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    新課標下高考三角函數(shù)考點追蹤

    2016-08-13 02:17:07杜巖甘肅省涇川縣第一中學
    新課程(下) 2016年6期
    關(guān)鍵詞:極坐標考點最值

    杜巖(甘肅省涇川縣第一中學)

    新課標下高考三角函數(shù)考點追蹤

    杜巖
    (甘肅省涇川縣第一中學)

    課標卷與大綱卷高考數(shù)學試題有較大變化,其中三角函數(shù)部分比較明顯,追蹤新課標下高考三角函數(shù)試題,進行仔細分析,研究考點變化,總結(jié)高考規(guī)律,必將提高復習的實效性。

    新課標;高考三角函數(shù);考點追蹤

    一、新課標下三角函數(shù)試題的特點

    新課標卷高考數(shù)學文理科試題差異明顯,文科注重考查基礎(chǔ)知識,理科則是知識與能力考查并舉;試題的呈現(xiàn)形式靈活多樣,沒有固定的模式;分值大致穩(wěn)定在20分左右,必做題15分左右,選做題5分左右;在第(17)題出現(xiàn)三角函數(shù)題,一般都會對學生的個性品質(zhì)和心理素質(zhì)進行考查。

    二、新課標下三角函數(shù)試題的考點追蹤

    1.三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)

    三角函數(shù)的定義,五點法作圖,圖象變換,根據(jù)部分圖象求函數(shù)解析式;值域(最值),周期性,奇偶性,單調(diào)性,圖象的對稱性;含有參數(shù)的三角函數(shù)問題;在知識交匯處命題,綜合性較強,思維含量較高,需要仔細審題,方可準確解答。

    點評:實際問題建立三角函數(shù)模型,由解析式選擇相應圖象,是選擇題考應用題的亮點,難點是準確理解題意并寫出正確的函數(shù)解析式。

    考情匯總:2007至2015年均考到,出現(xiàn)在選擇題、填空題中。

    2.三角恒等變換

    恒等變換是三角函數(shù)的核心內(nèi)容,是高考的熱點,每年必考。試題靈活性大,能力要求較高。常常以三角函數(shù)式的化簡、求值形式出現(xiàn),常與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)結(jié)合,也與解三角形聯(lián)系在一起考查??疾橥侨呛瘮?shù)的基本關(guān)系式,誘導公式,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式及其變形應用。

    【例2】設當x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=____________.

    點評:兩種方法,各有特點,法一比較靈活,法二思路簡單,運算麻煩。

    考情匯總:2007至2015年均有考查,大多數(shù)出現(xiàn)在小題中。3.三角形中的三角函數(shù)問題

    這類題??汲P?,亮點紛呈。常以三角形為載體,考查正、余弦定理,三角形面積公式,平面幾何中重要的定理,三角公式的靈活運用,凸顯三角函數(shù)的實用性。在(17)題中出現(xiàn)時,已成為解答題能否取得高分的分水嶺,與以往的三角題相比,突出思維含量,減少了運算量。對恒等變換、邏輯推理、數(shù)據(jù)處理以及遇到障礙時繞過障礙重新選擇思路等方面的能力要求較高,同時還有函數(shù)與方程思想,考生的個性心理品質(zhì)的考查。

    思路一,在△ADC和△ADB中由余弦定理求出AC和AB,在△ABC中利用余弦定理求解,運算量大,甚至會遇到計算障礙,仔細計算才能得出結(jié)果∠BAC=60°。

    思路二,建立如圖所示的坐標系,可用兩向量的夾角公式求解,但是在計算中也會遇到和思路一同樣的麻煩。

    點評:本題是檢測考生的心理素質(zhì)的經(jīng)典題,這也是新課標下高考三角函數(shù)題的顯著特點,《考試說明》中明確指出當考生遇到運算障礙時要能調(diào)整運算思路繞過障礙,法三是充分發(fā)揮了平面幾何中作輔助線的方法,另辟蹊徑,巧妙求解,值得重視。

    【例4】已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為_________。

    當且僅當2B-30°=90°,B=60°時S△ABC取最大值。

    點評:三角形面積最值的求解策略基本有兩種方法:建立函數(shù)模型求解,利用不等式求解。法一通過解三角形,建立關(guān)于三角函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值,滲透函數(shù)思想;法二借助于基本不等式來求最值,不失為上策。

    考情匯總:2007至2015年均可見到解三角形問題,選擇題、填空題、解答題中都出現(xiàn)過。

    4.坐標系與參數(shù)方程

    新課標下對三角函數(shù)的考查也經(jīng)常出現(xiàn)在三選一的解答題(23)題中,也是大多數(shù)考生首選的題。常見曲線的參數(shù)方程,極坐標方程都與三角函數(shù)緊密相關(guān),一般考生能順利解答第一問,第二問就比較困難。若能準確理解參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,極坐標方程的意義,充分發(fā)揮三角函數(shù)的工具性作用,則可以輕松求解,穩(wěn)妥得分。

    (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;

    直線l的普通方程為2x+y-6=0。

    (1)求C2與C3交點的直角坐標;

    解析:(Ⅰ)略。

    (Ⅱ)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),(其中0≤α<π)

    點評:這兩道題都涉及了求兩動點之間距離的最值問題,例5利用橢圓的參數(shù)方程借助于三角函數(shù)求最值;例6只需要將曲線C1的普通方程化成極坐標方程θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用極坐標方程求解顯得簡便。

    考情匯總:2007至2015,每年在(23)中均出現(xiàn),而且靈活性越來越大,不是想象的送分題了,解答須謹慎。

    三、備考建議

    新課標下的高考試題既肩負著為高校選拔優(yōu)秀新生的重任,又指引著高中階段的教學。研究新課標,研究新考綱,研究高考題是高考備考的基本環(huán)節(jié)。高考試題變化莫測,如果仔細研究高考試題,還是可以發(fā)現(xiàn)高考規(guī)律的,認真研究近幾年新課標全國卷的數(shù)學試題,在復習中可以起到事半功倍的效果。筆者認為凡是以往考過的經(jīng)典試題就值得仔細研究,反復琢磨,直到弄清出題人的意圖;合理利用復習資料,注意提取精華,充分挖掘課本中可能出現(xiàn)的高考題;注重思維訓練,發(fā)展學生的智力,提高分析問題與解決問題的能力,提煉數(shù)學思想與方法。真正把新課改與新高考結(jié)合起來,切實提高學生的數(shù)學素養(yǎng),以不變應萬變,方可在高考中取得可喜的成績。

    孫琳.新課標下高考中的三角函數(shù)解題研究[D].西北大學,2015.

    ·編輯薛直艷

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