兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻發(fā)電性能

劉祥建，朱莉婭，陳仁文

(1.金陵科技學院 機電工程學院，江蘇 南京 211169；2.南京師范大學 江蘇省三維打印裝備與制造重點實驗室，江蘇 南京 210042；3.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

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兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻發(fā)電性能

劉祥建1*，朱莉婭2，陳仁文3

(1.金陵科技學院 機電工程學院，江蘇 南京 211169；2.南京師范大學 江蘇省三維打印裝備與制造重點實驗室，江蘇 南京 210042；3.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

研究一種兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置，以提高懸臂梁式壓電發(fā)電裝置在環(huán)境振源振動頻率波動情況下的發(fā)電能力。建立了兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的頻率特性理論模型，并對該理論模型進行了有限元仿真驗證，結果顯示理論計算與有限元仿真結果基本一致。對兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的頻率特性模型進行了數(shù)值模擬，模擬顯示：裝置的前兩階模態(tài)頻率比隨著長度比、寬度比、厚度比及質量塊的質量比的增大均出現(xiàn)一個最小值，且在長度比為0.8，寬度比為2.0，厚度比為1.0，質量塊的質量比為0.5時，裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小，結果表明通過合理設計兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的結構參數(shù)，可以使得裝置的前兩階模態(tài)頻率最接近。最后，實例設計了兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置，并進行了試驗測試，證實了優(yōu)化后的兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置具有寬頻帶發(fā)電能力。

壓電發(fā)電裝置；兩自由度懸臂梁；寬頻帶；頻率特性

1　引　言

近年來，隨著電子技術和網(wǎng)絡信息技術的飛速發(fā)展，無線傳感器網(wǎng)絡在智能交通、環(huán)境監(jiān)控及航空航天等領域的應用日益廣泛。微電子技術及微細加工技術的快速發(fā)展，大大降低了無線傳感器節(jié)點的能耗，目前的無線傳感器節(jié)點可以微瓦級平均功率工作。但是化學電池供能過程中使用壽命有限，電池廢棄物易造成環(huán)境污染，這對于野外及不方便更換電池場合中的無線傳感器節(jié)點，限制了其推廣應用。振動發(fā)電技術作為一種新型能源方式，得到了進一步發(fā)展及其實際應用。目前，用于振動發(fā)電的方式主要有壓電式[1-12]、電磁式[13-14]和靜電式[15-16]，其中，壓電式振動發(fā)電裝置以其易于微型化、無污染及容易實施等優(yōu)點而成為研究熱點。

隨著對壓電式振動發(fā)電技術研究的展開和深入，出現(xiàn)了各種壓電振動發(fā)電裝置。2004年，Kim等人研究了Cymbal型壓電振動發(fā)電裝置[5]，通過優(yōu)化設計，可以獲得39 mW的輸出功率；2005年，Roundy等人建立了單懸臂梁壓電發(fā)電裝置發(fā)電理論模型[3]，并對其發(fā)電性能進行了分析；2006年，Shahruz研究了懸臂梁陣列式壓電振動發(fā)電裝置[4]，研究表明，通過合理的結構參數(shù)設計，可以達到拓寬裝置頻帶的目的；2009年，Erturk等人研究了L型壓電振動發(fā)電裝置[6]，研究發(fā)現(xiàn)，通過合理的結構尺寸設計，可以拉近裝置的前兩階固有頻率，達到寬頻帶能量收集的目的；2014年，劉穎等人研究了一階、二階傳動低頻壓電振動發(fā)電裝置，可有效降低裝置的工作頻率，其中，二階傳動梁在1 g條件下，可以獲得10.98 Hz和44.52 Hz兩個低頻率的電壓峰值[8]。通過前述的研究可以發(fā)現(xiàn)，僅當壓電裝置的固有頻率與環(huán)境振動頻率一致時，壓電裝置才能達到最好的發(fā)電效果，而實際環(huán)境振動的頻率往往并不是固定的，因此，為提高壓電振動發(fā)電裝置在實際振動環(huán)境中的發(fā)電能力，壓電裝置還應具有一定的寬頻工作能力。

本文針對單懸臂梁壓電振動發(fā)電裝置的一階與二階模態(tài)頻率比較大的問題[17]，研究了一種兩自由度寬頻帶懸臂梁壓電發(fā)電裝置，通過合理的設計結構參數(shù)，使壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率接近，達到了拓寬頻帶的目的。

2　兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置頻率特性模型的建立

兩自由度寬頻帶懸臂梁壓電發(fā)電裝置的結構如圖1所示，該壓電振動發(fā)電裝置主要由2個壓電梁和2個質量塊進行直線連接形成。為實現(xiàn)兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻帶發(fā)電，可通過合理的設計該裝置的結構參數(shù)，使其一階和二階模態(tài)頻率接近，以實現(xiàn)在壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率間形成寬頻帶發(fā)電能力的目的。

圖1　兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電結構示意圖

為便于對兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的頻帶分析，假設壓電梁1的長度為l1，寬度為b1，壓電片厚度為tp1，金屬彈性基片厚度為tc1；壓電梁2的長度為l2，寬度為b2，壓電片厚度為tp2，金屬彈性基片厚度為tc2；質量塊1的等效質量為m1，質量塊2的等效質量為m2；壓電梁1的等效剛度為k1，壓電梁2的等效剛度為k2；Ep為壓電片彈性模量，Ec為金屬彈性基片彈性模量。

兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置中壓電梁的等效剛度與壓電梁的尺寸參數(shù)之間的關系為：

(1)

(2)

其中：E1I1和E2I2分別為兩壓電梁的截面等效剛度。

兩自由度懸臂梁自由振動時可簡化為兩自由度彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的動力學方程為：

(3)

令：

則系統(tǒng)的自由振動方程為：

(4)

由系統(tǒng)的特征方程可得：

(2k1-ω2m1)(k2-ω2m2)-k1k2=0.

(5)

系統(tǒng)的前兩階模態(tài)頻率分別為：

(6)

(7)

系統(tǒng)的前兩階模態(tài)頻率之間的關系為：

(8)

可知，兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率與裝置的尺寸及質量塊的取值有關，通過合理的設計裝置的結構參數(shù)，使得裝置的前兩階模態(tài)頻率最大限度的接近，從而起到頻帶拓寬的目的。

3　理論模型驗證與數(shù)值模擬

3.1理論模型驗證

為驗證上述理論模型能否正確反映壓電振動發(fā)電裝置的頻率特性，利用Ansys軟件建立了兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的有限元仿真模型。有限元建模中，壓電陶瓷材料選用PZT-5H，金屬彈性基片材料選用鈹青銅，質量塊材料選用鋼，相應的材料性能參數(shù)如表1所示。

表1　壓電發(fā)電裝置材料性能參數(shù)

另外，有限元模型中壓電梁1和壓電梁2的尺寸均相同，且其長度為30 mm，寬度為8 mm，壓電陶瓷片厚度為0.4 mm，鈹青銅厚度為0.6 mm；質量塊1和質量塊2的質量均為6.0 g。有限元仿真模型如圖2所示。

圖2　有限元仿真模型

根據(jù)上述有限元仿真模型，仿真得到兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的一階模態(tài)頻率為131.06 Hz，二階模態(tài)頻率為346.61 Hz。根據(jù)前述理論模型，計算得到裝置的一階模態(tài)頻率為125.87 Hz，二階模態(tài)頻率為329.54 Hz?？梢钥闯?，理論計算結果與有限元仿真結果基本一致，驗證了理論模型的可行性。

3.2數(shù)值模擬分析

為了直觀的說明兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置前兩階模態(tài)頻率的比值與裝置結構參數(shù)之間的影響關系，對前述理論模型進行了數(shù)值模擬分析。

圖3所示為僅改變裝置中壓電梁1與壓電梁2的長度比，其它參數(shù)保持不變的情況下，裝置的前兩階模態(tài)頻率的變化情況。顯然，隨著長度比的增大，裝置的一階模態(tài)頻率和二階模態(tài)頻率不斷減小，但是二階模態(tài)頻率的減小速度明顯較快，且在長度比約為0.8時，裝置的前兩階模態(tài)頻率最接近。通過合理的優(yōu)化裝置的結構參數(shù)，可以使得裝置的前兩階模態(tài)頻率之間的距離最小，這樣，就容易形成寬頻帶的能量收集。

圖3　頻率與長度比關系曲線

圖4所示為兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率比與壓電梁1和壓電梁2的長度比的關系曲線，隨著長度比的增大，裝置的前兩階模態(tài)頻率比先減小后增大，即存在一個最小值，且在長度比近似為0.8時，裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小。說明在兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻帶設計中，只要合理的設計壓電梁1與壓電梁2的長度比，即可使得裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小，達到拓寬裝置的工作頻帶的目的。

圖4　頻率比與長度比關系曲線

圖5所示為兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率比與寬度比的關系曲線，在數(shù)值模擬中，僅改變裝置中壓電梁1與壓電梁2的寬度比，其它參數(shù)保持不變。當寬度比近似為2.0時，裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小。這說明，在兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻帶設計中，寬度比也是影響其頻帶寬度的一個重要因素。

圖5　頻率比與寬度比關系曲線

圖6所示為兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率比隨著壓電梁中金屬彈性基片與壓電陶瓷片厚度比的關系曲線，其中，在厚度比的變化過程中，裝置的其它結構參數(shù)保持不變。隨著厚度比的增大，裝置的前兩階模態(tài)頻率比先減小后增大，且在厚度比為1.0時，裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小。由此可見，為獲得兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻帶能量收集，對于金屬彈性基片與壓電陶瓷片的厚度也應進行合理設計。

圖6　頻率比與厚度比關系曲線

圖7所示為兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率比隨著質量塊的質量比的變化關系，在質量塊1和質量塊2質量的變化中，裝置中壓電梁的各尺寸參數(shù)均保持不變。隨著兩質量塊質量比的增大，裝置的前兩階模態(tài)頻率比出現(xiàn)一個最小值，且在質量比為0.5時，裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小。由此可知，為提高兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻帶發(fā)電能力，除了合理設計壓電梁的尺寸參數(shù)之外，對于質量塊的大小也應合理選擇。

圖7　頻率比與質量塊的質量比關系曲線

4兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置幅

值響應特性分析

在兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置幅值響應特性分析中，假設質量塊2受到一豎直方向的力F0sinωt，則兩自由度壓電梁系統(tǒng)無阻尼受迫振動方程為：

(9)

由式(9)可以得到：

(10)

其中：

Δ(ω)=(2k1-ω2m1)(k2-ω2m2)-k1k2.

根據(jù)式(6)～(7)，可以得到：

(11)

(12)

聯(lián)立式(11)和(12)，可以解得壓電梁1和壓電梁2的幅值響應函數(shù)分別為：

(13)

(14)

圖8和圖9所示分別為壓電梁1和壓電梁2末端幅值響應曲線的數(shù)值模擬結果，在外界激勵頻率接近于兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率時，裝置中壓電梁1的末端幅值和壓電梁2的末端幅值分別達到最大，且裝置的前兩階模態(tài)頻率比為2.62，另外，也可看到，壓電梁2的末端幅值在裝置的一階模態(tài)頻率處明顯大于壓電梁1的末端幅值。

圖8　壓電梁1末端幅值響應

圖9　壓電梁2末端幅值響應

5　設計實例與試驗測試

5.1設計實例

通過前述兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的頻率特性理論模型及其數(shù)值模擬結果，可以得到，兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率取決于裝置的尺寸參數(shù)，且存在最優(yōu)的尺寸參數(shù)使得壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率最接近。

以前述理論分析的結果為依據(jù)，對寬頻帶的兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置進行設計?？紤]到各個尺寸參數(shù)對最優(yōu)結果的耦合影響，顯然無法直接根據(jù)以上數(shù)值模擬結果得到最優(yōu)尺寸參數(shù)，而必須綜合考慮各個尺寸參數(shù)的影響通過優(yōu)化最終確定最優(yōu)尺寸參數(shù)。為此，以壓電梁1和壓電梁2的長度l1和l2、寬度b1和b2、壓電片厚度tp1和tp2、金屬彈性基片厚度tc1和tc2、質量塊1的等效質量m1、質量塊2的等效質量m2為設計變量，以壓電發(fā)電裝置前兩階模態(tài)頻率比最小為目標，建立目標函數(shù)：

ηω=minf(l1，b1，tp1，tc1，l2，b2，tp2，tc2，m1，m2).

(15)

其中，目標函數(shù)為：

f(l1，b1，tp1，tc1，l2，b2，tp2，tc2，m1，m2)=

(16)

式中：

綜合考慮壓電發(fā)電裝置的尺寸空間要求及壓電陶瓷片材料的強度要求，同時假設壓電片彎曲變形中受到的最大拉應力為σpzt，max，材料的抗拉強度為σpzt，th，則設置約束條件為：

10 mm≤l1≤40 mm，

5 mm≤b1≤20 mm，

0.3 mm≤tp1≤1 mm，

0.3 mm≤tc1≤1.5 mm，

10 mm≤l2≤40 mm，

5 mm≤b2≤20 mm，

0.3 mm≤tp2≤1 mm，

0.3 mm≤tc2≤1.5 mm，

1 g≤m1≤15 g，

1 g≤m2≤15 g，

σpzt，max≤σpzt，th.

采用序列二次規(guī)劃法對壓電發(fā)電裝置的目標函數(shù)進行優(yōu)化，給定初始優(yōu)化參數(shù)如下：壓電梁1的長度為30 mm，寬度為8 mm，壓電片厚度為0.4 mm，金屬彈性基片厚度為0.6 mm；壓電梁2的尺寸參數(shù)與壓電梁1相同；質量塊1和質量塊2的等效質量均為6 g。經(jīng)過優(yōu)化后獲得最優(yōu)的尺寸參數(shù)如下：壓電梁1的長度為30 mm，寬度為8 mm，壓電片厚度為0.4 mm，金屬彈性基片厚度為0.4 mm；質量塊1的等效質量為6 g；壓電梁2的長度為33 mm，寬度為8.8 mm，壓電片厚度為0.4 mm，金屬彈性基片厚度為0.6 mm；質量塊2的等效質量為6 g。

在上述設計參數(shù)下，根據(jù)式(8)，經(jīng)過計算可以得到合理設計之后的兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率比為2.41，該數(shù)值明顯小于前述仿真結果。

5.2試驗測試

為進一步驗證兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的寬頻帶性能，以上述合理設計之后的兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的設計參數(shù)和仿真模型的設計參數(shù)為例，試制了壓電發(fā)電裝置，并進行頻率特性測試，試驗測試照片如圖10所示，試驗測試中各壓電陶瓷片進行電學串聯(lián)。

圖10　試驗測試照片

圖11　開路輸出電壓與頻率關系曲線

試驗測得壓電發(fā)電裝置的開路輸出電壓與頻率的關系曲線如圖11所示。可以看到，前述仿真模型的一階與二階模態(tài)頻率分別為129 Hz和334 Hz，頻率比為2.59，合理設計后壓電發(fā)電裝置的一階與二階模態(tài)頻率分別為107 Hz和248 Hz，頻率比為2.32，合理設計后壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率之間的距離明顯縮小。文獻[17]給出的單頻懸臂梁的一階與二階模態(tài)頻率比近似為6，顯然，相比較單自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置，兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置更容易在一階與二階模態(tài)頻率間形成寬頻帶的能量收集。

6　結　論

本文以一種兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置為對象，重點進行了其寬頻帶發(fā)電能力的研究。建立了兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的頻率特性模型，通過該模型可知，裝置的前兩階模態(tài)頻率與裝置的尺寸及質量塊的取值有關。同時，對該理論模型并進行了有限元仿真驗證。對兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的頻率特性模型進行了數(shù)值模擬，可以發(fā)現(xiàn)，裝置的前兩階模態(tài)頻率比隨著長度比、寬度比、厚度比及質量塊的質量比的增大均出現(xiàn)一個最小值，且在長度比為0.8，寬度比為2.0，厚度比為1.0，質量塊的質量比為0.5時，裝置的前兩階模態(tài)頻率比最小。在外界激勵頻率接近于兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置的前兩階模態(tài)頻率時，裝置中壓電梁1的末端幅值和壓電梁2的末端幅值分別達到最大，且裝置的前兩階模態(tài)頻率比為2.62，同時，壓電梁2的末端幅值在裝置的一階模態(tài)頻率處明顯大于壓電梁1的末端幅值。實例設計了兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置，并進行了試驗測試，證實了優(yōu)化后的兩自由度懸臂梁壓電發(fā)電裝置更容易在一階與二階模態(tài)頻率間形成寬頻帶的能量收集。

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劉祥建(1980-)，男，山東五蓮人，博士，副教授，2012年于南京航空航天大學獲得博士學位，主要從事振動能量收集技術方面的研究。E-mail： xiang jianliu@126.com

朱莉婭(1986-)，女，江蘇徐州人，博士，講師，2012年于南京航空航天大學獲得博士學位，主要從事振動能量收集、三維打印等方面的研究。E-mail： julia_860527@163.com

(版權所有未經(jīng)許可不得轉載)

Broadband generation performance of two-degree-of-freedom cantilever beam piezoelectric generator

LIU Xiang-jian1， ZHU Li-ya2， CHEN Ren-wen3

(1.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，JinlingInstituteofTechnology，Nanjing211169，China；2.JiangsuKeyLaboratoryof3DPrintingEquipmentandManufacturing，NanjingNormalUniversity，Nanjing210042，China;3.StateKeyLaboratoryofMechanicsandControlofMechanicalStructures，NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics，Nanjing210016，China)

*Correspondingauthor，E-mail：xiangjianliu@126.com

A two-degree-of-freedom cantilever beam piezoelectric generator was explored to improve the generation performance of the cantilever beam piezoelectric generator under the variety of the ambient vibration energy sources. The theoretical model of the frequency characteristics of the two-degree-of-freedom cantilever beam piezoelectric generator was established and finite element analysis was performed for the proposed theoretical model. The theoretical results show that the theoretical analysis and finite element simulation are in agreement well. A numerical simulation was carried out for the frequency characteristic model of the two-degree-of-freedom cantilever beam piezoelectric generator and the results show that the ratio of the 1st modal frequency to the 2nd modal frequency will be a minimum value with the increase of the length ratio, width ratio, thickness ratio and the mass ratio, and the minimum value of the ratio of the 1st modal frequency to the 2nd modal frequency can be obtained at the length ratio of 0.8, width ratio of 2.0, thickness ratio of 1.0, and the mass ratio of 0.5. The results demonstrate that the frequency-band of the two-degree-of-freedom cantilever beam piezoelectric generator is expanded by optimizing the structure parameters to reduce the distance between the 1st modal frequency and the 2nd modal frequency. Finally, the two-degree-of-freedom cantilever beam piezoelectric generator was designed and the broadband generation performance of the generator verified.

piezoelectric generator; two-degree-of-freedom cantilever beam; broadband; frequency characteristics

2016-01-28；

2016-03-04.

國家自然科學基金項目(No.51305183)；江蘇省高校自然科學研究面上項目(No.14KJB480004)；江蘇省“青藍工程”資助項目(No.2014)；金陵科技學院博士科研啟動基金項目(No.jit-b-201412)

1004-924X(2016)07-1669-08

TN384；TM619

Adoi:10.3788/OPE.20162407.1669