基于Hilbert變換的脈沖信號FRI采樣及其參數(shù)估計

宋壽鵬，彭成慶，趙騰飛，王云蛟

(江蘇大學(xué) 儀器科學(xué)與工程系， 鎮(zhèn)江 212013)

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基于Hilbert變換的脈沖信號FRI采樣及其參數(shù)估計

宋壽鵬，彭成慶，趙騰飛，王云蛟

(江蘇大學(xué) 儀器科學(xué)與工程系， 鎮(zhèn)江 212013)

為了降低信號的采樣速率，減少采集數(shù)據(jù)量，針對非嚴格有限新息率(Finite Rate of Innovation，F(xiàn)RI)信號，提出了一種基于Hilbert變換的超聲脈沖信號FRI采樣方法。將脈沖超聲檢測信號通過Hilbert變換解包絡(luò)，形成具有有限新息率的脈沖信號，利用低速采樣系統(tǒng)實現(xiàn)了脈沖超聲檢測信號的低速采樣。通過零化濾波器方法從低速采樣信號中解算出了脈沖超聲檢測信號的峰值時刻點，實現(xiàn)了對檢測信號的參數(shù)估計。通過加入加性高斯白噪聲驗證了該采樣方法對噪聲的適應(yīng)能力。試驗結(jié)果表明，該低速采樣方法可減少信號的采集數(shù)據(jù)量，并準(zhǔn)確估計出峰值到達時刻點。

脈沖信號；超聲波；有限新息率；Hilbert變換；參數(shù)估計

香農(nóng)采樣定理[1]指出，重建信號的最小采樣速率為其帶寬信號最高頻率的兩倍，并描述了實現(xiàn)這個最小速率的采樣和重建方案。有限新息率(Finite Rate of Innovation, FRI)理論[2]是傳統(tǒng)香農(nóng)采樣定理和次奈奎斯特采樣理論[3]相結(jié)合的信號采樣新方案，最早由Vetterli等人提出來。目前，F(xiàn)RI理論已經(jīng)在一些領(lǐng)域得到應(yīng)用，如：心電圖分析、醫(yī)學(xué)超聲成像、雷達探測等[4-6]。該采樣理論的前提是信號在單位時間內(nèi)具有有限個數(shù)目的自由度(即，新息率)，以低于奈奎斯特速率的新息率采樣，并能完好重構(gòu)原信號。

脈沖超聲檢測信號并非嚴格意義上的FRI信號，因此，無法在原信號上直接采用FRI采樣。而需將原信號進行處理，以滿足實現(xiàn)FRI采樣的前提條件。Hilbert變換是一種常見信號的解調(diào)方法，可實現(xiàn)信號的包絡(luò)提取，將包絡(luò)近似看作具有有限新息率的脈沖流，就可實現(xiàn)FRI采樣。盡管信號包絡(luò)提取的方法很多，如LEE提出的多相位包絡(luò)檢測[7]；RICE等人提出的基于Hilbert變換的積分微分快速求包絡(luò)法[8]；梅璐璐等人[9]提出的基于相移小波的包絡(luò)提取算法等。但Hilbert變換具有算法簡單，可借助硬件實現(xiàn)的特點。另外，從理論上講，Hilbert變換求得的包絡(luò)能最大程度地保留原信號中包絡(luò)的全部信息，這種方法求得的包絡(luò)更適合于從FRI采樣數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確獲取時延和峰值參數(shù)。為此，筆者基于Hilbert變換驗證了FRI理論對包絡(luò)脈沖的次奈奎斯特采樣。

為了驗證經(jīng)FRI理論對脈沖超聲信號低速采樣后獲得數(shù)據(jù)的可用性，筆者還通過加入不同信噪比的加性高斯白噪聲來驗證其對噪聲的適應(yīng)能力，通過對仿真和實測信號的低速率采樣，應(yīng)用零化濾波器(Annihilating Filter)的方法估計了信號波的到達時刻。

1　理論基礎(chǔ)

定義1，設(shè)給定實信號x(t)，其Hilbert變換定義為：

(1)

式中：*為卷積符號。

(2)

則，實信號x(t)的包絡(luò)為：

(3)

定義2，設(shè)給定實信號s(t)，如果信號s(t)在一個周期τ內(nèi)可表示為：

(4)

其傅里葉變換的形式為：

(5)

式中：H(ω)為h(t)的連續(xù)傅里葉變換；ω=2πm/τ，m=±1,±2,…,±K。

則信號s(t)為FRI信號，其有2K個自由度，其新息率為：

(6)

式中：ROI是FRI信號理論框架上的最低采樣率，通常比奈奎斯特采樣頻率小得多。

2　脈沖超聲信號FRI采樣原理

脈沖超聲檢測信號通常由上表面回波、缺陷回波及下表面回波等組成，設(shè)其脈沖回波數(shù)目為K(K∈Z+)，則數(shù)學(xué)模型可表示為：

(7)

式中：Ak(t-tk)為包絡(luò)信號，一般取為高斯函數(shù)；f0為超聲波中心頻率；tk為第k個脈沖時延。

將f(t)按定義1進行Hilbert變換，得到超聲回波信號包絡(luò)e(t)，即為K個脈沖信號包絡(luò)組成的脈沖流，相當(dāng)于定義1中的包絡(luò)信號A(t)。將超聲回波信號包絡(luò)進行周期延拓，設(shè)一個周期τ內(nèi)包含K個包絡(luò)脈沖，則可將含有幅值信息和時延信息的超聲檢測回波信號看作是一個周期為τ的FRI信號，相當(dāng)于定義2中的s(t)。

為了進行新息率采樣，將超聲回波信號包絡(luò)e(t)通過采樣核g(t)，得到采樣信號y(t)，即：

(8)

式中：采樣核g(t)為[5]:

(9)

此時，將采樣信號y(t)進行等間隔T采樣(T遠大于奈奎斯特采樣間隔)，得到離散采樣序列c(n)，即為超聲脈沖檢測信號得到的FRI采樣序列:

(10)

式中：n=1,…,M；T=τ/M。

3　FRI采樣序列參數(shù)估計

經(jīng)過新息率采樣后，得到了比傳統(tǒng)奈奎斯特采樣少得多的數(shù)據(jù)量，通過零化濾波器方法，可以從c(n)中解算出ak和tk，分別對應(yīng)原始超聲檢測回波信號中的脈沖回波的峰值幅度和峰值到達時刻，從而實現(xiàn)對原始信號的參數(shù)估計。

設(shè)信號e(t)的離散傅里葉向量為：

(11)

式中：GM×M=diag[G*(2πm/τ)]；m=-K,…,K；G*(ω)為G(ω)的共軛矩陣;G(ω)為g(t)的連續(xù)傅里葉變換。

令零化濾波器系數(shù)為A(k)，k=1,…,K，構(gòu)造并求解Yule-Walker方程[2]，得到

(12)

(13)

式中：uk=e-j2πtk/τ。

(14)

4　試驗及結(jié)果分析

4.1仿真及結(jié)果分析

仿真中，假設(shè)h(t-tk)為高斯函數(shù)，其表達式為：

(15)

式中：取σ=4×10-7；K=3；波峰時刻設(shè)定為{tk}={0.25,0.50,0.75}；峰值幅度設(shè)定為{ak}={1,1,1}。

峰值到達時刻點均方誤差為：

(16)

仿真試驗中，噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比(SNR)從1 dB開始每增加1 dB作100次Monte Carlo試驗，得到如圖1所示的k=3時的估計波峰時刻均方誤差與SNR的變化曲線。圖2為SNR=5 dB時的超聲仿真回波信號。圖3為SNR=5 dB時的信號參數(shù)重構(gòu)圖。

圖1　K=3時估計波峰時刻均方差與SNR的關(guān)系曲線

圖2　SNR=5 dB時的超聲仿真回波信號

圖3　SNR=5 dB時的信號參數(shù)重構(gòu)圖

從圖3可以看出，采用基于FRI框架的采樣理論對超聲信號進行采樣后重構(gòu)，重構(gòu)信號保留了原始信號的幅值和TOAs信息。參數(shù)估計結(jié)果如表1所示。

表1　參數(shù)估計結(jié)果對比

4.2結(jié)果及分析

實測試驗中，脈沖超聲信號選取管道檢測時產(chǎn)生的超聲回波信號。試驗中樣品管道長約1.5 m，管道內(nèi)徑為195 mm，管道壁厚為14 mm。管道材料為45號碳鋼。超聲探頭中心頻率為f0=10 MHz。為便于計算機對信號進行處理，將模擬超聲回波信號經(jīng)100 MHz采樣后得到待分析信號，即原始超聲信號。試驗中截取回波信號長度N=1 501，時域波形如圖4所示。根據(jù)超聲探頭的特性，選用h(t)=e-t2/(2σ2)，其中，σ=10×10-7。經(jīng)FRI采樣后，從采樣序列中估計回波峰值到達時刻，其重建效果如圖5所示。圖5中原始信號的峰值時刻{tk}={0.261 3,0.541 3,0.826 7}，而估計峰值時刻{tk_est}={0.267 6,0.545 2,0.819 0}，相對誤差為{ξ(%)}={2.41,0.72,0.93}(考慮到信號絕對幅值在實際測試中易受外界因素影響，在實際檢測中意義不大，所以試驗中沒有對絕對幅值進行參數(shù)估計)。

圖4　原始超聲回波信號時域波形

圖5　原始超聲檢波信號與參數(shù)重構(gòu)信號

5　結(jié)語

將脈沖超聲檢測回波信號經(jīng)過Hilbert變換，得到包絡(luò)脈沖信號，再將該信號進行周期延拓，得到近似FRI信號，通過采樣核后，再以新息率對其進行等間隔采樣，得到了低速率的采樣序列，其數(shù)據(jù)量遠小于常規(guī)奈奎斯特采樣得到的數(shù)據(jù)量，從而實現(xiàn)了超聲回波信號的低速率采樣。為了驗證經(jīng)低速率采樣后的數(shù)據(jù)仍包含原始信號中回波峰值的到達時刻，借助零化濾波器方法對波峰到達時刻進行了參數(shù)估計，仿真及實測信號估計結(jié)果表明:該采樣方法保留了原始超聲檢測信號中的峰值到達時刻信息，并且達到了較高的估計精度，同時通過對仿真信號加入加性高斯白噪聲的方法，檢驗了該采樣方法對噪聲的抵抗能力。

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Pulse Signal FRI-sampling and Parameter Estimation Based on Hilbert Transform

SONG Shou-peng, PENG Cheng-qing, ZHAO Teng-fei, WANG Yun-jiao

(Department of Instrument Science and Engineering,Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

For the purpose of lowering the signal sampling rate and reducing the amount of testing data, a sampling method of ultrasonic pulse signal with non-restrict finite rate of innovation (FRI) is proposed based on Hilbert transform. The pulse signal with FRI is obtained by solving the envelope of the tested ultrasonic signal using Hilbert transform. Then, low rate sampling has been accomplished on pulse signal. The adaptive capacity of the low-rate sampling technique is verified by putting additional Gaussian white noise in the signal. The experimental results show that this method can not only reduce the amount of sampling data, but also be used to estimate the arrival time of the echo peak accurately.

Pulse signal; Ultrasonic; FRI; Hilbert transform; Parameter estimation

2015-01-26

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375217)

宋壽鵬(1967-),男,博士,教授,主要從事無損檢測與信息處理方面的研究工作。

宋壽鵬, E-mail: songshoupeng@126.com。

10.11973/wsjc201607010

TP391；TG115.28

A

1000-6656(2016)07-0040-04