水壓力作用下巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型研究

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(1.中鋼集團馬鞍山礦山研究院 金屬礦山安全與健康國家重點實驗室，安徽 馬鞍山 243004； 2.河海大學 江蘇省巖土工程技術(shù)工程研究中心， 南京 210098； 3.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京 210098)

1 研究背景

巖石作為一種天然材料，其內(nèi)部蘊含各種先天缺陷，如微裂紋、孔隙、孔洞、節(jié)理、裂隙等，在力學性質(zhì)上表現(xiàn)出不連續(xù)、不均勻和各向異性的特征[1]。由于巖石賦存于一定的地質(zhì)環(huán)境中，這些缺陷為地下水提供了貯存和運移的場所。水壓力改變巖石內(nèi)部的應力-應變狀態(tài)，使得巖石的力學特性變得十分復雜。因此，研究水壓力作用下巖石的變形損傷規(guī)律顯得尤為重要。

目前前人對水壓力作用下巖石的變形特征作了研究：邢福東等[2]、周青春等[3]等通過巖石在孔隙水壓-圍壓作用下的三軸壓縮試驗，得出峰值破壞強度與圍巖呈正相關(guān)關(guān)系，與孔隙水壓力呈負相關(guān)關(guān)系的結(jié)論；李玉壽等[4]研究了煤巖在不同圍壓和水壓作用下的變形特性和聲發(fā)射特征，得到煤巖的峰值強度、殘余強度隨圍壓增高而增大，隨孔隙水壓力增高而降低的結(jié)論，并且屈服前聲發(fā)射事件較少，屈服后聲發(fā)射才趨于活躍。在巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型研究方面：溫韜等[5]建立巖石統(tǒng)計損傷模型，并進行了耗散能的分析；周永強等[6]考慮殘余強度和閾值影響建立巖石統(tǒng)計損傷模型；康亞明等[7]選取Mises屈服強度準則，基于微元強度服從Weibull分布，建立了水壓力作用下煤巖的損傷本構(gòu)模型；王偉等[8]通過有效應力原理引入孔隙水壓力，采用Drucker-Prager準則(D-P準則)強度準則構(gòu)建了考慮孔隙水壓力的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。但是，曹文貴等[9]、石崇等[10]、曹瑞瑯等[11]、王軍保等[12]在建立統(tǒng)計損傷模型時都指出D-P準則和摩爾-庫倫準則(M-C準則)存在不足，選擇采用Hoek-Brown準則建立的模型具有較好的適用性，但是他們建立的模型均沒有考慮水壓力的作用。

因此，在前人研究的基礎(chǔ)上，本文在多孔介質(zhì)理論框架內(nèi)，考慮水壓力對巖石力學特性的影響，采用有效應力原理，基于Hoek-Brown強度準則，建立水壓力作用下巖石統(tǒng)計損傷模型；并根據(jù)殘余強度和峰值強度對模型進行修正，通過室內(nèi)試驗對模型進行驗證，以期所建的模型能夠反映水壓力作用下巖石的變形特性。

2 水壓力作用下巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的建立

根據(jù)Lemaitre應變等價性理論，巖石的損傷本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(1)

水壓力作用下巖石的損傷本構(gòu)關(guān)系，可以根據(jù)王偉等[8]的研究，在多孔介質(zhì)彈性理論框架內(nèi)，滲流應力耦合作用下的有效應力張量可表示為

(2)

巖石受壓過程中，裂紋的產(chǎn)生、擴展和匯合具有隨機和統(tǒng)計的特征。把巖石看作是一系列有缺陷的微元體，巖石微元強度準則可以統(tǒng)一表示為

f(σij)-k=0 。

(3)

式中：f(σij)為應力函數(shù);k為材料參數(shù)。

(4)

假定巖石微元強度服從Weibull隨機分布，即

(5)

式中n，F(xiàn)0為Weibull分布參數(shù)。

把式(5)代入式(4)計算可得損傷變量D為

(6)

由于M-C準則和D-P準則作為統(tǒng)計損傷模型的破壞準則時，均存在不足[10-11]，因此本文采用Hoek-Brown強度準則描述微元強度，Hoek-Brown強度準則用不變量可以表示為[12,14]

(7)

其中：

(8)

(9)

對于常規(guī)三軸試驗，軸向應力σ1、第二主應力σ2、圍壓σ3這三者滿足σ1>σ2=σ3，此時θ為30°。把式(2)代入式(7)，根據(jù)有效應力和名義應力的關(guān)系可以將Hoek-Brown強度準則變換為

(10)

假定巖石的應力-應變關(guān)系服從廣義胡克定律，主方向的應力-應變關(guān)系可以表示為

(11)

σ1=Eε1(1-D)+2μσ3+(1-2μ)pw。(12)

把式(12)代入式(10)，得到用名義應力表示的Hoek-Brown強度準則為

(13)

根據(jù)王偉等[8]、張明等[15]的研究，試驗中記錄的軸向偏應力σ1t實際上為軸向應力σ1和圍壓σ3的差值，即

σ1t=σ1-σ3。

(14)

軸向應力施加前的初始應變ε10可以表示為

(15)

真實的軸向應變ε1為試驗測量應變值ε1t與初始應變ε10之和，即

ε1=ε1t+ε10。

(16)

把式(6)、式(14)—式(16)代入到式(12)—式(13)就可以得到水壓作用下基于Hoek-Brown準則的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，即

(17)

其中，

A1=Eε1t+(1-2μ)(σ3-pw) 。

楊圣奇等[16]、曹瑞瑯等[11]對損傷變量進行修正并用于描述巖石殘余強度特征。本文根據(jù)巖石變形特征，在2種特征的基礎(chǔ)上對損傷變量修正系數(shù)η重新定義為

(18)

式中：σr為峰后殘余強度；σ1p為峰值強度。

損傷變量修正后的有效應力可以表示為

(19)

依照前面的推導過程，可以建立水壓力作用下基于殘余強度修正的巖石統(tǒng)計損傷模型為

(2μ-1)(σ3-pw) 。

(20)

其中,

(21)

3 模型參數(shù)確定

在統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型研究中，現(xiàn)有的確定統(tǒng)計參數(shù)的方法有線性擬合法[8, 12-13]、峰值點法[11, 16-17]、反演分析法[15]、曲線擬合法(非線性回歸法)[18]等。峰值點法是利用峰值點處應力取得最大值以及峰值點處斜率為0，建立方程組求解模型參數(shù)，其優(yōu)點是能夠在峰值點處能夠很好地擬合，缺點是需要求解方程導數(shù)，求解模型參數(shù)較為繁瑣。曲線擬合法是利用最小二乘原理，對試驗數(shù)據(jù)進行非線性擬合處理來求解模型參數(shù)，優(yōu)點是操作簡單方便。本文分別采用峰值點法和曲線擬合法進行模型參數(shù)的求解，給出模型計算參數(shù)。

設(shè)P點(ε1p，σ1p)為全應力-應變曲線的峰值點，利用峰值點法計算模型參數(shù)需要滿足2個條件：

(1)峰值點處模型等式兩邊相等。

(2)峰值點處的導數(shù)為0。

將峰值點代入式(20)可得

(2μ-1)(σ3-pw) 。

(22)

其中，

A2=Eε1p+(1-2μ)(σ3-pw) 。

對式(20)兩邊進行求導，將峰值點(ε1p，σ1p)代入，使得導數(shù)等于0,即當ε1t=ε1p，且σ1t=σ1p時，有

(23)

聯(lián)立式(22)和式(23)可以求得

(24)

其中：

如果不考慮峰后殘余強度的影響，不對損傷變量進行修正，可以令η=1，得到?jīng)]有損傷修正的模型參數(shù)值。

圖1 不同水壓力作用下理論曲線與試驗曲線對比Fig.1 Comparison of curves between theoretical andexperimental results under different water pressures

4 模型驗證與參數(shù)分析

4.1 模型驗證

通過對文獻[4]的試驗數(shù)據(jù)進行分析，求出Hoek-Brown準則經(jīng)驗參數(shù)m=40.6，巖石單軸抗壓強度平均值為σc=21.8 MPa。選取圍壓為8 MPa，孔隙水壓力為0，1，3，5 MPa的巖石應力-應變曲線，泊松比處理后為0.32，采用修正后的本構(gòu)方程對試驗結(jié)果進行計算，得到不同水壓力作用下試驗曲線與修正模型理論曲線對比結(jié)果，如圖1所示，模型參數(shù)見表1。

表1 不同水壓力作用下統(tǒng)計損傷模型參數(shù)Table 1 Parameters of the statistical damage modelunder different water pressures

從圖1可知，試驗數(shù)據(jù)包含有殘余強度，因此采用基于殘余強度修正的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型對試驗數(shù)據(jù)進行計算。結(jié)果表明：修正后的統(tǒng)計損傷模型與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，能夠描述巖石的殘余強度，隨著水壓力的增大，吻合度越來越高；通過比較未修正的模型和修正模型的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，如果試驗數(shù)據(jù)包含殘余強度，采用峰值點法的未修正模型可以在峰值前段和峰值點處擬合效果很好，但在峰值點后模型擬合得較差，也不能反映巖石的殘余強度；采用峰值點法修正后的模型，在峰后段能夠反映出軟化特性，同時也可以反映出巖石殘余強度；采用曲線擬合法的未修正模型在整個變形過程中，吻合度都比較差；而采用曲線擬合法的修正后模型，吻合度最好。

從表1可以看出，隨著水壓力的增大，峰值強度和殘余強度都呈減小趨勢，修正系數(shù)在0.75左右，模型參數(shù)n隨著水壓的增大有增大的趨勢，而參數(shù)F0則呈現(xiàn)出減小的趨勢。對比曲線擬合法和峰值點法求解的參數(shù)值可以發(fā)現(xiàn)，曲線擬合法求得的參數(shù)規(guī)律性不強，而峰值點法計算的參數(shù)規(guī)律性較明顯，所以建議采用峰值點法進行參數(shù)求解。

綜合圖1和表1的分析可知，本文建立的水壓作用下的統(tǒng)計損傷模型能夠較好地描述水壓作用下巖石的變形規(guī)律和特征，證明所建模型具有合理性，模型參數(shù)的求解建議采用峰值點法。

4.2 模型參數(shù)規(guī)律分析

4.2.1 損傷修正系數(shù)

選取文獻[4]中水壓力為3 MPa時的試驗數(shù)據(jù)，保持其他參數(shù)不變，損傷修正系數(shù)從0.5逐漸增大到1，研究損傷修正系數(shù)對巖石全應力-應變曲線的影響，結(jié)果如圖2所示。

圖2 損傷修正系數(shù)η對巖石全應力-應變曲線的影響Fig.2 Influence of damage correction coefficient η onthe full stress-strain curve

由圖2可知，損傷修正系數(shù)的變化對應力-應變曲線峰值前段沒有影響，對峰后段有顯著的影響，即隨著損傷修正系數(shù)的增大，巖石的殘余強度逐漸減小。

4.2.2 模型參數(shù)n和F0

同樣地，選取文獻[4]中水壓力為3 MPa時的試驗數(shù)據(jù)，保持其他參數(shù)不變，分別使模型參數(shù)n從6增加至14，模型參數(shù)F0從1.00×105增加至1.20×105，分析模型參數(shù)n和F0對巖石全應力-應變曲線的影響。結(jié)果如圖3所示。

圖3 模型參數(shù)n和F0對巖石全應力-應變曲線的影響Fig.3 Influences of model parameters n and F0 onthe full stress-strain curve

由圖3(a)可知，隨著n的增大，巖石的脆性越來越明顯，參數(shù)n主要反映巖石脆性特征以及巖石材料內(nèi)部微元強度分布集中程度，n越大，巖石材料的脆性越高。從圖3(b)可以看出，隨著參數(shù)F0的增大，巖石的強度增大，表明參數(shù)F0反映巖石宏觀統(tǒng)計平均強度的大小。這與文獻[7]和文獻[10]的結(jié)論相一致。結(jié)合分析圖1和表1，結(jié)果表明隨著水壓力的增大，巖石的脆性逐漸增大，巖石的強度逐漸減小。

4.2.3 水壓力對損傷變量的影響

利用式(6)分析文獻[4]中圍壓8 MPa時的結(jié)果，得到不同水壓力pw下巖石的損傷變量-應變曲線，如圖4所示。從圖4可以看出，水壓力不變的情況下，巖石的損傷程度在加載初期幾乎為0，但隨著應變量的增大，巖石的損傷程度會在某一時刻開始增大，并且是急劇變大，直到巖石破壞，破壞前損傷速率又逐漸減小。

圖4 不同水壓力作用下巖石損傷變量與應變的關(guān)系
Fig.4 Relationship between water pressure and damagevariables under different water pressures

5 結(jié) 論

(1)基于Hoek-Brown準則建立水壓力作用下的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，并利用殘余強度對模型進行修正。通過試驗數(shù)據(jù)驗證了模型的合理性，比較2種不同的模型參數(shù)確定方法，發(fā)現(xiàn)峰值點法效果較好，計算出的參數(shù)規(guī)律性更好，建議采用峰值點法確定模型參數(shù)。

(2)通過分析損傷修正系數(shù)η和模型參數(shù)n，F(xiàn)0對巖石全應力-應變曲線的影響可見，損傷修正系數(shù)η越大，殘余強度越小；參數(shù)n反映巖石的脆性，其值越大，巖石的脆性度越高；參數(shù)F0反映巖石的宏觀強度，F(xiàn)0越大，巖石的強度越高。此外，巖石的損傷程度隨著水壓力的增大而增大。