主共振與內共振下縱橫耦合軸系動力學分析

鄒冬林 荀振宇 饒柱石 塔娜

摘要： 考慮Von Karman非線性位移應變關系，利用Hamilton原理建立了軸系縱橫耦合下的動力學模型。利用Galerkin法對偏微分方程進行離散，采用多尺度法求解了離散方程。研究了縱向主共振并伴隨內共振（由縱向第一階固有頻率近似等于橫向第一階正進動與反進動頻率之和而產生）聯(lián)合激勵時軸系的動力學響應。研究表明隨著系統(tǒng)參數(shù)以及激勵載荷的不同，軸系出現(xiàn)不同的動力學特性。當激勵載荷小于一臨界值時，縱向激勵力只能激起縱向振動，系統(tǒng)響應與線性系統(tǒng)一樣；當載荷超過臨界值時，縱向激勵力同時激起了軸系的橫向正進動與反進動頻率，此時縱向振動出現(xiàn)能量飽和現(xiàn)象，能量從縱向滲透到橫向。能量在正反進動模態(tài)間的分配與其正反進動頻率成反比，從而使反進動幅值大于正進動幅值。同時響應中也出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。數(shù)值分析結果與攝動分析結果一致。關鍵詞： 非線性振動； 軸系縱橫耦合； 多尺度法； 主共振； 內共振

中圖分類號： O322；TH113.1文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2016）03-0511-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.018

引言

旋轉軸系作為動力傳遞部件被廣泛應用于工程機械中。例如船舶推進軸系，飛機發(fā)動機軸系以及汽輪機軸系等。軸系運轉時不可避免地產生振動，從而降低機器的工作效率，嚴重時會使軸系斷裂，造成事故。因此對軸系進行動力學分析并從本質上探討振動的機理對于軸系設計初期是必要的。軸系的振動分為三種形式：彎曲振動、扭轉振動以及縱向振動。早期對軸系的研究都是對這三種振動單獨分析，這樣處理有利于模型的簡化。然而對一些處于復雜工況的軸系，各種運動之間有相當強的耦合，分開處理不能揭示工程中的一些現(xiàn)象，比如多頻振動，組合共振，自激振動，分岔等。近年來，針對齒輪軸系或汽輪機軸系等的彎扭耦合振動的研究文獻很多，取得了豐碩的成果[12]。但是針對軸系彎縱耦合振動的研究文獻還相當少，主要原因是這兩種振動之間的耦合在工程中不常見。而對于大跨度軸系（例如船舶推進軸系與汽輪機軸系，一般長度為十幾米）或細長軸系，由于細長比很小（細長比指軸系截面回轉半徑與軸系長度之比），當激勵力較大時，容易引起軸系較大振動。此時縱橫振動幅值很大，進而縱、橫向變形引起的彈性耦合作用也相當嚴重，從而引起軸系異常振動，所以研究軸系縱橫耦合非線性振動有重要的意義。

對于軸系縱橫耦合的研究，國內所見文獻幾乎沒有。有學者針對平面的梁結構縱橫耦合振動做了很多研究。夏品奇[3]利用增量諧波平衡法研究了彎縱耦合梁的諧波響應。胡義等[4]利用有限元法研究了梁縱橫耦合振動。易壯鵬等[5]研究了縱向模態(tài)與橫向模態(tài)間產生內共振時梁的動力學響應。陳立群[6]也利用多尺度法研究了軸向速度波動下軸向黏彈性梁的非線性振動。馮志華與胡海巖研究了受軸向基礎激勵懸臂梁的非線性振動[7]；同時研究了直線運動梁在內共振條件下的動力穩(wěn)定性[8]。國外對梁的縱橫耦合也有相當多的研究。Emam[9]研究了屈曲梁在1∶1以及3∶1內共振狀態(tài)下的響應。

上述研究均是針對平面的梁結構，而軸系旋轉時屬于三維振動，同時由于陀螺效應的影響，橫向固有頻率呈現(xiàn)出正進動與反進動頻率，表現(xiàn)出與平面梁不一樣的動力學特性。近十年來，國外對軸系縱橫耦合非線性動力學進行了大量研究。Khadem與Hossein研究了縱橫耦合作用下可伸長與不可伸長軸系的自由振動響應[1011]；文獻[1215]研究了不可伸長軸系的主共振響應以及可伸長軸系的主共振與參數(shù)共振及聯(lián)合共振響應；文獻[1618]研究了不可伸長軸系兩階模態(tài)間的聯(lián)合共振以及分叉與穩(wěn)定性問題。Ishida團隊也做了類似的工作[1921]。在他們的研究中盡管在建立運動模型時考慮了縱向與橫向的影響，但是在最終求解時均假設縱向慣性可以忽略從而導致縱向位移是橫向位移的高階小量，即u=o（w2），進而將縱向位移描述成橫向位移的函數(shù)表達式，最終將縱橫耦合非線性方程化簡為只包含橫向運動的非線性方程。由于他們研究的對象都是邊界條件簡單的簡支軸系，縱向固有頻率遠高于橫向固有頻率，因此這種簡化是合理的。Nayfeh[22]指出當縱向固有頻率與橫向固有頻率相差不大時，縱向慣性不能忽略，縱向位移與橫向位移應是同階小量，即u=o（w）。對于實際工程結構中某些具有復雜邊界條件的軸系，如船舶推進軸系，由于螺旋槳集中質量以及推力軸承的影響，縱向慣性效應很顯著，將其直接忽略會帶來誤差。

綜上所述，本文針對具有復雜邊界條件的軸系結構，假設縱向位移與橫向位移為同階小量，建立其縱橫耦合下的非線性動力學方程。研究在縱向主共振激勵下并伴隨縱向與橫向間內共振時軸系的非線性動力學響應。