孔軸配合的精度預(yù)測與公差優(yōu)化設(shè)計(jì)

呂程　易廣威　劉子建

摘要：以圓柱形孔軸配合的結(jié)合面為研究對象，研究了新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系下多公差項(xiàng)的孔軸配合實(shí)際誤差模型。以圓柱度為例，結(jié)合GPS標(biāo)準(zhǔn)中圓柱面形狀誤差的評定方法，采用蒙特卡洛法模擬誤差的隨機(jī)性，建立了孔軸圓柱面體外擬合尺寸實(shí)際變動(dòng)區(qū)間求解模型，并分析實(shí)際誤差對配合性質(zhì)的影響。分析了包括方向公差（或位置公差）在內(nèi)的三類公差耦合作用下孔軸結(jié)合面誤差的形成機(jī)理，建立了不同配合性質(zhì)下的圓柱形孔軸結(jié)合面的實(shí)際誤差模型，獲得了結(jié)合面誤差分量的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間以及實(shí)際的配合性質(zhì)。實(shí)現(xiàn)了在設(shè)計(jì)階段對孔軸實(shí)際裝配精度的預(yù)測。以實(shí)際的孔軸結(jié)合面精度與配合性質(zhì)要求為約束，孔軸加工成本為目標(biāo)，進(jìn)行了孔軸零件的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后以一孔軸配合的裝配誤差分析與公差優(yōu)化為例，驗(yàn)證了該方法的可行性與實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：蒙特卡洛模擬法；結(jié)合面誤差；裝配精度預(yù)測；配合性質(zhì)；公差優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號：TH115 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

孔軸配合是機(jī)械產(chǎn)品中最常見的重要配合類型之一。根據(jù)產(chǎn)品的功能要求確定孔軸的配合性質(zhì)，進(jìn)行合理的公差設(shè)計(jì)，對保證裝配精度和降低制造成本具有重要的意義。孔軸的裝配精度影響結(jié)合面的接觸狀態(tài)，從而對產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)精度、裝配難易程度和使用壽命等產(chǎn)生影響。因此，進(jìn)行孔軸裝配精度研究具有重要的工程意義。

國內(nèi)外學(xué)者對圓柱形孔軸配合精度的影響因素與建模方法進(jìn)行了大量有意義的研究。徐旭松和黃芳研究了基于新一代GPS規(guī)范體系的SDT公差建模理論，探討了裝配公差分析模型。U.Roy等分析了公差的語義，建立了基于數(shù)學(xué)定義的尺寸公差、形狀公差、定向與定位公差的數(shù)學(xué)模型，用于求解孔軸裝配誤差。Anselmetti將偏差分解為基本幾何元MEDG的變動(dòng)，通過建立約束幾何模型和偏差矢量，計(jì)算孔軸偏差傳遞。周思杭通過對單個(gè)零件及零件間的偏差傳遞分析，建立偏差傳遞模型，提出了基于偏差傳遞模型的裝配精度計(jì)算方法。劉偉東等詳細(xì)闡述了裝配偏差的種類、作用，偏差計(jì)算模型和評價(jià)方法，提出了孔軸配合偏差的有向圖表達(dá)方法。

上述研究重點(diǎn)針對孔軸間的某類公差進(jìn)行，從裝配結(jié)合面角度對存在多種公差耦合作用的孔軸配合裝配誤差建模方法以及加工誤差對配合性質(zhì)影響的研究還比較少見。零件加工誤差通過裝配結(jié)合面?zhèn)鬟f、累積，因此，結(jié)合面是誤差傳遞累積作用的關(guān)鍵點(diǎn)。本文針對圓柱形孔軸配合的裝配結(jié)合面，在考慮多種誤差數(shù)據(jù)隨機(jī)性的基礎(chǔ)上，提出孔軸結(jié)合面裝配誤差的建模方法，分析了實(shí)際誤差對配合性質(zhì)的影響。據(jù)此在設(shè)計(jì)階段實(shí)現(xiàn)對孔軸裝配精度的預(yù)測，并以此為依據(jù)進(jìn)行零件的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)，保證設(shè)計(jì)要求的裝配精度與功能要求的配合性質(zhì)。

1 孔軸圓柱面的誤差與配合性質(zhì)

孔軸圓柱面的加工誤差是孔軸裝配結(jié)合面誤差的主要來源。需首先明確圓柱表面自身的誤差變動(dòng)，因此，此時(shí)圓柱面為單一要素，即除尺寸公差外，只有形狀公差要求。兩者的關(guān)系可以為相互獨(dú)立、相互影響或相互補(bǔ)償，并以具體關(guān)系為依據(jù)判別加工零件是否合格。獨(dú)立原則是處理兩者關(guān)系的基本原則。下面主要討論獨(dú)立原則下圓柱面在尺寸公差與形狀公差要求下的誤差變動(dòng)情況。

1.1 孔軸圓柱面誤差的實(shí)際變動(dòng)分析

以圓柱度作為形狀公差，分析同時(shí)存在尺寸公差和形狀公差要求時(shí)孔軸圓柱面的誤差變動(dòng)。由于形狀誤差的存在使圓柱面的形狀發(fā)生了改變，分析這種改變對孔軸配合性質(zhì)的影響，通常以孔和軸的體外擬合尺寸代替實(shí)際孔軸圓柱面尺寸進(jìn)行配合誤差分析。結(jié)合GPS標(biāo)準(zhǔn)體系中圓柱度誤差的測量與評定方法，可知圓柱度公差作用下的孔軸圓柱面與其體外擬合尺寸的關(guān)系如圖1所示。

圖1中，圓柱的軸線為實(shí)際圓柱面的擬合軸線，T_F為圓柱面形狀公差，D_ae為該圓柱面作為內(nèi)表面（孔）時(shí)的體外擬合尺寸，d_ae為該圓柱面作為外表面（軸）時(shí)的體外擬合尺寸，d_act為任意一處圓柱面的局部實(shí)際尺寸。

設(shè)圓柱面的直徑基本尺寸為D，尺寸公差為T_D，上下偏差分別為T_DU，T_DL（T_D=T_DU-T_DL）?？芍植繉?shí)際尺寸的變動(dòng)區(qū)間為：

上述討論確定了在尺寸公差與形狀公差作用下，圓柱面作為孔和軸表面的體外擬合尺寸的變動(dòng)區(qū)間及約束關(guān)系。但未考慮加工過程的隨機(jī)性，無法確定孔軸圓柱面體外擬合尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間。

1.2 孔軸體外擬合尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間

由于圓柱面加工誤差具有隨機(jī)性，因此孔軸體外擬合尺寸的變動(dòng)也具有隨機(jī)性。本文采用蒙特卡洛法模擬孔軸體外擬合尺寸變動(dòng)的隨機(jī)性，進(jìn)而獲取孔軸體外擬合尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間。蒙特卡洛模擬法是通過對隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)和隨機(jī)模擬來求解問題近似解的方法，具有適應(yīng)性強(qiáng)、方便程序?qū)崿F(xiàn)、求解誤差與問題維數(shù)無關(guān)等優(yōu)點(diǎn)。

蒙特卡洛法求解孔軸體外擬合尺寸實(shí)際變動(dòng)區(qū)間的步驟如下：

1）假設(shè)孔軸體外擬合尺寸符合正態(tài)分布（有效分布范圍6σ）。由式（2）得D_ae，d_ae理想分布的均值及標(biāo)準(zhǔn)差為（D+（T_DL+T_DU-T_F）/2，（T_D+T_F）/6），（D+（T_DL+T_DU+T_F）/2，（T_D+T_F）/6）。

2）進(jìn)行孔軸體外擬合尺寸的模擬抽樣。因約束關(guān)系式（3）的存在，d_ae，D_ae不同的變動(dòng)順序可能導(dǎo)致取值區(qū)間不同。因此，分別對兩種變動(dòng)順序進(jìn)行抽樣。以d_ae→D_ae為例，抽樣流程如圖2所示：

圖2中，k記錄滿足條件的樣本數(shù)量，初值為0；K為每種抽樣順序要求的合格樣本數(shù)，取K=10000；K1為常量，用以防止抽樣過程陷入死循環(huán)。完成抽樣后可得2K組孔軸體外擬合尺寸樣本。

3）因d_ae，D_ae的實(shí)際分布與理想分布存在差異，因此采用x²擬合檢驗(yàn)法對孔軸體外擬合尺寸進(jìn)行假設(shè)驗(yàn)證。若經(jīng)驗(yàn)證屬于正態(tài)分布，則采用極大似然估計(jì)法估計(jì)分布函數(shù)的均值與方差分別為：若經(jīng)驗(yàn)證不屬于正態(tài)分布，則可通過當(dāng)量正態(tài)化法將其轉(zhuǎn)化為等效正態(tài)分布，在此不做詳細(xì)討論。

4）根據(jù)孔軸體外擬合尺寸的實(shí)際分布類型與標(biāo)準(zhǔn)差，查表可得孔軸體外擬合尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間帶寬為：式中：G為相對分布系數(shù)，正態(tài)分布時(shí)G取1。孔軸體外擬合尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間為：

1.3 孔軸配合的實(shí)際配合性質(zhì)

孔軸的配合性質(zhì)與孔和軸圓柱面的尺寸和形狀誤差相關(guān)，直接影響運(yùn)動(dòng)精度、裝配性能等，是保證產(chǎn)品功能的重要因素。由于孔軸實(shí)際表面在隨機(jī)誤差作用下偏離了理想的設(shè)計(jì)尺寸與形狀，可能導(dǎo)致孔軸的配合性質(zhì)超出設(shè)計(jì)范圍。因此，有必要對孔軸的實(shí)際配合性質(zhì)進(jìn)行分析。

孔軸的配合性質(zhì)與孔和軸的體外擬合尺寸直接相關(guān)。根據(jù)孔與軸各自的公差設(shè)計(jì)值，通過蒙特卡洛法分別獲得孔軸體外擬合尺寸樣本。以孔軸配合間隙S_c衡量孔軸配合性質(zhì)。S_c≥0表示最小間隙為0的間隙配合，S_c<0表示過盈配合。可通過對樣本的分析獲取實(shí)際配合性質(zhì)與設(shè)計(jì)要求的配合性質(zhì)之間的關(guān)系。例如，通過對間隙值的分析可得實(shí)際配合性質(zhì)符合設(shè)計(jì)要求的概率。

2 孔軸結(jié)合面誤差建模

圓柱形孔軸結(jié)合面是指具有配合關(guān)系的圓柱形孔軸表面相互貼合形成的一對接觸面?？纵S的尺寸、形狀及方向位置誤差伴隨裝配過程在結(jié)合面處耦合累積形成的結(jié)合面誤差，是影響裝配體誤差傳遞、運(yùn)動(dòng)精度、產(chǎn)品性能與使用壽命等的關(guān)鍵因素。在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段依據(jù)精度設(shè)計(jì)值通過合理的誤差模型進(jìn)行產(chǎn)品裝配精度預(yù)測是驗(yàn)證精度設(shè)計(jì)合理性的重要手段。

2.1 結(jié)合面誤差的形成機(jī)理

孔與軸的理想軸線的相對位姿變動(dòng)體現(xiàn)了孔軸各類誤差在結(jié)合面處綜合作用的效果。下面以孔軸理想軸線的相對位姿變動(dòng)討論結(jié)合面誤差，如圖3所示。

圖3中，孔與軸的表面為實(shí)際體外擬合圓柱面。T_P1，T_P2分別為軸與孔的方向或位置公差。a₁，a₂為軸、孔的理想軸線，a₁′，a₂′為軸、孔的實(shí)際體外擬合圓柱面軸線，l為孔軸的配合長度。

理想裝配（零誤差）時(shí)應(yīng)有a₁與a₂重合，因方向或位置誤差的存在使實(shí)際擬合軸線a₁′與a₂′偏離各自的理想軸線，又因配合間隙等使a₁′與a₂′不重合，形成了結(jié)合面復(fù)雜的誤差形式。以軸為裝配基準(zhǔn)件，結(jié)合面的誤差形成機(jī)理如圖4所示。

2.2 結(jié)合面誤差建模

為方便描述結(jié)合面的誤差變動(dòng)，采用小位移旋量（SmallDisplacementTorsor，SDT）描述結(jié)合面誤差，即S=（α，β，δ，u，v，ω）。其中口，β，δ表示繞x，y，z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微小變動(dòng)量，u，v，ω表示沿x，y，z軸移動(dòng)的微小變動(dòng)量。

根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)中的恒定度概念可知，當(dāng)一個(gè)幾何要素受到自身形狀與方位限制后，仍可沿（或繞）某一坐標(biāo)軸方向平動(dòng)（或轉(zhuǎn)動(dòng)），則其具有該方向上的恒定度，對應(yīng)的SDT分量為0。以垂直度及位置度為例，設(shè)孔軸的理想軸線均為z軸方向（后文均默認(rèn)軸線為z軸方向），其SDT如表1所示。

設(shè)圖3中公差T_P1，T_P2均為具有圓柱形公差域的位置公差。因圓柱面具有徑向同性的特點(diǎn)，因此以過軸線的xoz截面內(nèi)的孔軸位姿為例，分析結(jié)合面的誤差變動(dòng)。結(jié)合面誤差為理想軸線a₂相對于a₁的位姿變動(dòng)（誤差分量為β，ω）。結(jié)合面誤差根據(jù)其形成機(jī)理，各部分誤差分量的變動(dòng)可統(tǒng)一表示如下：式中：β_iU，β_iL為第i部分誤差中誤差分量β變動(dòng)區(qū)間的上、下邊界；ω_iU，ω_iL為第i部分誤差中誤差分量叫變動(dòng)區(qū)間的上、下邊界，-l/2≤x≤l/2（后文中x取值均為該區(qū)間）。則結(jié)合面誤差為：

各部分誤差中，各誤差分量變動(dòng)區(qū)間的邊界取值如下：

1）i=11時(shí)，位置公差T_P1限制了a₁到a₁′的誤差變動(dòng)，因此β_iU=-β_iL=T_P1/l，ω_iU=-ω_iLT_P1/2。

2）i=12時(shí)，a₁'到a₂'的誤差變動(dòng)與孔軸具體的配合性質(zhì)直接相關(guān)，具體如下：

a）過盈配合時(shí)，因孔軸圓柱表面完全貼合，因此軸線重合，無相對位姿變動(dòng)。β_i=0，ω_i=0。

b）間隙配合時(shí)，因配合間隙S_c=D₂-D₁，使孔軸產(chǎn)生相對位姿變動(dòng)。因此有β_iU=-β_iL=S_c/l，ω_iU=-ω_iL-S_c/2。D₁，D₂為軸、孔實(shí)際體外擬合尺寸。

3）i=22時(shí)，位置公差T_P2限制了a₂'到a₂的誤差變動(dòng)，因此β_iU=-β_iL=T_P2/l，ω_iU=-ω_iLT_P2/2。

結(jié)合式（5）與步驟1）～3）的誤差分量變動(dòng)區(qū)間，通過蒙特卡洛法分別獲得各β_iU與各叫ω_iU的變動(dòng)區(qū)間，由式（6）可得結(jié)合面誤差分量的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間。

圓柱面直徑尺寸公差域和形狀公差域均徑向同性，若孔與軸的位置公差域也徑向同性（如公差域?yàn)閳A柱區(qū)域），則結(jié)合面誤差的SDT為（0，β，δ，0，v，ω），且δ₁₂=β₁₂，v₁₂=ω₁₂。否則δ₁₂與v₁₂需根據(jù)各部分誤差源對應(yīng)的公差域特點(diǎn)具體分析，在此不再贅述。根據(jù)設(shè)計(jì)給定的公差值及上述結(jié)合面誤差模型可實(shí)現(xiàn)具體孔軸配合的裝配精度預(yù)測。

3 孔軸配合的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)

加工成本是進(jìn)行公差設(shè)計(jì)需要考慮的主要因素。如果經(jīng)誤差分析與裝配精度預(yù)測后，孔軸裝配精度或配合性質(zhì)不滿足設(shè)計(jì)要求，則需改進(jìn)公差設(shè)計(jì)來減小誤差，提高配合質(zhì)量。進(jìn)行公差優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在滿足精度與配合要求的前提下，同時(shí)滿足加工的經(jīng)濟(jì)性。

遺傳算法是源于自然遺傳進(jìn)化機(jī)制的搜索優(yōu)化算法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于公差優(yōu)化研究中。本文以加工成本為目標(biāo)，結(jié)合面裝配精度與配合間隙為約束條件，且滿足公差設(shè)計(jì)時(shí)T_D>T_P>T_S的基本原則，其中T_D為尺寸公差，T_P為位置公差，T_S為形狀公差。設(shè)孔與軸的各項(xiàng)公差的公差域均有徑向同性的特點(diǎn)，即結(jié)合面誤差的SDT為（0，β，δ，0，V，ω），且δ=β，V=ω。按照帶約束優(yōu)化問題的表達(dá)形式，孔軸配合的公差優(yōu)化問題可表達(dá)如下：式中：C_F（T）為加工成本函數(shù)；n為公差項(xiàng)數(shù)；m為約束不等式g_i（T）的數(shù)量。

上述問題的約束不等式多為復(fù)雜的隱式函數(shù)，因此優(yōu)化過程也非常復(fù)雜。為兼顧工程經(jīng)濟(jì)性與計(jì)算效率，本文將以一合理的計(jì)算代數(shù)作為優(yōu)化過程的結(jié)束條件，因此需保證優(yōu)化過程中的每組迭代點(diǎn)均處于約束的可行域內(nèi)。而內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法是在處理不等式約束優(yōu)化問題中滿足上述需求的一種十分有效的方法。因此，本文選取內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法將上述問題轉(zhuǎn)化為非約束問題。根據(jù)約束g_i（T）≤0，可取懲罰項(xiàng)為：式中：c為下降系數(shù)，c<1，一般可取c=0.5～0.7。初始懲罰因子r^（0）的選取應(yīng)適當(dāng)，r^（0）選取過小時(shí)，可能導(dǎo)致函數(shù)形態(tài)變壞，r^（0）選取過大將使收斂速度下降，計(jì)算效率降低，但可保證計(jì)算過程的穩(wěn)定性。通常，初始點(diǎn)的選擇應(yīng)使懲罰項(xiàng)在適應(yīng)度函數(shù)中不起到主導(dǎo)作用。遺傳算法公差優(yōu)化流程如圖5所示。

圖5中G為優(yōu)化過程的計(jì)算代數(shù)。Φ_min為計(jì)算過程中的優(yōu)化結(jié)果，其初始值由當(dāng)前公差設(shè)計(jì)值根據(jù)式（7）計(jì)算。

4 實(shí)例分析

圖6為孔軸配合零件的公差設(shè)計(jì)圖。要求孔軸結(jié)合面誤差分量β₁₂，δ₁₂位于區(qū)間[-0.005，0.005]內(nèi)，v₁₂，ω₁₂位于區(qū)間[-0.1200，0.1200]內(nèi)，且滿足設(shè)計(jì)圖給定配合間隙的概率不小于98%。

由圖5可知，設(shè)計(jì)的配合間隙為[0，0.25]。設(shè)計(jì)給出的軸的尺寸公差、位置公差、形狀公差分別為T_D1=0.1（T_OU1=0，T_DL1=0.1），T_P1=0.08，T_P1=0.04，孔的尺寸公差、位置公差、形狀公差分別為T_D2=0.15（T_DU2=0.15，T_DL2=0），T_P2=0.1，T_P2=0.04?？着c軸的各項(xiàng)公差的公差域均徑向同性。根據(jù)前文所述方法，通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)結(jié)合面誤差求解、配合性質(zhì)分析及公差優(yōu)化設(shè)計(jì)。過程如下：

1）通過蒙特卡洛模擬分別求得孔軸實(shí)際體外作用尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間，通過對模擬結(jié)果的樣本分析獲得孔軸實(shí)際配合間隙的分布，如圖7所示。

圖7中，滿足配合要求的概率為98.9%，滿足設(shè)計(jì)要求，即雖然產(chǎn)生了超出配合要求的過盈配合，但概率很小，可忽略其影響。

2）由于孔與軸的位置公差域均徑向同性，可知結(jié)合面誤差的SDT為（0，β，δ，1，v，ω），且δ₁₂=β₁₂，v₁₂=ω₁₂，因此，可僅針對β₁₂與叫ω₁₂進(jìn)行求解。結(jié)合面誤差分量的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間為：

另外，為驗(yàn)證結(jié)合面誤差求解方法的精確效果，通過極值法求得結(jié)合面誤差分量的變動(dòng)區(qū)間如下：對比兩種方法所求的結(jié)合面誤差，如表2所示。

由表2可知，本文所述的方法較極值法求得的結(jié)合面誤差的變動(dòng)區(qū)間寬度平均下降了18.18%。但實(shí)際的精度仍然未達(dá)到精度設(shè)計(jì)要求。在此，進(jìn)行公差的優(yōu)化設(shè)計(jì)以提高精度，滿足裝配精度要求。

3）孔軸表面的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用文獻(xiàn)給出的加工成本模型，也是加工成本最常用的模型：

a）軸的尺寸與形狀公差成本函數(shù)：b）孔的尺寸及形狀公差成本函數(shù)：

代人計(jì)算得總公差加工成本為15.21。

根據(jù)圖5所示流程，通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)公差的優(yōu)化設(shè)計(jì)。遺傳算法的基本參數(shù)為：種群規(guī)模M-100，交叉概率R-0.8，變異概率Pm-0.05，計(jì)算代數(shù)G-200。優(yōu)化結(jié)果（保留兩位小數(shù)）如表3所示。

根據(jù)公差優(yōu)化值可得優(yōu)化后的配合間隙滿足配合要求的概率為98.10%，零件公差加工成本為11.72?？梢?，通過公差的優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足精度要求的前提下大幅降低了加工成本。

本文所述的結(jié)合面誤差求解方法考慮了多種公差的耦合作用，可更準(zhǔn)確地預(yù)測裝配精度和實(shí)際配合性質(zhì)，并提供了公差優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，從而滿足孔軸配合的精度要求，并降低了加工成本。

5 結(jié)論

本文采用蒙特卡洛模擬法模擬圓柱面實(shí)際加工誤差的隨機(jī)變動(dòng)，求得了孔與軸的體外擬合尺寸的實(shí)際變動(dòng)區(qū)間，分析了實(shí)際的配合性質(zhì)。以孔軸配合的結(jié)合面誤差為研究對象，研究了包括尺寸公差、形狀公差、位置（或方向）公差在內(nèi)的多種公差耦合作用的圓柱形孔軸結(jié)合面誤差的形成機(jī)理，建立了孔軸結(jié)合面的實(shí)際誤差模型，為在設(shè)計(jì)階段較準(zhǔn)確地預(yù)測孔軸實(shí)際配合性質(zhì)與裝配精度提供了有效方法。同時(shí)給出了基于遺傳算法的孔軸各項(xiàng)公差的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。論文通過圓柱形孔軸結(jié)合面誤差分析與公差優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，驗(yàn)證了本文研究方法的可行性、實(shí)用性與經(jīng)濟(jì)性。