數(shù)學(xué)原理在高中遺傳學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

夏 天

(浙江省余姚市第四中學(xué) 315400)

孟德爾通過數(shù)學(xué)方法(統(tǒng)計)的引入發(fā)現(xiàn)了分離定律和自由組合定律，為遺傳學(xué)奠定基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)作為一門工具學(xué)科，在生物學(xué)中有廣泛應(yīng)用。本文以高中知識為范疇，介紹數(shù)學(xué)原理在遺傳學(xué)中的應(yīng)用。

1 棋盤法和分枝法

遺傳概率的計算常用棋盤法和分枝法[1]。在單因子雜交實驗和雙因子雜交實驗中，教材中介紹了棋盤法。但若考慮三對或三對以上基因，則因棋盤格過多而不宜采用棋盤法，應(yīng)采用分枝法(圖1)。

圖1 分枝法

2 分步乘法計數(shù)原理

分步乘法計數(shù)原理可解決配子類型、基因型種類和表現(xiàn)型種類的計算問題。分步乘法計數(shù)原理如下：完成一件事需要兩個步驟(無論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取)，第1步有m種不同的方法，第2步有n種不同的方法，那么完成這件事：N = m×n種不同的方法。高中數(shù)學(xué)教材給出如下例題：在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？運用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果如下：100個堿基共有100個位置，從左到右依次在每一個位置中，從A、C、G、U中任選一個填入，每個位置有4種填充方法，則RNA分子種數(shù)為100個4的乘積，即4100。

在孟德爾的雙因子雜交實驗中，F(xiàn)1產(chǎn)生的雌、雄配子各有4種，F(xiàn)2的基因型有9種，F(xiàn)2的表現(xiàn)型有4種。以上數(shù)據(jù)可以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得。對于基因型為YyRr的F1，產(chǎn)生的雌配子中包含等位基因Y和y之一，以及等位基因R和r之一。因此，相當于雌配子有2個空位，每個空位各有2種填法，則雌配子的類型有4種，即(2×2)；雄配子同理。若有n對等位基因，雌、雄配子各為2n種。對于F1自交產(chǎn)生的F2的基因型，先考慮一對等位基因Y和y，可形成3種不同的基因型：YY、Yy和yy；另一對等位基因R和r亦可形成3種不同的基因型。這兩對等位基因可形成9種不同的基因型，即(3×3)。若有n對等位基因，則可形成3n種基因型。對于F2的表現(xiàn)型，子葉的顏色有黃色和綠色2種表現(xiàn)型；種子的形狀有圓形和皺形2種表現(xiàn)型。那么，表現(xiàn)型即為4種。若有n對等位基因(完全顯性)，則能形成2n種表現(xiàn)型。

3 二項式平方的展開式

遺傳平衡定律可用二項式平方的展開式來表示。對于一個遺傳平衡的種群，若有一對等位基因B和b，設(shè)B的基因頻率為p，b的基因頻率為q，則p+q=1。運用棋盤法求得各基因型的頻率。BB的頻率為p2，Bb的頻率為2pq，bb的頻率為q2。可記為二項式平方的展開式：(p + q)2= p2+2pq+q2=1。由于各代的基因頻率沒有改變，故各代的基因型頻率也不會改變。若B和b這對等位基因位于X染色體，則XBXB的頻率為p2，XBXb的頻率為2pq，XbXb的頻率為q2；XB的頻率為p，Xb的頻率為q。由此，通過計算得到如下規(guī)律：對于X連鎖隱性遺傳病，男性患者XbY為q，女性患者XbXb為q2，由于0q2，故男性患者多于女性患者；對于X連鎖顯性遺傳病，男性患者XBY為p，女性患者XBXB和XBXb為p2+2pq，由于p=1-q，p2+2pq=1-q2，0

4 組合與二項式定理

圖2 楊輝三角

5 數(shù)學(xué)歸納法

根據(jù)不完全歸納法，求雜合子(Aa)連續(xù)自交n代后Fn中雜合子的比例，可以得到以下結(jié)果：F1中雜合子比例為1/2；F2中雜合子比例為(1/2)2=1/4；F3中雜合子比例為(1/2)3=1/8；F4中雜合子比例為(1/2)4=1/16；則Fn中雜合子比例為(1/2)n?？梢杂脭?shù)學(xué)歸納法證明這一結(jié)論。數(shù)學(xué)歸納法為：證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：①(歸納奠基)證明當n取第一個值no(noεN*)時命題成立；②(歸納遞推)假設(shè)n = k(k ≥ no，kεN*)時命題成立，證明當n = k + 1時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從no開始的所有正整數(shù)n都成立。證明：①當n = 1時，F(xiàn)1中雜合子比例為1/2；②假設(shè)當n = k時，F(xiàn)k中雜合子比例為(1/2)k成立，那么，F(xiàn)k+1中雜合子比例為(1/2)k×1/2= (1/2)k+1，即當n = k + 1時也成立。根據(jù)①和②，可知Fn中雜合子比例為(1/2)n。各子代雜合子比例構(gòu)成等比數(shù)列。用數(shù)學(xué)歸納法還可求得：Fn中純合子比例為1 - (1/2)n；顯性純合子比例為1/2 - (1/2)n+1；隱性純合子比例為1/2 - (1/2)n+1；顯性性狀個體比例為1/2 + (1/2)n+1；隱性性狀個體比例為1/2 - (1/2)n+1。