幾何功能約束最小二乘法雙短圓弧檢測

彭希鋒 陳爽 李海星 熊朝暉

摘 要：針對雙短圓弧的準確檢測難題，首先從工件的幾何功能使用要求出發(fā)，詳細分析使用三坐標測量機檢測雙短圓弧時誤差產(chǎn)生的原因與影響；然后根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因，提出基于幾何功能約束最小二乘擬合的雙短圓弧檢測方法。該方法將雙短圓弧的設(shè)計半徑、相對位置關(guān)系以及圓弧整體輪廓與工作基準的位置作為最小二乘圓擬合的約束條件，以降低擬合的誤差。將該檢測方法與經(jīng)典最小二乘圓弧分段擬合檢測方法進行對比實驗，結(jié)果表明：提出的方法能夠很好地改善最小二乘法對雙短圓弧的擬合質(zhì)量，有效降低檢測結(jié)果的“誤判”風(fēng)險，可為雙短圓弧的精確檢測提供一種可靠方法。

關(guān)鍵詞：最小二乘法；幾何功能約束；雙短圓弧檢測；三坐標測量機

文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2016）09-0036-05

0 引 言

計量界將30°以下中心角所對的圓弧歸為短圓弧，在機械加工精密檢測領(lǐng)域，短圓弧的準確測量一直是難題。由于短圓弧上的特征點數(shù)少，且過于集中，在進行圓弧的擬合時其形狀誤差與測量誤差被過度放大，往往得不到理想的檢測結(jié)果[1]。在短圓弧檢測誤差的控制方法上，邵偉國[2]、朱嘉[3]、李在崢[4]等提出了基于圓心約束的最小二乘圓擬合方法。該類方法通過固定圓心值的方式，有效提高擬合精度。張振友[5]與劉珂等[6]提出了半徑約束最小二乘圓擬合方法，可以有效提高圓中心定位精度，進而改善擬合質(zhì)量。劉元朋等[7]通過引入系數(shù)約束條件式，對擬合方程的系數(shù)進行相關(guān)約束，結(jié)果表明能提高擬合精度。袁道成等[8]提出通過分段密集采點，對測量的粗大誤差和隨機誤差進行衰減后再擬合的方法，能有效改善短圓弧的檢測質(zhì)量。

然而，上述方法都是針對單一短圓弧的檢測誤差控制，對于雙短圓弧檢測的應(yīng)用仍有局限性。本文從產(chǎn)品的幾何功能分析出發(fā)，通過對三坐標測量機檢測雙短圓弧時的誤差與影響進行分析，將雙短圓弧的設(shè)計半徑、相對位置關(guān)系以及圓弧整體輪廓與工作基準的位置作為最小二乘擬合的約束條件，以降低擬合的誤差與影響，為雙短圓弧的精確檢測提供一種可靠方法。

1 雙短圓弧的檢測要求與測量方法

1.1 檢測要求

被測圓弧的設(shè)計形狀如圖1所示，共有兩段相切圓弧。圓弧1的圓心在基準A上，圓弧2的圓心與圓弧1在水平和縱向的距離分別為L與H，要求對兩段圓弧的半徑進行檢測，半徑值分別為R1±Δ1，R2±Δ2。其中，Δ1、Δ2分別為設(shè)計圖紙上R1、R2的允許誤差限。

1.2 測量方法

圓弧的檢測在Leitz PMMC-700P三坐標測量機（Hexagon，瑞典）上進行，其空間長度測量誤差為（0.6+L/600）μm。測量時，首先測量并建立基準A。為了使測量圓弧時得到較優(yōu)的半徑補償矢量，先手動在圓弧1上采點并擬合出最小二乘圓心O，然后將O平移至基準A上建立測量坐標系基準點O′。以O(shè)′為圓心，在自動測量模式下測量圓弧1，并在基準A上建立新的測量基準點O1，再以O(shè)1為圓心，在自動模式下測量圓弧1作為最終結(jié)果。上述反復(fù)迭代精建測量基準點的目的是盡可能降低觸測力不穩(wěn)定與半徑補償矢量方向不準確帶來的測量誤差，從而提高測量點的質(zhì)量。測量圓弧2時，將測量基準點O1按相應(yīng)的方向在水平上平移L，縱向平移H得到測量基準點O2，以O(shè)2為圓心在自動模式下測量圓弧2作為最終結(jié)果。

2 數(shù)據(jù)計算方法及問題的提出

工件的檢測對象為兩段圓弧的半徑，可通過對測量點云進行圓弧擬合后評價。圓弧的擬合方法主要有最小包容區(qū)域法、最小外接圓法、最大內(nèi)切圓法、最小二乘法等。前3種方法由于在數(shù)學(xué)上不能獲得直接的解析解，所以只能通過基于小偏差假設(shè)和小誤差假設(shè)的近似算法進行求解，其求解過程需要較為復(fù)雜費時的迭代，操作不便，且通常只能局限于一定的應(yīng)用范圍。最小二乘法具有運行速度快和性能穩(wěn)定等特點，且容易獲得解析解，因此獲得廣泛的應(yīng)用。

所采用的Leitz PMMC-700P坐標測量機內(nèi)置有QUINDOS 6.0操作軟件，軟件自含最小二乘擬合的程序。因此，通常的做法是使用自帶的程序分別對圓弧1和圓弧2的測量點進行最小二乘擬合，計算獲得相應(yīng)的半徑R1和R2。但是，上述計算操作會帶來以下問題：

1）短圓弧自身形狀誤差和測量機誤差對半徑擬合精度的影響會增大檢測結(jié)果發(fā)生“誤判”的風(fēng)險。

如圖2所示，以三點定圓為例，由于短圓弧形狀誤差與測量機測量誤差的存在，測量點集（A1，B1，C1）與（A2，B2，C2）偏離理想輪廓（實線部分），造成擬合圓?。ㄌ摼€部分）的不準確，導(dǎo)致擬合半徑過度的縮小與放大。

假設(shè)短圓弧的形狀誤差與測量機的測量誤差之和為e，被測短圓弧包含的圓心角大小為α。根據(jù)蒲競秋等[1]的推導(dǎo)結(jié)果，三點定圓時短圓弧半徑最小二乘法擬合誤差的放大系數(shù)為

N=ΔR/e=■-1（1）

式中：ΔR——半徑擬合誤差；

e——短圓弧的形狀誤差與測量機的測量誤差之和；

α——被測短圓弧的圓心角。

如圖3所示，由式（1）可知用最小二乘法進行短圓弧的擬合時，其半徑擬合誤差隨圓心角的減小而增大，隨e值的增大而增大。當(dāng)圓心角處于10°以下的范圍內(nèi)時，半徑擬合誤差的放大效應(yīng)最劇烈。當(dāng)圓心角α=10°時，e在1，3，5，10 μm下的半徑擬合誤差分別為524.6，1 573.7，2 622.9，5 245.8 μm。即使在圓心角α=30°，e=5 μm時，其半徑擬合誤差仍高達288.5 μm。

從上述分析可知，使用坐標測量機進行短圓弧的檢測時，若直接使用最小二乘法進行圓弧的擬合，誤差被過度放大，很難獲得準確的檢測結(jié)果。本文的工件屬于短圓弧測量，其每段圓弧的坐標點采集圓心角為25°，若直接采用軟件自帶的最小二乘算法分別進行各段圓弧的擬合，會產(chǎn)生較大的擬合誤差，增加檢測結(jié)果“誤判”的風(fēng)險。

2）分段擬合破壞了兩段圓弧的相對位置關(guān)系，檢測結(jié)果不符合產(chǎn)品幾何功能使用要求。

本文的工件是一種仿形樣板檢具，使用過程中，要求兩段圓弧同時起檢測作用，即要求保證兩段圓弧的相對位置關(guān)系固定。最小二乘法擬合圓弧時同時有圓心與半徑兩個求解目標，其擬合的誤差也會相應(yīng)地反映到兩個求解目標上。從圖2可以看出，短圓弧擬合時，不僅有半徑的放大效應(yīng)，同時也有圓心位置的放大效應(yīng)，破壞了兩段圓弧的相對位置關(guān)系，導(dǎo)致檢測結(jié)果不符合產(chǎn)品的整體幾何功能使用要求，也有可能加大“誤判”的風(fēng)險。

如圖4所示，不考慮擬合誤差、測量誤差等因素，由于實際加工誤差的存在，圓弧1和圓弧2的實測點集Pi1與Pi2偏離了設(shè)計輪廓（實線部分），偏離的距離為δ，且δ>（Δ1+Δ2）（Δ1、Δ2分別為R1、R2的允許誤差限）。但是，由于圓弧的形狀加工精度較好，使得實測點擬合后的圓弧半徑R1′≈R1，R2′≈R2，此時就導(dǎo)致了錯誤的檢測結(jié)果。其錯誤有兩個方面：1）擬合圓心O1′偏離工作基準面A，不符合工件的使用功能；2）雖然擬合圓弧半徑合格，但是兩個圓弧之間偏距δ超過了圓弧輪廓的允許誤差。

4 實驗對比分析

為了對前面的分析結(jié)果進行檢驗，抽取一個工件的坐標測量數(shù)據(jù)，分別使用經(jīng)典的最小二乘法與基于幾何功能約束的最小二乘法進行擬合，然后計算兩段圓弧圓心相對位置的變化及各測量點到擬合圓弧圓心半徑與設(shè)計輪廓半徑的誤差，分別進行對比分析。

將雙短圓弧工件的測量點數(shù)據(jù)導(dǎo)出并上傳到Matlab程序（編制程序已使用均布的標準圓進行擬合驗證，其圓心與半徑的數(shù)據(jù)擬合誤差均小于10-11），計算得到結(jié)果如表1和圖5所示。

表1是兩種擬合方法的圓心位置變化量，從結(jié)果可以看出，使用經(jīng)典最小二乘法對兩段圓弧進行分段擬合時，其圓心都有往右上方的偏移量，且其值受短圓弧擬合放大效應(yīng)的影響，偏移量較明顯，使擬合輪廓脫離了工作基準面A，不符合實際使用要求。另外從兩個圓心變化量可以看出，兩段圓弧的相對位置也發(fā)生了變化，水平與縱向變化分別為ΔL=Δx2-Δx1=0.947 8 mm，ΔH=Δy2-Δy1=-0.056 7 mm，變化量也較明顯，破壞了兩段圓弧輪廓的整體性，檢測結(jié)果不符合產(chǎn)品的幾何功能。使用本文帶約束的方法進行擬合時，其本身并未破壞產(chǎn)品的幾何功能，兩段圓弧的整體性得到保持，且圓弧輪廓一直約束在工作基準A上，只是將圓弧輪廓沿著基準A平移使各測量點到設(shè)計輪廓的距離偏差平方和最小，計算的偏移量結(jié)果d=0.343 1 mm。該段偏移量可能由兩方面原因造成，一是加工誤差引起；二是測量坐標系構(gòu)建誤差引起。

圖5是兩種方法擬合的短圓弧半徑與設(shè)計輪廓半徑的偏差。從結(jié)果可以看出，使用經(jīng)典最小二乘法對兩個圓弧分段擬合時，其半徑誤差由于短圓弧的放大效應(yīng)已經(jīng)遠大于工件的允許誤差限（±0.02 mm）。其中，圓弧1的最大半徑偏差為0.184 7 mm，圓弧2的最大半徑偏差為0.106 6 mm。另外，從結(jié)果可以看出兩段圓弧對設(shè)計輪廓半徑的偏離呈相反方向（圖5（a）），輪廓的整體性在表1圓心偏離的基礎(chǔ)上進一步被破壞，較大程度地背離了產(chǎn)品的幾何功能要求。使用本文帶幾何功能約束的最小二乘法進行擬合時，不會破壞兩段圓弧輪廓的整體性也不會破壞兩段圓弧的相對位置關(guān)系。從結(jié)果來看，各測量點對設(shè)計輪廓的偏離量較小，其中圓弧1的最大半徑誤差為0.013 7 mm，圓弧2的最大半徑誤差范圍為0.017 9 mm。

本文的擬合算法是在經(jīng)典的最小二乘法上直接施加產(chǎn)品幾何功能的約束。根據(jù)Gander W[10]與Lukacs G等[11]的研究，在擬合圓時，最小二乘法雖然能夠獲得解析解，但其解也有自身的不確定度。優(yōu)化后的變型最小二乘算法精度比經(jīng)典的最小二乘算法精度高，但是其計算較為復(fù)雜。由于本文工件的檢測誤差限要求相對不高，因此選用經(jīng)典最小二乘法施加約束后直接求解，能夠滿足要求和提高編程效率。后續(xù)有較高精度的檢測要求時，可以考慮在本文方法的基礎(chǔ)上采用優(yōu)化的最小二乘算法進行圓弧的擬合。

本文研究的問題主要是工件測量數(shù)據(jù)的計算問題，因此對雙短圓弧工件的測量控制方法涉及不多。根據(jù)袁道成等[8]的研究，對單一短圓弧進行檢測時，通過分段密集采樣法可以有效地對測量的隨機誤差進行衰減，從而提高檢測精度。理論上，該種檢測方法也可用于雙短圓弧的檢測，在高精度的檢測場合可以結(jié)合測量與數(shù)據(jù)處理兩方面優(yōu)化進行，其作用仍需進一步分析。

本文研究的案例為二維雙短圓弧段線的檢測，理論上本文的方法也可以為三維雙短圓弧面的檢測提供借鑒，但其效用程度仍需進一步分析。

5 結(jié)束語

針對雙短圓弧的精密檢測難題，詳細分析了雙短圓弧檢測誤差產(chǎn)生的原因，提出了基于幾何功能約束最小二乘擬合的雙短圓弧檢測方法。實驗驗證表明，該檢測方法能夠很好地改善經(jīng)典最小二乘法對雙圓弧分段擬合的誤差，檢測結(jié)果不破壞雙圓弧輪廓的整體性及其與工作基準的位置關(guān)系，檢測結(jié)果符合產(chǎn)品的幾何功能使用要求，能夠有效提高檢測結(jié)果的準確性，降低“誤判”風(fēng)險，為雙短圓弧的精確檢測提供了一種可靠方法。

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（編輯：劉楊）