奇異熵矩陣束算法及其在次同步振蕩模態(tài)參數(shù)辨識中的應(yīng)用

劉曉建，李　娟，焦邵華

（1.北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100192；2.北京四方繼保自動化股份有限公司，北京 100084）

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奇異熵矩陣束算法及其在次同步振蕩模態(tài)參數(shù)辨識中的應(yīng)用

劉曉建1，李娟1，焦邵華2

（1.北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100192；2.北京四方繼保自動化股份有限公司，北京 100084）

摘要：基于奇異譜提出的奇異熵概念用于對次同步振蕩模態(tài)的定階，采用與矩陣束算法結(jié)合的奇異熵矩陣束算法對電力系統(tǒng)的次同步振蕩參數(shù)進(jìn)行辨識。首先選取加入噪聲的理想信號對Prony算法與奇異熵矩陣束算法的有效性、辨識精度、最小頻率間隔辨識值及辨識所需最小數(shù)據(jù)量等辨識能力進(jìn)行比較分析；然后分別利用兩種算法對IEEE第1標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)及某實(shí)際串補(bǔ)輸電工程模型進(jìn)行進(jìn)一步分析驗(yàn)證。分析結(jié)果表明，奇異熵矩陣束算法具有有效性，可以方便、準(zhǔn)確地確定模態(tài)階數(shù)，提高頻率分辨率，降低所需數(shù)據(jù)量，而且具有很強(qiáng)的抗噪能力和較高的辨識精度。

關(guān)鍵詞：次同步振蕩；奇異熵；矩陣束算法；模態(tài)階數(shù)；模態(tài)參數(shù)辨識

隨著電網(wǎng)的不斷擴(kuò)大，串補(bǔ)輸電和直流輸電越來越的應(yīng)用于電源基地遠(yuǎn)距離向電網(wǎng)輸電及區(qū)域電網(wǎng)互聯(lián)。由此引起的次同步振蕩SSO（subsyn?chronous oscillation）問題對發(fā)電機(jī)組及區(qū)域電網(wǎng)的安全性構(gòu)成了嚴(yán)重的威脅［1］，次同步振蕩發(fā)生后，發(fā)電機(jī)軸系將與某個(gè)或多個(gè)機(jī)網(wǎng)聯(lián)合系統(tǒng)交換能量，這會嚴(yán)重影響到大型汽輪發(fā)電機(jī)軸系的安全，極端情況會出現(xiàn)大軸裂縫甚至斷裂［2］。為了規(guī)避SSO的發(fā)生以及對SSO及時(shí)有效的控制，就必須要對SSO進(jìn)行全面的分析。因此，對SSO模態(tài)參數(shù)的有效準(zhǔn)確辨識就變得至關(guān)重要。

自發(fā)現(xiàn)次同步振蕩以來，國內(nèi)外學(xué)者在模態(tài)辨識方面做了深入研究，提出許多方法應(yīng)用于模態(tài)辨識取得了顯著成果，也有某些方面的不足。這些方法主要有快速傅里葉FFT（fast Fourier transform）方法［3-4］、Prony算法［5-6］、基于希爾伯特-黃變換HHT （Hilbert-Huang transform）方法［7-8］和矩陣束MP（ma?trix pencil）方法［9-12］。FFT僅可較為準(zhǔn)確地反映出振蕩的頻率，對于其他參數(shù)則無法準(zhǔn)確辨識；Prony算法利用復(fù)指數(shù)函數(shù)對信號的強(qiáng)行擬合不易定階、會產(chǎn)生大量的虛假模態(tài)，且對噪聲非常敏感；HHT方法可能出現(xiàn)對模態(tài)的漏辨識現(xiàn)象。

對大量分析方法的研究可發(fā)現(xiàn)，信號模態(tài)階數(shù)過少時(shí)會出現(xiàn)模態(tài)漏識別現(xiàn)象，信號模態(tài)階數(shù)過多則會出現(xiàn)過度擬合的虛假模態(tài)信息。因此，能否準(zhǔn)確的確定信號的模態(tài)階數(shù)對模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確辨識至關(guān)重要。本文利用基于奇異譜的奇異熵［13-15］與矩陣束結(jié)合的方法，奇異熵增量譜可以在噪聲干擾下得到對所辨識信號的有效特征信息進(jìn)行準(zhǔn)確抽取所需的奇異譜階次，這樣可以方便準(zhǔn)確地確定信號模態(tài)階數(shù)；矩陣束算法則采用內(nèi)積方式提高抗噪聲的能力且又屬于非迭代解法，所以又可以在降低計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地辨識出模態(tài)的參數(shù)。

1　奇異熵矩陣束算法的基本原理

奇異熵矩陣束算法除了對模態(tài)階數(shù)的定階外，其他模態(tài)信息的提取步驟與矩陣束法相同［16］，總體步驟如下。

（1）利用原信號（實(shí)測數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)）y（kTs）（k=1,2,…,N-1,N），構(gòu)造Hankel矩陣Y為

式中，L為矩陣束參數(shù)，恰當(dāng)?shù)倪x擇L可以抑制噪聲干擾，通常取L=N/4～N/3。

對Y作奇異分解，Y=UDVT，得到奇異矩陣D為（N-L）×（L+1）階對角矩陣，其主對角元素di為Y的第i個(gè)奇異值。其中，U為（N-L）×（N-L）的正交矩陣，V為（L+1）×（L+1）階的正交矩陣。

（2）奇異熵。

由Hankel作奇異分解得到的矩陣D，其元素di（i=1,2,…,m）是非負(fù)的，并按降序排列，即d1≥d2≥…dm≥0。其中m=min｛｝N-L,L+1，令

Hankel矩陣經(jīng)奇異值分解得到的奇異譜則為βi（i=1,2,…,m）序列。

為了考察信號信息量隨奇異譜階次的變化情況，在此定義k階奇異熵為

式中，ΔEi為i階奇異熵的增量，且有

信號的奇異熵值越大，說明信號越復(fù)雜，信號所含的信息也就越豐富。

（3）確定模態(tài)階數(shù)。

隨著信號有效特征信息量趨于飽和，奇異熵增量會迅速收斂到有界值，此刻特征信息已基本保持完整，且此時(shí)的奇異譜的階次即是信號模態(tài)階數(shù)，之后奇異熵增量的微小變動是因?yàn)檎`差所致，可忽略不做考慮?；谝陨蟽?yōu)點(diǎn)，即使對于較為大的噪聲，當(dāng)信號有效信息量趨于飽和時(shí)，奇異熵的增量都會收斂到某有界值，出現(xiàn)明顯的跳變，可方便地提取出拐點(diǎn)對應(yīng)的階數(shù)n，即信號模態(tài)階數(shù)。

（4）構(gòu)造新矩陣D′。

確定最大模態(tài)階數(shù)n后，由D的前n個(gè)非零奇異值形成新矩陣D′為

式中，D′為（N-L）×n階矩陣，前n個(gè)奇異值組成一個(gè)n×n的對角陣，后N-L-n行為由0元素組成的一個(gè)（N-L-n）×n矩陣。D′矩陣有效地降低了噪聲的影響。

（5）模態(tài)參數(shù)的求解。

對Hankel矩陣Y進(jìn)行奇異分解得到的矩陣V中拿出n個(gè)主導(dǎo)右奇異向量構(gòu)成（L+1）×n階矩陣V′，對V進(jìn)行相關(guān)處理獲得兩個(gè)新矩陣V1、V2。其中V1是從V′中刪除最后一行得到的L×n階矩陣，V2是從V′中刪除第一行得到的L×n階矩陣。從而可以構(gòu)造兩個(gè)（N-L）×L階矩陣Y1和Y2′為

Y1和Y2已經(jīng)是降噪處理的響應(yīng)，并認(rèn)為Y1和Y2是由系統(tǒng)真實(shí)響應(yīng)x（t）得到，即

由Y1和Y2構(gòu)造矩陣束Y2-λY1，并將 x（k）=整理得

式中：I為n×n階單位矩陣；其他矩陣形式為

由式（10）可知，當(dāng)λ與所有極點(diǎn)zi都不相等時(shí)，Y2-λY1的秩為n；當(dāng)λ與某一極點(diǎn)zi相等時(shí)，矩陣Z2-λI的第i行全為零，從而使Y2-λY1的秩降為n-1。因此，信號的極點(diǎn)zi（i=1,2,…,n）恰好是矩陣束Y2-λY1的廣義特征值，從而可以將求解信號極點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣束Y2-λY1廣義特征值的問題，即求解如下矩陣G的特征值

式中，Y1+是Y1的偽逆矩陣。

留數(shù)Ri的求解可由式（16）通過最小二乘法得

進(jìn)而可得到各分量的幅值、相位、頻率和衰減因子，計(jì)算公式為

式中，Ts為采樣周期。

2　與Prony算法辨識對比

2.1最小辨識頻率間隔

構(gòu)造理想信號

其中：

為了驗(yàn)證奇異熵矩陣束算法對參數(shù)辨識的有效性，分別為理想信號式（22）～式（24）加入20 dB、25 dB、30 dB的高斯白噪聲，并設(shè)采樣間隔為0.01 s、采樣時(shí)間為0～2 s。即：

將式（25）的采樣間隔設(shè)置為0.01，分為頻率間隔為1 Hz（7 Hz、8 Hz、9 Hz）、0.5 Hz（8 Hz、8.5 Hz、9 Hz）、0.3 Hz（8 Hz、8.3 Hz、8.6 Hz）、0.2 Hz（8 Hz、8.2 Hz、8.4 Hz）4種情況，利用奇異熵矩陣束算法對4種理想信號x進(jìn)行辨識；然后再將式（25）分為頻率間隔為1 Hz（7 Hz、8 Hz、9 Hz）、0.9 Hz（7 Hz、7.9 Hz、8.8 Hz）、0.8 Hz（7 Hz、7.8 Hz、8.6 Hz）、0.7 Hz（7 Hz、7.7 Hz、8.4H z）另外4種情況，利用Prony算法對4種理想信號x進(jìn)行辨識，結(jié)果如表1所示。

表1　兩種辨識方法頻率分辨率結(jié)果比較Tab.1　Frequeney resolution comparison between two identification methods

由表1可知，兩種算法均可有效地辨識頻率參數(shù)。當(dāng)頻率間隔逐漸減小時(shí)，辨識結(jié)果的相對誤差呈增大趨勢，且Prony算法的辨識結(jié)果的相對誤差要大于奇異熵矩陣束算法。兩種辨識算法對頻率參數(shù)的辨識精度均逐漸降低，當(dāng)頻率間隔變?yōu)?.2 Hz時(shí)，奇異熵矩陣束算法出現(xiàn)了漏辨識現(xiàn)象；當(dāng)頻率間隔變?yōu)?.7 Hz，Prony算法就出現(xiàn)了漏辨識現(xiàn)象。奇異熵矩陣束的辨識能力和辨識精度都明顯高于Prony方法。

2.2最小辨識所需數(shù)據(jù)量

（1）將式（25）的頻率間隔設(shè)置為1 Hz（7 Hz、8 Hz、9 Hz），采樣時(shí)間分別設(shè)置為2 s、1 s、0.6 s、0.5 s，利用奇異熵矩陣束算法分別對理想信號4種采樣時(shí)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻率辨識；再將理想信號的采樣時(shí)間分別設(shè)置為2 s、1.2 s、1 s、0.9 s，利用Prony算法分別對這4種情況下的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻率辨識，結(jié)果如表2所示。

表2　兩種辨識方法結(jié)果比較（1 Hz）Tab.2　Comparison between two identification methods（1 Hz）

由表2可知，當(dāng)頻率參數(shù)間隔相同（均為1 Hz）時(shí)奇異熵矩陣束算法辨識所需的最小數(shù)據(jù)量要小于Prony算法。

（2）將式（25）的頻率間隔設(shè)置為2 Hz（6 Hz、8 Hz、10 Hz），采樣時(shí)間分別設(shè)置為2 s、1 s、0.4 s、0.3 s，利用奇異熵矩陣束算法和Prony算法分別對理想信號4種采樣時(shí)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻率辨識，結(jié)果如表3所示。

表3　兩種辨識方法結(jié)果比較（2 Hz）Tab.3　Comparison between two identification methods（2 Hz）

由表3可知，當(dāng)參數(shù)間隔增大為2 Hz時(shí)雖然所需最小采樣數(shù)據(jù)量相同，但是在相同數(shù)據(jù)量下，奇異熵矩陣束算法的辨識精度明顯高于Prony算法，即要想得到相同辨識精度Prony算法所需的數(shù)據(jù)量要明顯大于奇異熵矩陣束算法所需的數(shù)據(jù)量。

由表2和表3對比可知，當(dāng)兩種算法所要辨識的頻率間隔變大時(shí)，所需最少數(shù)據(jù)量將會減少，而且辨別精度也會提高。

3　算例分析

3.1標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)

采用IEEE第1標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)模型為研究算例模型（圖1），軸系自然扭振頻率為15.71 Hz、20.21 Hz、25.55 Hz、32.28 Hz、47.75 Hz。在模型中B處于1.5 s設(shè)置三相接地短路，擾動持續(xù)時(shí)間為0.075 s。

圖1IEEE第1標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)Fig.1　IEEE first benchmark system model

取發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速信號作為采樣信號，為驗(yàn)證奇異熵矩陣束算法的有效性，對仿真得到的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速信號疊加20 dB的高斯白噪聲，局部轉(zhuǎn)速信號如圖2所示。

圖2　發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速信號Fig.2　Speed signal of generator

由奇異熵法可以得階數(shù)為p=12，且將階數(shù)偏大（p=14）或偏?。╬=8）的矩陣束算法辨識結(jié)果分別和Prony算法對以上仿真信號進(jìn)行參數(shù)辨識，在次同步振蕩范圍內(nèi)辨識結(jié)果如表4所示。

表4　頻率辨識結(jié)果Tab.4　Identification results of frequency Hz

由表4可知，在模態(tài)定階存在偏差時(shí)矩陣束算法可能出現(xiàn)錯(cuò)誤辨識，當(dāng)階數(shù)偏小時(shí)出現(xiàn)了模態(tài)漏辨識，當(dāng)階數(shù)偏大時(shí)出現(xiàn)了虛假模態(tài)。Prony法與奇異熵矩陣束算法對次同步振蕩頻率范圍內(nèi)的主導(dǎo)模態(tài)參數(shù)的辨識結(jié)果近似，均可以有效辨識仿真信號。但Prony辨識結(jié)果中不但含有次同步頻率范圍內(nèi)的主導(dǎo)模態(tài)，而且還產(chǎn)生了45.1589Hz、40.9724Hz、36.269 1 Hz等其他的虛假模態(tài)，并且改變信噪比時(shí)，辨識結(jié)果會出現(xiàn)很大的浮動，當(dāng)信噪比較低時(shí)甚至有些模態(tài)無法辨識出來；而奇異熵矩陣束算法可以很方便地得出信號模態(tài)階數(shù)，并且噪聲對其辨識結(jié)果的影響很小。

3.2實(shí)際工程算例

實(shí)際工程模型采用上都電廠送出系統(tǒng)，模型結(jié)構(gòu)圖3所示。該電廠為4臺參數(shù)相同的汽輪機(jī)組，集中參數(shù)軸系模型包括高中壓缸、低壓缸A、低壓缸B和發(fā)電機(jī)4個(gè)質(zhì)塊；其輸電線路包括上都-承德線（簡稱上承線，2回路243 km）和承德-姜家營線（簡稱承姜線，2回路130 km）。系統(tǒng)通過上承和承姜接入華北電網(wǎng)，固定串補(bǔ)安裝在上承雙回線的承德站一側(cè)，算例中華北電網(wǎng)在姜家營站處簡化為一個(gè)含內(nèi)阻的等值電源，承德地區(qū)的電網(wǎng)等值為一個(gè)等值發(fā)電機(jī)和一個(gè)集中負(fù)荷，經(jīng)兩臺變壓器接入承德站的母線。

圖3　上都電廠串補(bǔ)輸電系統(tǒng)Fig.3　Single-line diagram of Shangdu series compensation system

電廠的4臺機(jī)組參數(shù)相同，軸系與電氣系統(tǒng)之間存在的3個(gè)次同步扭振模態(tài)分別為15.30 Hz、26.12 Hz和30.25 Hz［17］。以上算例模型在典型串補(bǔ)度為30%串補(bǔ)下，在上承雙回線的一回線路承德側(cè)設(shè)置三相短路接地故障（故障發(fā)生時(shí)間為仿真后3 s、故障持續(xù)時(shí)間為0.1 s），然后取發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速信號作為采樣信號進(jìn)行參數(shù)辨識，辨識結(jié)果見表5。

通過表5可知，奇異熵矩陣束算法可有效辨識出上都實(shí)際工程算例的3個(gè)次同步扭振模態(tài)。利用奇異熵矩陣束算法辨識的參數(shù)擬合所得的轉(zhuǎn)速曲線如圖4所示，由圖4可知，擬合所得轉(zhuǎn)速曲線與原始轉(zhuǎn)速曲線的誤差較小，因此利用奇異熵矩陣束算法可有效的分析電力系統(tǒng)中的SSO問題。

表5　上都信號辨識結(jié)果Tab.5　Identification results of Shangdu signal

圖4　發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線Fig.4　Speed curves of generator

4　結(jié)語

利用奇異熵矩陣束算法可以方便、準(zhǔn)確地確定信號的模態(tài)階數(shù)，可以剔除虛假模態(tài)信息，提高了抗噪聲能力和計(jì)算準(zhǔn)確率，并且可以提高頻率分辨率和降低辨識所需數(shù)據(jù)量，準(zhǔn)確地辨識出輸電系統(tǒng)的振蕩模態(tài)參數(shù)，為SSO的進(jìn)一步抑制措施提供了重要的參數(shù)支撐。

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中圖分類號：TM712

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1003-8930（2016）06-0031-06

DOI：10.3969/j.issn.1003-8930.2016.06.006

作者簡介：

劉曉建（1988—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)次同步振蕩分析及抑制研究。Email：516332568@qq.com

李娟（1972—），女，碩士，副教授，研究方向?yàn)閭鞲袡z測技術(shù)及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究。Email：Ljtx2004@163. com

焦邵華（1972—），男，博士，教授級高工，研究方向?yàn)榇瓮秸袷幖皺C(jī)組扭振保護(hù)及抑制。Email：jiaosh@sf-auto.com

收稿日期：2014-10-14；修回日期：2015-11-25

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51147001 51477010）；北京市重點(diǎn)學(xué)科——檢測技術(shù)與自動化裝置學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目資助（5111523302）。

Singular Entropy Matrix Pencil Method and Its Application to Parameters Identification of Subsynchronous Oscillation Modes

LIU Xiaojian1，LI Juan1，JIAO Shaohua2
（1.School of Automation，Beijing Information Science and Technology University，Beijing 100192，China；2.Beijing Sifang Automation Co.，Ltd.，Beijing 100084，China）

Abstract：This paper based on the concept of singular spectrum is applied to determine the order of subsynchronous os?cillation modes，and singular entropy matrix pencil algorithm combined with matrix pencil algorithm to identify parame?ters of synchronous oscillation on power system identification.First the added noise of the ideal signal is selected to car?ry out comparative analysis of Prony algorithm and singular entropy matrix pencil algorithm in the aspect of validity，ac?curacy，minimum frequency interval identification value and the minimum amount of data needed for identification，etc.Then the IEEE first benchmark system and the actual series compensation project are further analyzed and verified by using two algorithms.The analysis results show that the singular entropy matrix algorithm is effective，can be conve?niently and accurately determine the modal order number，improve frequency resolution，reduce the amount of data re?quired，and have strong antinoise ability and higher recognition accuracy.

Key words：subsynchronous oscillation（SSO）；singular entropy；matrix pencil algorithm；modal order；modal param?eter identification