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    “圓心角”度數(shù):弧長計算的關(guān)鍵點

    2016-08-20 02:01:37周紅娟
    初中生世界 2016年23期
    關(guān)鍵詞:弧長對稱點圓心角

    周紅娟

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    “圓心角”度數(shù):弧長計算的關(guān)鍵點

    周紅娟

    弧長計算問題是中考必考知識點,題型不限,公式也很好記,然而解題的難點和關(guān)鍵點常常是待求弧所對的圓心角的度數(shù),因為這些“圓心角”有時不止一個,這是怎么回事呢?請看例題:

    例1(2015·蘇州)如圖1,在△ABC中,AB=AC.分別以B、C為圓心,BC長為半徑在BC下方畫弧,設(shè)兩弧交于點D,與AB、AC的延長線分別交于點E、F,連接AD、BD、CD.

    圖1

    (1)求證:AD平分∠BAC;

    (2)若BC=6,∠BAC=50°,求D(E、D(F的長度之和(結(jié)果保留π).

    【思路講解】(1)根據(jù)題意得出BD= CD=BC,由SSS證明△ABD≌△ACD,得出∠BAD=∠CAD即可.

    (2)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC= ∠ACB=65°,由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠DCB=60°,再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°,然后根據(jù)弧長公式求出的長度,即可得出結(jié)果.

    【規(guī)范解答】(1)證明:由作圖可知,BD= CD.

    ∴△ABD≌△ACD(SSS),

    ∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.

    (2)∵AB=AC,∠BAC=50°,

    ∴∠ABC=∠ACB=65°.

    又∵BD=CD=BC,

    ∴△BDC是等邊三角形,

    ∴∠DBC=∠DCB=60°,

    ∴∠DBE=∠DCF=55°.

    又∵BC=6,∴BD=CD=6,

    【反思回顧】熟練掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì),并能進(jìn)行推理計算是解決該題的關(guān)鍵.從上面的解法步驟來看,求出“∠DBE=∠DCF=55°”是重要進(jìn)展.

    例2(2015·揚州)如圖2,已知⊙O的直徑AB=12 cm,AC是⊙O的弦,過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P,連接BC.

    (1)求證:∠PCA=∠B;

    (2)已知∠P=40°,點Q在優(yōu)弧ABC上,從點A開始逆時針運動到點C停止(點Q與點C不重合),當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時,求動點Q所經(jīng)過的弧長.

    圖2

    圖3

    【思路講解】

    (1)如圖3,連接OC,由AB是⊙O的直徑和PC是⊙O的切線得到∠ACB=∠2+ ∠3=90°和∠PCO=∠1+∠3=90°,從而得到∠1=∠2.再由OC=OB,根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到∠2=∠B,進(jìn)而得到∠PCA=∠B的結(jié)論.

    (2)根據(jù)同底等高三角形面積相等的性質(zhì),分三種情況討論即可:在⊙O上作點C關(guān)于AB的對稱點Q,在⊙O上作點C關(guān)于點O的對稱點Q,在⊙O上作點C關(guān)于AB中垂線的對稱點Q.

    【規(guī)范解答】(1)證明:如圖3,連接OC,

    ∵AB是⊙O的直徑,

    ∴∠ACB=∠2+∠3=90°,

    ∵PC是⊙O的切線,∴OC⊥PC,

    ∴∠PCO=∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2,

    ∵OC=OB,∴∠2=∠B,

    ∴∠1=∠B,即∠PCA=∠B.

    (2)如圖3,∵PC是⊙O的切線,∠P= 40°,∴∠POC=50°.

    ∵AB=12,∴AO=6.

    當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時,動點Q在優(yōu)弧ABC上有三個位置:

    ①如圖4,在⊙O上作點C關(guān)于AB的對稱點,該點即是滿足△ABQ與△ABC的面積相等的點Q,由軸對稱性知,∠AOQ=∠POC= 50°,

    圖4

    圖5

    ②如圖5,在⊙O上作點C關(guān)于點O的對稱點,該點即是滿足△ABQ與△ABC的面積相等的點Q,由中心對稱性知,∠BOQ= ∠POC=50°,∴∠AOQ=130°,

    ③如圖6,在⊙O上作點C關(guān)于AB中垂線的對稱點,該點即是滿足△ABQ與△ABC的面積相等的點Q,由軸對稱性知,∠BOQ=∠POC= 50°,∴∠AOQ=230°,

    圖6

    【反思回顧】考題涉及圓周角定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、同底等高三角形的性質(zhì)、弧長的計算等多個知識點.第(2)問考查了分類思想,本質(zhì)上還可以用圖7來揭示它們的結(jié)構(gòu).

    圖7

    (作者單位:江蘇省南通市第一初級中學(xué))

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