經(jīng)典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的非線(xiàn)性波解

溫振庶（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

經(jīng)典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的非線(xiàn)性波解

溫振庶
（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

利用（G′／G）－展開(kāi)法，構(gòu)造經(jīng)典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的新的非線(xiàn)性波解.這些非線(xiàn)性波解分別以雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和分式函數(shù)的形式表達(dá).結(jié)果表明：（G′／G）－展開(kāi)法是研究數(shù)學(xué)物理方程的非線(xiàn)性波解的一種有效工具.

Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程；（G′／G）－展開(kāi)法；非線(xiàn)性波解；顯式表達(dá)式

數(shù)學(xué)物理方程的解有助于加深對(duì)其所描述的自然現(xiàn)象或過(guò)程的理解和認(rèn)識(shí).因此，尋找數(shù)學(xué)物理方程的非線(xiàn)性波解是數(shù)學(xué)物理工作者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.

經(jīng)典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson（DSW）方程

被引入后，它及其變體得到了人們的廣泛關(guān)注［1－7］.式（1）中：p，q，r，s都是非零常數(shù).

Hirota等［1］給出了DSW方程（1）的一種特殊形式的孤子結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)［4－6］分別用代數(shù)方法、改進(jìn)的廣義Jacobi橢圓函數(shù)方法和改進(jìn)的F－展開(kāi)法找到了方程（2）的一些精確行波解.對(duì)于DSW方程（1），文獻(xiàn)［2－3］分別利用直接的代數(shù)方法獲得了一些精確行波解.此外，Wen等［7］利用微分方程定性理論和動(dòng)力系統(tǒng)分支方法［7－17］給出了DSW方程（1）的30個(gè)精確行波解.前面的工作已找到了一部分解，但新的解仍有待發(fā)現(xiàn).本文利用（G′／G）－展開(kāi)法［18－19］研究DSW方程（1）的非線(xiàn)性波解，得到了一些新的解.

1 用（G′／G）?展開(kāi)法求解DSW方程（1）

對(duì)方程（1）進(jìn)行替換，u（x，t）＝u（ξ），v（x，t）＝v（ξ），ξ＝x－ct，可得

假定u（ξ）和v（ξ）可以展開(kāi)成關(guān)于（G′／G）的多項(xiàng)式，即

式（4），（5）中：a0，a1，…，am和b0，b1，…，bn是待確定的常數(shù)，且G＝G（ξ）滿(mǎn)足二階常微分方程

式（6）中：λ和μ是常數(shù).

利用u′與vv′，以及u′v，uv′與v之間的齊次平衡，得到m＝2，n＝1.式（4），（5）可以表示為

把式（7），（8）代入方程（3）中，可得

令式（9），（10）中，（G′／G）k（k＝0，1，2，3，4）的系數(shù)為零，得到

為方便起見(jiàn)，令θ＝c（r＋2s）－q（λ2（r＋s）－2μ（r＋2s）），則方程組（11）的解為

或把式（12），（13）分別代入式（7），（8），得到方程（1）的一般形式的解，即

2 DSW方程（1）的非線(xiàn)性波解

定理1 方程（1）有如下形式的顯式非線(xiàn)性波解.1）當(dāng)λ2－4μ＝0時(shí)，有

2）當(dāng)λ2－4μ＞0時(shí)，有

3）當(dāng)λ2－4μ＜0時(shí)，有

式（15）～（17）中：c1和c2是任意常數(shù).

證明 根據(jù)常微分方程理論，易得方程（6）的解.

1）當(dāng)λ2－4μ＝0時(shí)，有

2）當(dāng)λ2－4μ＞0時(shí)，有

3）當(dāng)λ2－4μ＜0時(shí)，有

將式（18）～（20）分別代入方程（14），即得到非線(xiàn)性波解（15）～（17）.證畢.

3 結(jié)束語(yǔ)

利用（G′／G）－展開(kāi)法，構(gòu)造了經(jīng)典的Drinfel′d－Sokolov－Wilson方程的新的非線(xiàn)性波解.這些非線(xiàn)性波解具有豐富的結(jié)構(gòu)，分別以雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和分式函數(shù)的形式給出.此外，當(dāng)參數(shù)取一些特殊的值時(shí)，這些非線(xiàn)性波解展現(xiàn)出不同類(lèi)型的波形，包括孤立波、奇異波、周期奇異波等.

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（責(zé)任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

Nonlinear Wave Solutions for the Classical Drinfel′d－Sokolov－Wilson Equation

WEN Zhenshu
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

We constructed new nonlinear wave solutions for the classical Drinfel′d－Sokolov－Wilson Equation by exploiting（G′／G）－expansion method.These nonlinear wave solutions are expressed in the forms of the hyperbolic functions，the trigonometric functions and the rational functions.The results show that（G′／G）－expansion method is an efficient tool for studying nonlinear wave solutions of mathematical physics equations.

Drinfel′d－Sokolov－Wilson equation；（G′／G）－expansion method；nonlinear wave solutions；explicit expressions

O 175.29

A

1000－5013（2016）04－0519－04

10.11830／ISSN.1000－5013.201604026

2016－03－16

溫振庶（1984－），男，副教授，博士，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的研究.E－mail：wenzhenshu＠hqu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61573004，11401230）；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015J05008）；福建省教育廳科技項(xiàng)目（JA14023）