(fā)生，而在環(huán)境噪聲較大的情況下，微弱正弦信號通常淹沒在噪聲中，傳統(tǒng)的線性濾波方法無法有效檢測出微弱正弦信號。

Duffing振子作為目前微弱信號檢測領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，其具有對微弱正弦信號極其敏感而對噪聲有較強(qiáng)免疫能力的特性，相比常規(guī)方法的信噪比門限只達(dá)到-10dB，Duffing振子能夠檢測到信噪比達(dá)-111.46dB的微弱正弦信號，其對微弱正弦信號的檢測具有廣闊的前景。

Duffing振子是根據(jù)輸入待檢測信號后系統(tǒng)是否發(fā)生相變判斷微弱正弦信號是否存在，確定系統(tǒng)發(fā)生相變的方法主要有李亞普諾夫指數(shù)法、分維數(shù)法、分形理論分析法等數(shù)值分析方法和相軌跡直接觀察法，相比數(shù)值分析方法復(fù)雜、計(jì)算量大，相軌跡直接觀察法較為常用且相對簡單，但不利于計(jì)算機(jī)的自動判別。

為此，本文根據(jù)Duffing振子相軌跡演化規(guī)律提出一種有利于計(jì)算機(jī)自動判別的Duffing振子相變判別方法，在此基礎(chǔ)上提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號的新方法，并通過數(shù)值仿真分析驗(yàn)證了該方法的可行性和正確性。

Duffing振子檢測微弱正弦信號原理

Duffing振子是一種典型的混沌系統(tǒng)，其方程為：

圖1 混沌狀態(tài)與大周期狀態(tài)相軌跡圖

圖2 相位角示意圖

Duffing振子對正弦形式的策動力異常敏感，隨策動力幅值F的增加表現(xiàn)出不同的運(yùn)動學(xué)特性。當(dāng)策動力幅值F小于閾值Fk時，振子處于混沌狀態(tài)，相軌跡局限在一定范圍內(nèi)，并在焦點(diǎn)（±1，0）和鞍點(diǎn)（0，0）之間來回躍遷振蕩；略微增大幅值F使之大于或等于Fk，則振子躍遷到大周期狀態(tài)，相軌跡在外軌道上穩(wěn)定運(yùn)動?；煦鐮顟B(tài)和大周期狀態(tài)相軌跡分別如圖1（a）、圖1（b）所示。

目前，Duffing振子檢測微弱信號主要是基于系統(tǒng)相變判斷待檢測信號中有無微弱正弦信號，包括正向相變（從混沌狀態(tài)躍遷到大周期狀態(tài)）和逆向相變（從大周期狀態(tài)躍遷到混沌狀態(tài)）兩種檢測方法。根據(jù)文獻(xiàn)的研究，相比正向相變，逆向相變對微弱正弦信號具有更為穩(wěn)健的敏感性。逆向相變檢測微弱信號方法如下：首先設(shè)置策動力幅值為Fk，使振子進(jìn)入大周期狀態(tài)；然后將待檢測信號加入振子策動力項(xiàng)，若待檢測信號中有微弱正弦信號，且其相位與策動力相位滿足一定關(guān)系，使得疊加后的策動力幅值小于Fk，則振子逆向躍遷到混沌狀態(tài)，根據(jù)加入待檢測信號后振子是否發(fā)生相變判斷待檢測信號中有無微弱正弦信號。

系統(tǒng)相變判別方法

相變的準(zhǔn)確判別是微弱正弦信號檢測的關(guān)鍵，利用相軌跡變化判別相變的方法形象直觀，但不利于計(jì)算機(jī)自動判別，本文提出一種基于相位角周期的相變判別方法。

以相圖鞍點(diǎn)O（0，0）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，取相軌跡上的任意點(diǎn)A，定義鞍點(diǎn)O與點(diǎn)A的連線OA與橫坐標(biāo)軸正方向夾角為相位角θ，則相位角，相位角示意圖如圖2所示。由于相軌跡上任意點(diǎn)都有與之對應(yīng)的相位角，相位角與相軌跡同步演化，因此可以利用相位角定量描述相軌跡。

如圖2所示，在演化過程中，相軌跡每穿過一次坐標(biāo)軸θ=π（或θ= -π），相位角發(fā)生一次跳躍，定義相鄰兩次跳躍之間的時間一個周期。大周期狀態(tài)下，振子主要受策動力頻率影響，相軌跡圍繞鞍點(diǎn)演化的周期與策動力周期相等。由于相位角與相軌跡具有同步演化的特點(diǎn)，因此，大周期狀態(tài)下相位角周期與策動力周期相等。而混沌狀態(tài)下，振子主要受非線性振子的本征頻率影響，相軌跡演化的周期不穩(wěn)定，相位角周期不等于策動力周期。因此，相位角周期可以作為相變的判別依據(jù)。

圖3 微弱正弦信號檢測流程圖

檢測方法

在實(shí)際應(yīng)用中，待檢測信號中的微弱正弦信號相位是未知的，單一振子的策動力相位與微弱正弦信號相位可能不滿足相變的條件，因此采用振子陣列的方法進(jìn)行微弱正弦信號檢測，振子陣列模型為：

式中：i=0，1，2???N；N為角度平分?jǐn)?shù)，一般N≥3

基于上述研究，本文提出一種基于Duffing振子的微弱正弦信號檢測方法，步驟如下：（1）調(diào)整策動力幅值為Fk，使振子陣列進(jìn)入大周期狀態(tài)；（2）在策動力項(xiàng)中加入采集的待檢測信號，并計(jì)算陣列中各振子演化過程中相位角周期T。若存在振子相位角周期T不等于策動力周期T0，則檢測到微弱正弦信號；若所有振子相位角周期T均與策動力周期T0相等，則繼續(xù)搜索微弱正弦信號。微弱正弦信號檢測流程如圖3所示。

檢測方法性能仿真分析

應(yīng)用MATLAB的Simulink模塊對該檢測方法的性能進(jìn)行仿真分析。設(shè)定k=0.4，ω=2πrad/s（即系統(tǒng)策動力周期為0.4s），仿真開始時刻在策動力項(xiàng)中輸入功率為0.001w的高斯白噪聲，調(diào)節(jié)策動力幅值使系統(tǒng)進(jìn)入大周期狀態(tài)。在t=4s時刻分別在策動力項(xiàng)中輸入幅值為0.01、0.001、0.0001及0.00001的微弱正弦信號，為簡化仿真分析，設(shè)定各微弱正弦信號相位與策動力相位滿足相變的條件。各系統(tǒng)對應(yīng)的相位角周期演化曲線如圖4所示，圖中第11個周期為輸入待檢測信號后的第1個周期。

從圖4中可以看出，輸入微弱正弦信號前，相位角周期均穩(wěn)定為0.4s，等于策動力周期，振子均處于大周期狀態(tài)；輸入微弱正弦信號后，相位角周期均發(fā)生了改變而不等于策動力周期，振子均躍遷到了混沌狀態(tài)，即上述不同幅值的微弱正弦信號均能被檢測到，但相位角周期開始改變的時間相對于微弱正弦信號輸入的時間有一定延遲。

上述不同幅值的微弱正弦信號數(shù)值仿真統(tǒng)計(jì)如表1所示，其中信噪比，延遲周期數(shù)為從輸入微弱正弦信號到檢測到相位角周期發(fā)生改變所歷經(jīng)的周期數(shù)。

表1 不同幅值微弱正弦信號仿真分析統(tǒng)計(jì)表

圖4 相位角周期演化曲線

從表1中可以看出，當(dāng)信噪比為-73dB時，仍然能夠檢測到微弱正弦信號，說明此方法對系統(tǒng)相變的判別準(zhǔn)確，對微弱正弦信號檢測能力強(qiáng)；但隨著信噪比降低，微弱正弦信號檢測延遲的周期數(shù)增多，究其原因，這是由于Duffing振子系統(tǒng)在輸入外加攝動信號后，需要一定的時間進(jìn)行演化才能表現(xiàn)出相變，而外加攝動信號越微弱，相變所需要的時間越長。

結(jié)語

（1）Duffing振子在大周期狀態(tài)時相位角周期等于策動力周期，在混沌狀態(tài)時相位角周期不等于策動力周期，相位角周期可以作為相變判別的依據(jù)。而利用相位角周期的變化作為相變判別的依據(jù)，使得相變的判別從主觀判別變成定量判別，利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；

（2）提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號的新方法，仿真分析表明，該方法對系統(tǒng)相變的判別準(zhǔn)確，對微弱正弦信號檢測能力強(qiáng)。因此，該方法具有工程應(yīng)用潛力。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.037