近似公式在航天測(cè)控中的應(yīng)用

倪　興，李曉勇，楊　磊，王旭良，袁小江

(中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部，江蘇 江陰　214431)

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近似公式在航天測(cè)控中的應(yīng)用

倪興，李曉勇，楊磊，王旭良，袁小江

(中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部，江蘇 江陰214431)

摘要：航天測(cè)控中，需要避免過(guò)于復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，提高計(jì)算速度時(shí)，常常運(yùn)用一些近似公式。分析了近似公式的作用、來(lái)源，以及在航天測(cè)控中的一些應(yīng)用情況。提出了一種航天測(cè)量船實(shí)戰(zhàn)使用的簡(jiǎn)化的大氣折射修正公式，并對(duì)事后使用的精確公式進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明，運(yùn)用簡(jiǎn)化的大氣折射修正公式處理后的數(shù)據(jù)在定軌精度上滿足要求，同時(shí)滿足了實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理對(duì)計(jì)算速度的要求。

關(guān)鍵詞：航天測(cè)控；近似公式；大氣折射

本文引用格式：倪興，李曉勇，楊磊，等.近似公式在航天測(cè)控中的應(yīng)用[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(6):174-176.

Citation format:NI Xing, LI Xiao-yong，YANG Lei, et al.Application of Approximate Formula on TT&C System[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(6):174-176.

在航天測(cè)控中，尤其是在數(shù)據(jù)處理中，為了獲取高精度的數(shù)據(jù)，一些數(shù)學(xué)模型和計(jì)算手段比較復(fù)雜，處理時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，但在實(shí)時(shí)的數(shù)據(jù)處理中，要求盡可能快地將數(shù)據(jù)處理完畢，需要避免過(guò)于繁復(fù)的運(yùn)算過(guò)程，提高計(jì)算速度，因此在保證一定精度要求的前提下，應(yīng)用一些近似公式。有時(shí)為了估算或預(yù)報(bào)某些參數(shù)，利用近似公式。

1　近似公式的來(lái)源

獲取近似公式，大致有以下幾種方法。

1.1Tailer公式

如果函數(shù)f(x)滿足條件：① 在區(qū)間[a,b]上有定義；② 在此閉區(qū)間上有一直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)f′(x)，…，f(n)(x)；③ 當(dāng)a

式中

常用的由Tailer公式而來(lái)的近似公式有

這些公式中，x的值越小，則結(jié)果越精確。

1.2精確公式的簡(jiǎn)化

有些近似公式，是對(duì)計(jì)算條件做某種近似假設(shè)或?qū)⒕_公式做適當(dāng)化簡(jiǎn)，例如，在計(jì)算飛行目標(biāo)的地面高度時(shí)，便需要假設(shè)地球是個(gè)球形，設(shè)地球半徑為a，雷達(dá)的測(cè)量元素為R、E、A，由幾何關(guān)系和余弦定理可得

(a+h)2=a2+R2-2aRcos(90°+E)

對(duì)于航天器入軌段或低軌航天器運(yùn)行段，有h?a，于是得近似公式

(1)

1.3經(jīng)驗(yàn)公式

還有一部分近似公式是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果或觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗(yàn)公式，由于試驗(yàn)結(jié)果不可避免含有誤差，因此與試驗(yàn)曲線對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式也都是近似公式。

例如，計(jì)算電波折射指數(shù)的史密斯—文特勞公式

(2)

便是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。

經(jīng)驗(yàn)公式不僅在工程運(yùn)用上具有實(shí)用價(jià)值，而且在理論分析上具有一定的價(jià)值。建立經(jīng)驗(yàn)公式的主要步驟是配置公式類型、決定公式中的系數(shù)、對(duì)公式進(jìn)行檢驗(yàn)3個(gè)過(guò)程。配置經(jīng)驗(yàn)公式，并無(wú)一般的通用方法，其具體形式的確定，是根據(jù)理論的推斷或從試驗(yàn)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)推測(cè)而來(lái)。常用的決定系數(shù)的方法有圖解法、平均法、最小二乘法、相關(guān)分析法[2]。檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，可將已測(cè)知的自變量的值代入函數(shù)中，看計(jì)算出的函數(shù)值與實(shí)測(cè)值相差多少，若誤差太大，則需對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式適當(dāng)修改。

2　近似公式在航天測(cè)控中的應(yīng)用

近似公式在航天測(cè)控中有著廣泛的應(yīng)用，如用于數(shù)據(jù)處理、精度分析、實(shí)時(shí)計(jì)算等。

2.1數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的近似公式很多，如表示三維空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣

(3)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度很小時(shí)，由Tailer公式sinα≈α、cosα≈1可得

(4)

其中A是一個(gè)反對(duì)稱矩陣

(5)

這種極小旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換公式在航天測(cè)控中是很多的，如地心固連坐標(biāo)系與準(zhǔn)地心固連坐標(biāo)系之間的差別是極移的影響，這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為

(6)

由于極移量很小，于是其轉(zhuǎn)換矩陣可寫為

(7)

在數(shù)據(jù)處理中，有時(shí)候空間大地直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)需要互相轉(zhuǎn)換，由大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為大地直角坐標(biāo)的公式是[3]

(8)

式中，N，e2為卯酉圈曲率半徑和參考橢球第一偏心率。

而由大地直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)的公式是

(9)

從上式的第二式可以知道，大地緯度B的計(jì)算公式是一個(gè)隱函數(shù)，不能直接求解，只能通過(guò)迭代法逐步求解。而由近似公式

(10)

式中

(11)

(12)

(13)

(14)

則可以直接求得大地緯度B，經(jīng)測(cè)算，當(dāng)H<10 km時(shí)，公式的精度不低于0.000 01″，對(duì)一般數(shù)據(jù)處理而言，精度已足夠。

2.2精度估計(jì)

我國(guó)大部分雷達(dá)設(shè)備是使用極坐標(biāo)的單站定位體制，主要的測(cè)量元素為R、E、A，對(duì)陸站而言，其設(shè)備位置可以通過(guò)大地測(cè)量精確獲得，并且固定不變，其定位精度就是測(cè)控設(shè)備的精度，而航天測(cè)量船在海上執(zhí)行測(cè)控任務(wù)時(shí)是運(yùn)動(dòng)的，另外受風(fēng)、浪、涌的影響，會(huì)產(chǎn)生船搖、變形，船載測(cè)控設(shè)備同樣受此影響，因此，測(cè)量船的誤差是測(cè)控設(shè)備、船搖、變形、船位誤差的合成[4]。即

(15)

式中：σP為總誤差；σPl為雷達(dá)位置誤差；σPy為船搖位置誤差；σPb為變形位置誤差；σPw為船位位置誤差。

測(cè)量船船位是由慣導(dǎo)系統(tǒng)實(shí)時(shí)獲得的，精度較低，是海上測(cè)量的主要誤差源之一。船位誤差對(duì)目標(biāo)誤差的影響是一種平移偏倚誤差，因地球曲率而被放大，可以用下面的近似公式估計(jì)[5]

(16)

式中：d站址誤差；D為站址誤差引起的目標(biāo)位置誤差；Re為地球平均半徑；h為目標(biāo)高度。由式(1)可得

(17)

船搖姿態(tài)誤差和船體變形誤差可以等效成設(shè)備的方位和俯仰角誤差，如果存在船體姿態(tài)誤差Δkc，Δφc，Δθc，產(chǎn)生的測(cè)量設(shè)備方位和俯仰角等效誤差為

(18)

于是有

(19)

若縱搖與橫搖等精度測(cè)量，即σφc=σθc，由船搖引起的目標(biāo)位置誤差為

(20)

同樣，由變形引起的目標(biāo)位置誤差為

(21)

雷達(dá)本身的目標(biāo)位置誤差為

(22)

將式(17)、式(20)、式(21)、式(22)代入式(15)便可得測(cè)量船定位精度的近似估計(jì)。

2.3實(shí)時(shí)計(jì)算

電波射線在真空中以光速傳播，但在地球上空大氣中傳播時(shí)，由于空間各處大氣成分、濕度、溫度、密度和電離程度都不相同，介質(zhì)特性也極其復(fù)雜，因此其傳播速度發(fā)生了改變，軌跡也發(fā)生了彎曲，因此電波傳播的路徑是曲線，即發(fā)生了折射[6-8]。空間目標(biāo)的定位是用光學(xué)或無(wú)線電方法確定其方位、仰角、距離，由于大氣折射的影響，折射誤差可以遠(yuǎn)大于設(shè)備本身的測(cè)量誤差，因此，必須修正大氣折射誤差。常用的精度較高的大氣折射修正有射線描跡法、高斯分層法，在航天測(cè)量船的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理中，對(duì)時(shí)間有嚴(yán)格的要求，如果要采用高斯分層法精確修正電波折射，隨著精度的提高和觀測(cè)仰角的不同，計(jì)算速度將會(huì)有所變化，無(wú)法滿足實(shí)時(shí)處理對(duì)計(jì)算速度的要求，因此采用以下簡(jiǎn)化的電波折射誤差修正公式。假設(shè)未修正折射誤差的斜距和仰角分別為Re和Ee，而修正電波折射誤差后的觀測(cè)量分別為R和E，則電波折射誤差修正量為

ΔR=0.007 16N0cotEe(h/(h+5 000m))

(23)

ΔE=N0cotEe(h/(h+10 000 m))10-6

(24)

式中：h為目標(biāo)離測(cè)站地面的高度；N0為測(cè)站地面的電波折射指數(shù)。

由式(23)、式(24)兩式，則得到電波折射修正后的觀測(cè)量為

R=Re-ΔR

E=Ee-ΔE

而外測(cè)數(shù)據(jù)事后處理采用的大氣折射修正為高斯分層法，較為復(fù)雜，感興趣者可查閱相關(guān)資料。分別利用實(shí)時(shí)簡(jiǎn)化修正的處理數(shù)據(jù)和事后高斯分層修正的處理數(shù)據(jù)定軌，再與精軌做比較，結(jié)果如表1所示。

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，事后高斯分層修正后的數(shù)據(jù)定軌精度略高，但在量級(jí)上兩種方法大致相當(dāng)，而簡(jiǎn)化大氣折射修正滿足實(shí)時(shí)處理對(duì)計(jì)算速度的要求，因而被廣泛地使用在實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理中。

表1　兩種電波折射修正定軌結(jié)果與精軌差異結(jié)果統(tǒng)計(jì)

3　結(jié)束語(yǔ)

近似公式在航天測(cè)控中有著廣泛的運(yùn)用，可以根據(jù)實(shí)際工作的需要，導(dǎo)出具有一定精度的近似公式，給分析問(wèn)題帶來(lái)方便。

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(責(zé)任編輯楊繼森)

doi:10.11809/scbgxb2016.06.041

收稿日期：2015-12-25；修回日期：2016-01-15

作者簡(jiǎn)介：倪興(1976—)，男，工程師，主要從事海上測(cè)量數(shù)據(jù)處理與精度分析研究。

中圖分類號(hào)：TJ01；V557

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2096-2304(2016)06-0174-03

Application of Approximate Formula on TT&C System

NI Xing, LI Xiao-yong，YANG Lei, WANG Xu-liang, YUAN Xiao-jiang

(China Satellite Maritime Tracking and Controling Department, Jiangyin 214431, China)

Abstract:The approximate formula is often adopted to enhance the computation speed and avoid the complicated calculation. We briefly discussed the source and applications of the related approximate formulae in space-tracking engineering. At last, a new method of a simplified formula about atmospheric refraction correction used on TT&C ship was proposed, and then we compared it with an accurate formula used on accurate handling. The result shows that the accuracy of initial orbit based on simplified formula is satisfied and the speed of compute is satisfied.

Key words:spaceflight test control; approximate formula; atmospheric refraction