基于描述函數(shù)法的航天器非儲能噴氣控制器分析與設計*

鄧 雅 張錦江 馬艷紅,2 蔡 彪

1.北京控制工程研究所, 北京100190 2.空間智能控制技術重點實驗室, 北京100190

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基于描述函數(shù)法的航天器非儲能噴氣控制器分析與設計*

鄧 雅1張錦江1馬艷紅1,2蔡 彪1

1.北京控制工程研究所, 北京100190 2.空間智能控制技術重點實驗室, 北京100190

針對航天器噴氣發(fā)動機模擬式控制器中的非儲能型非線性控制系統(tǒng)進行分析設計。以Schmitt觸發(fā)器環(huán)節(jié)為例，基于描述函數(shù)法計算極限環(huán)交點，并利用系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出，得到穩(wěn)態(tài)極限環(huán)特性，計算描述函數(shù)意義下極限環(huán)頻率誤差界，給出控制器參數(shù)整定方法。通過仿真實例驗證該方法通用、有效，為工程應用提供參考。 關鍵詞 噴氣控制; 描述函數(shù)法; 非線性環(huán)節(jié); Nyquist圖

作為航天器上重要的執(zhí)行機構之一，噴氣發(fā)動機(或稱推力器)能夠提供較大的控制力矩，但通常只有開和關兩種狀態(tài)，使得控制輸出不連續(xù)，是一類典型的非線性系統(tǒng)，其控制器的分析和設計存在較大難度。

按照噴氣控制器的類別，可分為模擬式控制器與數(shù)字式控制器[1]。其中模擬式控制器主要以Schmitt觸發(fā)器為基本組件，附加校正環(huán)節(jié)，結構簡單，性能可靠，可采用模擬電路實現(xiàn)，是早期航天器控制的主要實現(xiàn)方式。在此基礎上，依據(jù)附加校正環(huán)節(jié)的不同，通常有PWPF(Pulse-Width Pulse-Frequency)調制器、PRM(Pseudo-rate Modulator)調制器等[2]。文獻[3]給出幾類調制器的結構及靜態(tài)特性，所得結果可以為控制器的設計提供參考。數(shù)字計算機出現(xiàn)后，數(shù)字式控制器應運而生，例如相平面控制器[4-5]，效率提升的同時也增加了復雜程度。文獻[6-9]分別給出了航天飛機和國際空間站俄羅斯艙段的反作用噴氣相平面控制系統(tǒng)結構。然而，無論是模擬式還是數(shù)字式控制器均不可避免地引入了非線性環(huán)節(jié)，工程上處理非線性的一個重要方法是描述函數(shù)法，也稱諧波平衡法，由P. J. Daniel于1940年首先提出。文獻[10-12]介紹了NASA開發(fā)的基于描述函數(shù)法的INCA (Interactive Controls Analysis)軟件，該軟件基于描述函數(shù)的定義，給出了描述函數(shù)的數(shù)值辨識方法，可以用來輔助帶撓性附件航天器的噴氣控制系統(tǒng)的分析和設計。文獻[13]基于描述函數(shù)的數(shù)值辨識，分析相平面噴氣控制器的穩(wěn)定性并評估穩(wěn)定裕度。

由于計算的復雜性，目前針對基于描述函數(shù)法的研究大多局限于定性分析，設計上仍依靠經(jīng)驗試湊法，急需一種更加精確實用的分析和設計方法。

本文考慮模擬式噴氣控制器，以Schmitt觸發(fā)器構成的系統(tǒng)為例，對非儲能型非線性控制系統(tǒng)進行分析設計。計算描述函數(shù)意義下的極限環(huán)交點，分析極限環(huán)穩(wěn)態(tài)特性。繼而分析極限環(huán)頻率誤差，給出控制器參數(shù)調整方法。最后通過仿真實例進行驗證，該方法具有通用性，能夠為工程應用提供參考。

1 描述函數(shù)法

圖1為典型非線性系統(tǒng)框圖，其中G(s)為系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)，具有低通濾波特性，N(A)為系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)。對于非儲能型的非線性環(huán)節(jié)，其描述函數(shù)是輸入正弦信號幅值為A的函數(shù)[14]，記為N(A)。

圖1 非線性系統(tǒng)框圖

該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采用將-1/N(A)和G(jω)繪制在同一個Nyquist圖中，若G(jω)曲線不包圍-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若包圍，則不穩(wěn)定；若存在交點，則可能形成極限環(huán)，需要進一步根據(jù)運動方向分析穩(wěn)定性[14]。根據(jù)系統(tǒng)特征方程

N(A)G(jω)+1=0

產生極限環(huán)的條件為

(1)

2 以Schmitt觸發(fā)器為例的非儲能非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)分析和設計

Schmitt觸發(fā)器是構成模擬式噴氣控制器的重要元素，具有典型的非儲能型非線性特性，根據(jù)前述基于描述函數(shù)法的分析和設計流程，本節(jié)以Schmitt觸發(fā)器構成的控制系統(tǒng)為例進行分析。

2.1Schmitt觸發(fā)器控制系統(tǒng)結構

Schmitt觸發(fā)器為帶有死區(qū)和滯環(huán)的典型非儲能非線性環(huán)節(jié)，結構形式如圖 2所示，其中，uon和uoff分別為Schmitt觸發(fā)器的開門限和關門限電壓，ui和uc分別為輸入和輸出電壓，輸入輸出函數(shù)關系[1]見式(2)。

圖2 Schmitt觸發(fā)器

(2)

由Schmitt觸發(fā)器及帶有速度反饋的超前校正網(wǎng)絡構成的系統(tǒng)結構如圖3所示。

圖3 帶有Schmitt觸發(fā)器的航天器控制系統(tǒng)

其中，I為航天器慣量，u為Schmitt觸發(fā)器輸出，Tc為額定控制力矩，τ為速率反饋增益。輸入θr為期望姿態(tài)角度，輸出θ為實際姿態(tài)角度。

2.2 基于描述函數(shù)的頻域特性分析

首先將Schmitt觸發(fā)器構成的控制系統(tǒng)變換為圖 1所示的標準形式，系統(tǒng)回路中線性部分

(3)

非線性部分為Schmitt觸發(fā)器，其描述函數(shù)具有解析表達式[14]

(4)

定義

huon-uoff

針對該系統(tǒng)，給出描述函數(shù)意義下極限環(huán)交點的解析表達式。

定理1 考慮如圖3所示的系統(tǒng)，其描述函數(shù)意義下的極限環(huán)交點為SDF(ADF,ωDF)

(5)

(6)

其中，ΔDF

ωDF為極限環(huán)頻率，ADF為極限環(huán)幅值，即姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差幅值。

(7)

(8)

聯(lián)立方程組(7)的第2式和式(8)，消去ξ，可得關于ω的方程，由于ω為實數(shù)，取方程實根

其中，ΔDF

相應的極限環(huán)幅值為將ωDF代入方程組(7)的第2式解得

2.3 基于極限環(huán)分析的穩(wěn)態(tài)性能計算

由于Schmitt觸發(fā)器結構簡單，穩(wěn)態(tài)信號確定，根據(jù)文獻[8]給出的結論，直接利用其穩(wěn)態(tài)極限環(huán)時域特性，可以得到精確的極限環(huán)的解ST(AT,ωT)，其中AT為極限環(huán)幅值，表示姿態(tài)控制精度，ωT為極限環(huán)頻率，即2π/P，P為極限環(huán)周期。

引理1 考慮如圖 3所示的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)極限環(huán)特性為

(9)

(10)

ωT為極限環(huán)頻率，AT為極限環(huán)幅值。

(11)

如圖4所示，其穩(wěn)態(tài)極限環(huán)左右兩端為拋物線，中間段為平行于橫軸的直線，開關線方程在圖中標出，狀態(tài)運動軌跡沿實線箭頭方向，ta，tb，tc，td為狀態(tài)切換時刻。

聯(lián)立拋物線和開關線方程，可得ta和td時刻對應開關點的縱坐標xa 2和xd 2，二者相等，可解得極限環(huán)幅值為

從而

即為姿態(tài)角速度控制精度。

將ta和td時刻對應開關點的橫坐標xa1和xd1作差，由tda，tbc階段為勻速運動，得

故極限環(huán)周期為

頻率為

圖4 Schmitt觸發(fā)器穩(wěn)態(tài)極限環(huán)示意圖

2.4 基于描述函數(shù)法和極限環(huán)分析的輔助設計

在所得極限環(huán)特性基礎上，描述函數(shù)法可以用來為控制器設計提供幫助，根據(jù)圖 3可以分別畫出線性部分和非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的Nyquist圖，易知該交點為穩(wěn)定極限環(huán)交點。由于描述函數(shù)法為近似方法，存在一定的誤差，通過比較式(5)和式(9)，可給出下面的定理。

定理2 考慮如圖 3所示的系統(tǒng)，其在描述函數(shù)下所求得的極限環(huán)頻率與頻率真值存在誤差，誤差上界為

Δω=ωT-ωDF

誤差絕對值下界為

證明 利用式(5)和式(9)計算頻率誤差可得

(12)

得到極限環(huán)頻率誤差上界。

研究誤差絕對值的下界，利用Minkowski不等式的伴隨不等式：若r>1，則

等號成立條件為ab…l=0。于是，

由于不等號右邊均為正項，因而不存在取等式的情形。進一步化簡可得

于是，

為得到適當?shù)目刂破鲄?shù)，可依據(jù)以下步驟進行基于描述函數(shù)法的Schmitt觸發(fā)器設計：

步驟1：將閉環(huán)系統(tǒng)中的線性部分整理為一個環(huán)節(jié)G(jω)；

步驟2：選取一組初始參數(shù)，根據(jù)式(5)和式(6)計算初始極限環(huán)頻率ωDF和幅值ADF，在同一個Nyquist圖中繪出此時的G(jω)和-1/N(A)，初始交點處的系統(tǒng)性能通常是可能引發(fā)共振的且不滿足指標要求的；

步驟3：在初始參數(shù)處分別計算?ω/?uon，?ω/?uoff和?ω/?τ，得到參數(shù)調節(jié)的方向；

步驟4：根據(jù)步驟3的結果對參數(shù)進行調節(jié)和數(shù)學仿真。

該方法給出的是針對Schmitt觸發(fā)器回路的設計，但具有較強的通用性，其他非儲能非線性環(huán)節(jié)可采用類似的方法進行基于描述函數(shù)方法設計。

3 仿真實例

本節(jié)將針對某航天器模型，采用Schmitt觸發(fā)器構成的控制回路，驗證上述非儲能環(huán)節(jié)的描述函數(shù)方法。

3.1 被控對象

以某帶有撓性附件的航天器為例，其傳遞函數(shù)模型可寫成：

(13)

給定模型參數(shù)如下：

α=0.15，ωa=-0.0023±0.45j，Ka=1。

3.2Schmitt觸發(fā)器仿真

給定初始Schmitt觸發(fā)器參數(shù)如下：

uon=0.7，uoff=0.3，τ=0.7。

根據(jù)定理1和定理2分別計算極限環(huán)頻率，可得

ωT=0.4298rad/s，ωDF=0.4281rad/s。

振蕩環(huán)節(jié)頻率ωa=0.45rad/s，即所形成極限環(huán)的交點與振蕩頻率非常接近。仿真結果如圖5所示。

圖5 Schmitt觸發(fā)器共振情形下仿真結果

通過仿真可以看出，由于極限環(huán)頻率與撓性固有頻率接近，引發(fā)了明顯共振現(xiàn)象，對系統(tǒng)性能產生較大影響，需要通過調節(jié)參數(shù)使極限環(huán)頻率遠離撓性固有頻率。

經(jīng)計算

根據(jù)上述規(guī)則調節(jié)參數(shù)為

參數(shù)調整前后的系統(tǒng)Nyquist圖如圖6所示，在不改變穩(wěn)定性的前提下，將交點向遠離撓性固有頻率方向移動，調整后的極限環(huán)頻率為

圖6 參數(shù)調整前后的系統(tǒng)Nyquist圖

調整后仿真結果如圖(7)所示。從仿真結果可以看出，將極限環(huán)頻率移走后，共振現(xiàn)象明顯減弱，穩(wěn)態(tài)誤差不變，系統(tǒng)動態(tài)性能提升。

4 結論

基于描述函數(shù)法，研究了模擬式噴氣姿態(tài)控制系統(tǒng)的分析和設計問題?？紤]能夠寫出解析表達式的非儲能非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，以Schmitt觸發(fā)器為例，聯(lián)立方程，可求得其與線性環(huán)節(jié)交點的解析表達式。進一步通過時域下穩(wěn)態(tài)極限環(huán)的特性，可求得極限環(huán)精確解，將二者進行比較，給出了描述函數(shù)法的誤差界。在此基礎上，給出了控制器參數(shù)調節(jié)步驟和依據(jù)。最后，通過仿真實例，驗證了算法的有效性和實用性。

圖7 Schmitt觸發(fā)器非共振情形下仿真結果

本文論述的控制器分析和設計方法，具有一定的通用性，可適應大多數(shù)非儲能型非線性環(huán)節(jié)的分析。同時，文中的設計準則，給出了參數(shù)調整的依據(jù)和方向，改進了以往僅依據(jù)經(jīng)驗的試湊，為工程應用提供了參考。

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Analysis and Design of Nonstorage Jet Controller of Spacecraft Based on Describing Function Method

Deng Ya1, Zhang Jinjiang1, Ma Yanhong1,2, Cai Biao1

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Tosolvethenonlinearelementprobleminjetcontrollerofspacevehicleactuators,describingfunctionisemployedtostudytheanalyzinganddesigningmethod.Asatypicalnonstoragenonlinearelement, Schmitttriggerisusedasanexampletogivetheanalyticalsolutionoflimitcycle.Accordingtothesteadystateoutputofthesystem,thecharacteristicsoflimitcyclearegiven.Toestimatetheaccuracyofdescribingfunction,errorboundsoffrequencyarecalculated.Atlast,themethodisverifiedfromnonlinearsimulations.

Jetcontrol;Describingfunction;Nonlinearelement; Nyquistdiagram

*空間智能控制技術重點實驗室基金(9140C590107130C59211)

2015-05-21

鄧 雅(1988-)，女，石家莊人，博士研究生，主要研究方向為航天器控制；張錦江(1973-)，男，黑龍江人，博士，研究員，主要研究方向為航天器控制、制導與仿真；馬艷紅(1980-)，女，山西人，博士，高級工程師, 主要研究方向為大型航天結構體的姿態(tài)控制和魯棒控制；蔡 彪(1980-)，男，山西人，高級工程師，主要研究方向為航天器導航、制導與控制系統(tǒng)設計和集成測試。

V448

A

1006-3242(2016)01-0064-06