雙中心矩陣特征值反問題的最小二乘解

梁艷芳，袁仕芳（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

雙中心矩陣特征值反問題的最小二乘解

梁艷芳，袁仕芳
（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

對于矩陣 A ∈?m× n，如果它的每一行元素之和等于零，且每一列元素之和也等于零，則稱矩陣A為雙中心矩陣.本文利用矩陣的列拉直算子、Moore-Penrose廣義逆和一種矩陣向量積討論n階雙中心矩陣特征值反問題的最小二乘解，得到了矩陣方程 AX =XΛ的雙中心極小范數(shù)最小二乘解的表達(dá)形式.

雙中心矩陣；最小二乘解；極小范數(shù)解；特征值反問題

本文把所有n維列向量組成的集合記為 ?n，把所有m × n階實(shí)矩陣所組成的集合記為 ?m× n.對于矩陣 A ∈?m× n，如果A的每一行元素之和等于零，且它的每一列元素之和也等于零，則稱矩陣A為雙中心矩陣.把所有n階雙中心矩陣組成的集合記為DC ?n× n.矩陣A的轉(zhuǎn)置、共軛矩陣和Moore-Penrose廣義逆分別記為 AT、和 A+.n階單位矩陣記為 In.對于矩陣 A= （aij）∈ ?n× n，它的跡為

其中 ej表示n階單位矩陣 In的第j列.對 A, B ∈?m× n，定義A與B的內(nèi)積為A, B =tr(BTA)，則由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是矩陣A的Frobenius范數(shù)，且 ?m× n構(gòu)成一個(gè)完備的內(nèi)積空間，x2表示向量x的2范數(shù).

矩陣的特征值反問題及其最小二乘解在科學(xué)和工程技術(shù)中有重要的應(yīng)用，已取得了許多研究成果[1-3].我們在文獻(xiàn)[4]定義的矩陣和向量積的基礎(chǔ)上，討論了雙中心矩陣的特征值反問題的最小二乘解，并考慮如下問題：

求 AD∈HL，使得

1 引理

為了討論問題I，我們需要如下定義和引理.

定義1設(shè) A =(aij)m× n，記 ai=(a1i,a2i,… ,ami)(i =1,2,… ,n)，令

定義2設(shè) A=(aij)n ×n，記a1=(a11,a21,…,an-1,1)，a2=(a12,a22,a32,…,an-1,2)，…， an-1= （a1,n-1,a2,n- 1,…,a(n-1)(n-1)）.令

定義3[4]4982設(shè) x=(x,x,…,x )T∈?k, y=(y,y ,…,y )T∈?k，以及 A =(A,A ,…,A)，其中12k 12k 12kA∈?m× n(i =1,2,… ,k )，令：1） A ⊙x=x A + x A +…+ x A ∈?m× n，2） A ⊙(x, y) =(A ⊙x, A ⊙y).易i1122kk知若 Ai∈?m，則 A ⊙x =Ax.

以下列出的是本文用到的文獻(xiàn)[4]中的一些結(jié)論：

設(shè)B =(b, b ,… ,b )∈ ?k× s， b∈?k(i =1,2,…,s)，C =(c, c ,… ,c )∈ ?k× t， c∈?k(i =1,2,…,t)，12s i12t iD ∈?l× m，那么：

1） A⊙ B =(A ⊙b1, A ⊙b2,…,A ⊙bs)； 2） A ⊙(B, C )=(A ⊙B, A ⊙C)；

3） D( A ⊙x)=(D A)⊙x； 4） (A ⊙x) B =(A1B, A2B, …,AkB )⊙x.

假設(shè) E ∈?s× m, F= (F, F,…,F )∈ ?m× kn, F ∈?m× n(i= 1,2,…,k ),G ∈?n× s，那么：

12ki

5）E[( F1, F2,…,Fk) ⊙ x] G =(E F1G, EF2G ,…, EFkG )⊙x.

引理1[4]4980給定矩陣 A1, A2,… ,Al∈?m× n和 B ∈?m× n，求向量 k=(k1, k2,…,kl)T∈?l滿足方程

如果矩陣方程（6）有解，則該解也是下列等式的解

引理2[4]4981給定矩陣 A1, A2,… ,Al∈?m× n和 B ∈?m× n，求向量 k=(k1, k2,…,kl)T∈?l滿足

則式（8）的解集也是式（7）的解集.

設(shè)

引理3 假設(shè) A ∈?n× n，則有

引理4 給定矩陣 X ∈?n× n， A∈DC?n× n，令 Xj是矩陣X的第j行向量， ei是單位矩陣 In的第i列向量， Eij如式（9）所示， vecD(A)如式（5）所示，則

1） EijX =eiXj；

2）令 Fij∈?n× n(i, j= 1,2,…,n-1)，其中 Fij=eiXj-enXj-eiXn+enXn，則有 AX =（F11, F21, …, Fn-1,1, F12,…,Fn-1,n- 1）⊙vecD(A).

引理5[5]i）給定 A ∈?m× n,b ∈?n，則線性方程組 Ax =b有解的充分必要條件是

在有解的條件下，它的通解是

其中 y ∈?n是任意向量.

ii）給定 A ∈?m× n,b ∈?n，那么不相容線性方程組 Ax =b的最小二乘解為

這里 y ∈?n是任意向量，并且它的極小范數(shù)最小二乘解為 x =A+b.

2 問題I的解

本節(jié)我們利用引理1～5給出問題I的解.給定矩陣 X∈?n× n， Λ=diag{λ1, λ2,… ,λn} ∈?n× n，記B =XΛ，令

定理 給定矩陣 X=(x1, x2,… , xn)∈ ?n× n， Λ= diag{λ1, λ2,… ,λn} ∈?n× n，其中 xi(i =1,2,…,n )∈ ?n，LD如式（10）所示， vecD(A)如式（5）所示， F 、v分別如式（15）、式（16）所示.則問題I的解集 HL可表示為

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量.

進(jìn)一步可得，問題I存在唯一的極小范數(shù)最小二乘解 AD∈HL，且 AD可表示為

證明 由引理3和引理4可得：

下面我們討論形如

特征值反問題的解.

推論 矩陣方程（19）有解 A ∈DC ?n× n的一個(gè)充分必要條件為

在有解的條件下，把方程（19）的解所組成的集合記為 HE，則其可表示為

其中y是一個(gè)適當(dāng)維數(shù)的任意向量.

進(jìn)一步，如果等式（20）成立，那么矩陣方程（19）有唯一的解 A ∈HE的一個(gè)充分必要條件為rank(G) =(n-1)2.這時(shí) HE可表示為：并且極小范數(shù)問題存在唯一解 AD∈HE，且 AD的表達(dá)式如式（18）所示.

[1]周樹荃，戴華.代數(shù)特征值反問題[M].鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1991.

[2]孫繼廣.一類反特征值問題的最小二乘解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，1987,9(2):206-216.

[3]周碩，吳柏生.雙中心矩陣反問題及其在電網(wǎng)絡(luò)理論中的應(yīng)用[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007,24(4):611-617.

[4]YUAN Shifang,LIAO Anping.Leastsquares Hermitian solution ofthe complex matrix equation AXB + CYD = E with the least norm[J].Journal of the Franklin Institute,2014,351:4978–4997.

[5]戴華.矩陣論[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Least Squares Solutions for the Inverse Problem of Double Center Matrix Eigenvalue

LIANG Yan-fang,YUAN Shi-fang
(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

For A ∈?m× n，if the sum of the elements in each row and the sum of the elements in each column are both equal to 0,then A is called a double center matrix.In this paper,we discuss the least squares solutions for the inverse eigenvalue problem of double center matrices with size n by using the vec-operator,the Moore-Penrose generalized inverse and a product of matrices and vectors.We also provide the expression of the least square double center solution with the least norm of the matrix equation AX =XΛ.

double center matrices;least-squares solutions;least norm solutions;inverse eigenvalue problems

O241.2

A

1006-7302（2016）03-0006-04

2016-03-07

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015A030313646）；江門市科技計(jì)劃項(xiàng)目資助（江科〔2014〕145號）

梁艷芳（1991—），女，廣東開平人，在讀碩士生，主要從事矩陣方程數(shù)值解研究；袁仕芳，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要從事矩陣方程數(shù)值解研究.