數(shù)學(xué)排隊(duì)論在醫(yī)院管理中的應(yīng)用

許 強(qiáng) 藺義迪 丁冰冰 宋運(yùn)娜齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院許強(qiáng)，男，本科，學(xué)生，通訊作者：宋運(yùn)娜（1978.05-）女，碩士，講師。基金項(xiàng)目：黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃面上項(xiàng)目（201611230005）　齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院教育科研項(xiàng)目（JY20141008）

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數(shù)學(xué)排隊(duì)論在醫(yī)院管理中的應(yīng)用

許 強(qiáng) 藺義迪 丁冰冰 宋運(yùn)娜
齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院
許強(qiáng)，男，本科，學(xué)生，通訊作者：宋運(yùn)娜（1978.05-）女，碩士，講師。
基金項(xiàng)目：黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃面上項(xiàng)目（201611230005）齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院教育科研項(xiàng)目（JY20141008）

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評估值120萬

appraisement

行業(yè)曲線

industry

本文從分析門診業(yè)務(wù)流程的運(yùn)行規(guī)律入手，探尋流程需要再造的環(huán)節(jié)點(diǎn)，為門診資源的優(yōu)化配置和流程再造提供科學(xué)依據(jù)，同時(shí)證明采用排隊(duì)論方法的合理性和可行性。采用排隊(duì)論的理論與方法，通過隨機(jī)測量齊齊哈爾市某醫(yī)院的門診掛號、各科室服務(wù)節(jié)點(diǎn)的服務(wù)時(shí)間及急診處理各類突發(fā)情況的平均時(shí)間，運(yùn)用MATLAB計(jì)算各節(jié)點(diǎn)服務(wù)強(qiáng)度、平均排隊(duì)長、平均排隊(duì)時(shí)間、平均逗留時(shí)間、服務(wù)臺空閑概率和顧客到達(dá)后需要等待的概率等運(yùn)行指標(biāo)，推算合理的門診、急診規(guī)模，并模擬計(jì)算患者等待成本和醫(yī)院服務(wù)成本之和的最優(yōu)值。

我國人口數(shù)量巨大，而據(jù)衛(wèi)計(jì)委2015年5月份的統(tǒng)計(jì)，目前全國醫(yī)院2.6萬個(gè)，基層醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)92.2萬個(gè)，專業(yè)公共衛(wèi)生機(jī)構(gòu)3.5萬個(gè)，其他機(jī)構(gòu)0.3萬個(gè)。在我國，醫(yī)院門診部工作量大，一般常見病、多發(fā)病患者主要在門診部就診?；颊叩牡竭_(dá)及接受就診服務(wù)均受到許多種因素的影響，出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象是不可避免的。以下將對醫(yī)院門診排隊(duì)現(xiàn)象進(jìn)行全面的分析，給出排隊(duì)論系統(tǒng)的主要指標(biāo)，為醫(yī)院門診部的質(zhì)量評估、科學(xué)化的管理、縮短患者排隊(duì)時(shí)間和就診時(shí)間提供科學(xué)依據(jù)。

模型建立

排隊(duì)論模型（ queuing theory model） 是利用數(shù)學(xué)方法定量地對一個(gè)客觀復(fù)雜的排隊(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與行為進(jìn)行動(dòng)態(tài)的模擬，從而對排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律進(jìn)行科學(xué)準(zhǔn)確地描述。

模型建立與求解

門診：

就診：

急診：

建立過程

由于我們的處理數(shù)據(jù)的工具有限，不能嚴(yán)格按照排隊(duì)論的處理方法來解決問題，所以，我們將模型簡化成掛號，就診和急診三個(gè)階段分別計(jì)算隊(duì)長及等待時(shí)間，然后將掛號與就診的平均時(shí)間相加即為某位患者的就診所用平均時(shí)間。而急診中根據(jù)患者的患病嚴(yán)重情況分為4類（前面已明確指出分類依據(jù)），根據(jù)醫(yī)生每時(shí)間段內(nèi)處理患者的人數(shù)以及不同類型患者的到達(dá)概率來計(jì)算平均隊(duì)長和平均等待時(shí)間。

門診掛號：第j時(shí)間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)為第j-1時(shí)間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)加上第j時(shí)間段內(nèi)來就診的人數(shù)，減去此時(shí)間段內(nèi)可以處理的掛號人數(shù)，即單位時(shí)間與單位時(shí)間內(nèi)可處理的掛號人數(shù)的比值。

門診就診：第j時(shí)間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)為第j-1時(shí)間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)加上第j時(shí)間段內(nèi)掛號人數(shù)中掛i科室的人數(shù)，減去在此時(shí)間段內(nèi)醫(yī)生可處理的人數(shù)即單位時(shí)間與單位時(shí)間內(nèi)醫(yī)生可處理的平均患者人數(shù)的比值。

急診：第j時(shí)間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)為第j-1時(shí)間段內(nèi)的排隊(duì)人數(shù)加上第j時(shí)間段內(nèi)來就診的患者人數(shù)中為i類患者的人數(shù)，減去在此時(shí)間段內(nèi)醫(yī)生可處理的人數(shù)即單位時(shí)間與單位時(shí)間內(nèi)醫(yī)生可處理的平均患者人數(shù)的比值。

模型模擬

數(shù)據(jù)調(diào)查

首先，我們調(diào)取了齊齊哈爾當(dāng)?shù)匾患裔t(yī)院的數(shù)據(jù)，出于醫(yī)院的要求，我們對這家醫(yī)院的名稱，地址保密。數(shù)據(jù)均為進(jìn)來三十天內(nèi)的產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，對近期醫(yī)院運(yùn)行狀態(tài)的描述有一定的意義。這家醫(yī)院把自己的科室分為內(nèi)科、外科、婦科、兒科、中醫(yī)、五官、精神五官分院這七個(gè)科室，本次研究只研究這七個(gè)主要科室，各大科室的分科室不在本次的研究范圍。我們將在后續(xù)的研究中對這些科室進(jìn)行補(bǔ)足，同時(shí)這家醫(yī)院的收銀臺基本不存在排隊(duì)現(xiàn)象，故無法提供數(shù)據(jù)，所以我們本次不對醫(yī)院收費(fèi)的排隊(duì)情況進(jìn)行分析。

我們根據(jù)我們的需求，設(shè)計(jì)了調(diào)查問卷，主要為了獲得以下幾方面數(shù)據(jù)，問卷原稿見附錄一。

1.調(diào)查醫(yī)院的基本情況（工作時(shí)間、醫(yī)院分診臺數(shù)量、掛號窗口數(shù)量）。

2.最近三十天工作時(shí)間段內(nèi)，每半個(gè)小時(shí)所到的患者總數(shù)。

3.完成一個(gè)掛號以及各科室診斷一個(gè)患者所需的時(shí)間。

4.前往各個(gè)科室的患者占總患者數(shù)的比例。

5.最近三十天內(nèi)，每個(gè)小時(shí)到達(dá)的急診患者總數(shù)。

6.到達(dá)的急診患者中，四類患者的比例以及救治這四類患者所需的時(shí)間。

根據(jù)得到的數(shù)據(jù)我們設(shè)計(jì)并實(shí)施了以下實(shí)驗(yàn)。

數(shù)據(jù)處理

根據(jù)我們得到的第二方面和第五方面的數(shù)據(jù)，我們決定對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出數(shù)據(jù)內(nèi)在聯(lián)系。本次實(shí)驗(yàn)使用的主要數(shù)學(xué)軟件為Matlab，版本型號為7.0。我們首先使用了Matlab中的擬合工具箱Curve Fitting Tool對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，我們嘗試了工具箱內(nèi)所有的擬合方式，都無法將擬合數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的方差降低到1一下，但是，我們發(fā)現(xiàn)在使用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時(shí)，隨著方程的階數(shù)逐漸上升，真實(shí)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的方差在下降，但受制于擬合工具箱Curve Fitting Tool的擬合階數(shù)只有九階，擬合數(shù)據(jù)無法滿足我們的要求，所以我們決定不使用擬合工具箱Curve Fitting Tool，使用Matlab內(nèi)置的polyfit命令進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。得到了方差比較小的數(shù)據(jù)表達(dá)式。代碼見附錄二。

門診患者的數(shù)據(jù)表達(dá)式為一十三階的函數(shù)，x的有效取值范圍為1-14，x代表的是工作時(shí)間內(nèi)的第x時(shí)間段。方程的形式如下。

繪制的圖像如圖1所示。

根據(jù)這個(gè)表達(dá)式得到的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差為7.718e-014，這個(gè)完全符合我們對擬合數(shù)據(jù)的要求。繪制出來的圖像也與原數(shù)據(jù)幾乎沒有分別，故在之后對門診的實(shí)驗(yàn)中我們采用了此表達(dá)式。

對于急診的數(shù)據(jù)擬合我們依舊實(shí)驗(yàn)了擬合工具箱，效果還是不理想，于是，我們繼續(xù)采用了polyfit命令進(jìn)行擬合，同時(shí)我們提高了我們的擬合階數(shù)，最后在二十階找到了擬合度最好的表達(dá)式。

繪制的圖像見圖2。

根據(jù)這個(gè)表達(dá)式得到的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差為0.19868，這個(gè)方差比較符合我們對擬合數(shù)據(jù)的要求。繪制出來的圖像也與原數(shù)據(jù)存在差別，但是差別在可控范圍之內(nèi)，

故在之后對門診的實(shí)驗(yàn)中我們采用了此表達(dá)式。

圖1 門診數(shù)據(jù)擬合圖像

圖2 急診數(shù)據(jù)擬合圖像

模擬實(shí)驗(yàn)——對于醫(yī)院掛號排隊(duì)的模擬實(shí)驗(yàn)

這家醫(yī)院有多個(gè)掛號窗口，但是掛號所需的平均時(shí)間相同，所以可以將這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)定義為只有一個(gè)單服務(wù)臺的排隊(duì)模型，采取的服務(wù)方式為先到先服務(wù)方式。根據(jù)門診擬合方程，我們醫(yī)院一個(gè)工作日進(jìn)行了模擬。如表1所示。

表1

表1的左側(cè)的一到十四代表一個(gè)工作日的工作時(shí)間段，每半個(gè)小時(shí)一段，右側(cè)可以是模擬出來的排隊(duì)等待人數(shù)，所有數(shù)據(jù)均為負(fù)值，而且圖六的方程表示出時(shí)間越長，等待人數(shù)的絕對值也就越大。這表明患者在到這家醫(yī)院進(jìn)行掛號時(shí)基本不需要等待，這與我們開始掌握的醫(yī)院平時(shí)門診患者較少的信息相符，模擬成功。由于所有的值均為負(fù)值，所以平均隊(duì)長，平均等待時(shí)間是沒有意義的。也不存在著絕對忙期（工作任務(wù)超過工作能力），所以忙期的意義不大。模擬代碼見附錄二。

圖3 掛號等待人數(shù)

圖4 就診等待人數(shù)

對于醫(yī)院就診排隊(duì)的模擬實(shí)驗(yàn)

這家醫(yī)院一共有八個(gè)大科室群，分為內(nèi)科、外科、婦科、兒科、中醫(yī)、耳鼻喉、口腔、精神分院，每個(gè)科室群內(nèi)的平均就診時(shí)間接近相同，所以這個(gè)模型應(yīng)該是一個(gè)有八個(gè)服務(wù)臺的排隊(duì)系統(tǒng)，采取的服務(wù)方式應(yīng)為先到先服務(wù)，根據(jù)門診的擬合表達(dá)式，我們對這家醫(yī)院的一個(gè)工作日內(nèi)工作時(shí)間段進(jìn)行擬合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2、圖4。

表2

醫(yī)院門診掛號排隊(duì)結(jié)果

表2的左側(cè)的一到十四代表一個(gè)工作日的工作時(shí)間段，每半個(gè)小時(shí)一段，上邊的一到八是科室的編號，模擬的所有數(shù)據(jù)也均為負(fù)值，而且圖4的方程表示出時(shí)間越長，等待人數(shù)的絕對值也就越大。這表明患者在到這家醫(yī)院進(jìn)行掛號時(shí)基本不需要等待，這與我們開始掌握的醫(yī)院平時(shí)門診患者較少的信息相符，模擬成功。由于所有的值均為負(fù)值，所以平均隊(duì)長，平均等待時(shí)間是沒有意義的。但是每條線的傾斜程度不一樣，所以每個(gè)科室的剩余情況也不同。也不存在著絕對忙期（工作任務(wù)超過工作能力），所以忙期的意義不大。模擬代碼見附錄二。

圖5 就診等待人數(shù)

對于醫(yī)院急診排隊(duì)情況的模擬

急診的處理方法不同于門診，他采取的方式為先治療，同時(shí)或后掛號，而且急診患者分為四個(gè)級別，第一級別是需要馬上急救醫(yī)療，否則就會出現(xiàn)生命危險(xiǎn)，第二級別是需要盡快給予急救措施，第三級別就是在一定時(shí)間內(nèi)給予急救措施，第四級別，需要較少的急救措施，這就涉及了服務(wù)方式的變化，但是，我們研究發(fā)現(xiàn)，醫(yī)院這四類病人是并行處理的，醫(yī)生有權(quán)決定先對那個(gè)患者進(jìn)施救。所以我們也可以得出一組數(shù)據(jù)，就是醫(yī)院每小時(shí)可以處理的各類患者的個(gè)數(shù)；同時(shí)醫(yī)院每天各類急診患者的比例是已知的。所以，我們綜合前兩個(gè)模型，結(jié)合擬合數(shù)據(jù)，建立了第三個(gè)模型，并對醫(yī)院一個(gè)工作日內(nèi)的急救患者進(jìn)行了模擬。如表3、表4、圖5所示。

醫(yī)院急診排隊(duì)情況的結(jié)果

表3、表4中一到二十三代表的二十三個(gè)時(shí)間段，橫向一到四代表一到四類患者。根據(jù)表3、表4是同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次不同處理之后得到的，我們在計(jì)算出表3之后，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，由于我們采用的算法是加法，所以在計(jì)算數(shù)據(jù)是可能會出現(xiàn)累加的現(xiàn)象，而如果累加的數(shù)過大，可能還掩蓋后面的絕對忙期，為了避免這種情況的發(fā)生，我們對算法進(jìn)行了改進(jìn)，加入了判斷機(jī)制，當(dāng)模擬數(shù)值小于等于零時(shí)，算法會給其自動(dòng)賦予隊(duì)長為零，這樣再次進(jìn)行了計(jì)算，得到表4這樣的計(jì)算結(jié)果。事實(shí)證明，我們的發(fā)現(xiàn)的問題在這里是不存在的。之后對數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，急診也不存在著排隊(duì)現(xiàn)象的，這對于急診患者來講是一個(gè)絕對的好消息。圖5可以根據(jù)傾斜程度，判斷平時(shí)急診的過剩程度。但是圖像數(shù)據(jù)本身為模擬數(shù)據(jù)，我們不對數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析。

結(jié)語

本文針對齊齊哈爾市某醫(yī)院門診問題，以排隊(duì)論為理論基礎(chǔ)，建立了合理設(shè)置門診等就診流程的數(shù)學(xué)模型。模型綜合了病人和醫(yī)院兩方面的利益，與實(shí)際緊密結(jié)合，具有現(xiàn)實(shí)可操作性。

對醫(yī)院門診進(jìn)行合理規(guī)劃，有效減少患者的排隊(duì)等待時(shí)間，提高醫(yī)療工作效率，具有重要的理論和實(shí)際意義。上述的案例中提出了齊齊哈爾市某醫(yī)院門診排隊(duì)合理安排的評價(jià)和優(yōu)化問題。

表3

現(xiàn)象原因

我們的調(diào)查與收集數(shù)據(jù)的時(shí)間在今年（2016年）的3月份，而此時(shí)正是節(jié)假日剛剛結(jié)束，可能有一部分疾病都在節(jié)假日已經(jīng)進(jìn)行了門診，而且正是市民剛剛上班，剛剛開學(xué)的時(shí)間，相對于平時(shí)，比較忙，我們調(diào)查的地區(qū)是市周邊的醫(yī)院，存在人流量比一般的醫(yī)院，患者的數(shù)量要少，這也就可能造成數(shù)據(jù)結(jié)果顯示齊齊哈爾市這家醫(yī)院門診和急診過剩的原因。

表4

建議

一個(gè)好的醫(yī)院系統(tǒng)要得以實(shí)施運(yùn)用，由結(jié)論可知，齊齊哈爾市某醫(yī)院的門診充足，而急診也充足甚至過剩，因此建議從醫(yī)務(wù)資源分配上進(jìn)行解決問題。醫(yī)院應(yīng)加強(qiáng)以下幾點(diǎn)。

從醫(yī)生角度來說，白天的門診充足，可以將部分門診醫(yī)生更加耐心診療，把服務(wù)做到最好，讓患者滿意，減少醫(yī)患糾紛，為醫(yī)院的人文做好宣傳，這樣就可以解決門診人少。

從門診的角度，可以減少門診的面積，用于住院部，進(jìn)行醫(yī)療資源的合理分配。

從急診的角度，可以有更多的時(shí)間照顧急診病人，預(yù)防病人突發(fā)緊急情況。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.031