基于增益分配的航天器高精度指向跟蹤控制

董天舒 何英姿,2

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

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基于增益分配的航天器高精度指向跟蹤控制

董天舒1何英姿1,2

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

研究剛體衛(wèi)星的高精度大角度指向跟蹤控制問(wèn)題。為保證姿態(tài)描述的全局性，由修正Rodrigues參數(shù)描述相對(duì)姿態(tài)。設(shè)計(jì)PD型姿態(tài)指向跟蹤控制器，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)角度跟蹤和角速度跟蹤。為提高控制精度，同時(shí)避免控制輸出進(jìn)入飽和域，本文在控制器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了增益分配律。通過(guò)數(shù)值仿真，在存在初始指向偏差和輸出飽和約束條件下，控制器可實(shí)現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對(duì)靜止軌道衛(wèi)星的高精度姿態(tài)指向跟蹤。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量存在常值誤差時(shí)，控制器仍然適用。 關(guān)鍵詞 姿態(tài)指向跟蹤；PD型控制；增益分配

在一些空間任務(wù)中，需要航天器對(duì)合作或非合作目標(biāo)進(jìn)行大角度指向跟蹤，例如進(jìn)行監(jiān)視、抓捕或者加注任務(wù)。其中難度較大的是大橢圓軌道衛(wèi)星對(duì)靜止軌道衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)指向跟蹤任務(wù)，在任務(wù)中衛(wèi)星本體系X軸要實(shí)時(shí)指向靜止軌道上的目標(biāo)衛(wèi)星。由于兩星軌道交會(huì)時(shí)間短、視線方向變化大、變化快，衛(wèi)星指向跟蹤過(guò)程需要進(jìn)行大角度快速機(jī)動(dòng)，對(duì)控制器要求具備高精度的大角度跟蹤和角速度跟蹤能力。

文獻(xiàn)[1-2]說(shuō)明了非線性狀態(tài)反饋控制方法能實(shí)現(xiàn)剛體航天器姿態(tài)rest-to-rest 型機(jī)動(dòng)控制。文獻(xiàn)[3]指出了利用期望姿態(tài)和航天器實(shí)際姿態(tài)的相對(duì)姿態(tài)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，可將姿態(tài)跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)相對(duì)姿態(tài)的調(diào)節(jié)問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]給出一種基于四元數(shù)的PD型控制器，可實(shí)現(xiàn)角度跟蹤和角速度跟蹤。文獻(xiàn)[5]針對(duì)剛體衛(wèi)星受外力矩干擾時(shí)的姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了在一定條件下相對(duì)姿態(tài)可全局漸進(jìn)穩(wěn)定的PD型控制器。文獻(xiàn)[6]對(duì)近地軌道小衛(wèi)星的跟蹤控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，對(duì)輸出力矩存在飽和約束，給出一個(gè)近似全局收斂的PD型姿態(tài)跟蹤控制器。文獻(xiàn)[7]針對(duì)剛體衛(wèi)星，給出基于磁力矩器和單/雙反作用輪的PD型姿態(tài)跟蹤控制器。

本文在相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了PD型姿態(tài)指向跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星大角度跟蹤和角速度跟蹤。由于控制輸出存在飽和約束，本文設(shè)計(jì)了增益分配律，可在提高控制精度的同時(shí)避免控制輸出進(jìn)入飽和域。通過(guò)仿真表明，該控制器能實(shí)現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對(duì)靜止軌道衛(wèi)星高精度姿態(tài)指向跟蹤，同時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常值誤差有很好的魯棒性。

1 問(wèn)題描述

1.1 剛體衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型

本體系下，衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(1)

其中，C為衛(wèi)星本體系相對(duì)慣性系的方向余弦矩陣，ω為衛(wèi)星本體相對(duì)慣性系的角速度。(·)×運(yùn)算定義為：

剛體衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(2)

其中,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，Td為空間環(huán)境干擾力矩，uc為控制力矩。

1.2 指向跟蹤期望姿態(tài)描述

與姿態(tài)跟蹤不同的是，指向跟蹤中的期望姿態(tài)有明確的定義。根據(jù)任務(wù)要求，跟蹤衛(wèi)星的本體X軸要實(shí)時(shí)指向目標(biāo)衛(wèi)星，首先在軌道系下定義指向方位角α和仰角β。

圖1 期望姿態(tài)的定義

圖1中,Ooxoyozo系為衛(wèi)星的第二軌道坐標(biāo)系，zo軸由衛(wèi)星質(zhì)心指向地心，xo軸在軌道平面內(nèi)與zo軸垂直并指向衛(wèi)星速度方向，yo軸與xo和zo軸右手正交并垂直于軌道平面的法線；rbt為由衛(wèi)星質(zhì)心指向目標(biāo)衛(wèi)星質(zhì)心的單位向量；方位角α為rbt在xoOozo平面上的投影與xo軸的夾角，仰角β為rbt與rbt在xoOozo平面上的投影之間的夾角。

指向跟蹤期望姿態(tài)可通過(guò)2次主軸轉(zhuǎn)動(dòng)得到，方向余弦矩陣Cro：

(3)

相對(duì)慣性系的期望角速度可表示為

(4)

其中，ωo為衛(wèi)星第二軌道系相對(duì)慣性系的角速度。

1.3 相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型

描述相對(duì)姿態(tài)有多種方法，例如歐拉角法、四元數(shù)法、Rodrigues參數(shù)法和修正Rodrigues參數(shù)法(MRPs)。但是，歐拉角法在姿態(tài)轉(zhuǎn)角為π/2時(shí)，存在奇異點(diǎn)，不適用于描述相對(duì)姿態(tài)大范圍變化的情況；四元數(shù)法不存在奇異點(diǎn)，有很好的全局性，但在SO(3)空間內(nèi)不連續(xù)，可能引起unwinding現(xiàn)象[8]；Rodrigues參數(shù)在姿態(tài)轉(zhuǎn)角為π時(shí)，存在奇異，同樣不適用于描述相對(duì)姿態(tài)大范圍變化的情況。MRPs是剛體姿態(tài)近似全局的最小描述方法，不存在四元數(shù)的單位約束條件，易于實(shí)現(xiàn)。其在姿態(tài)轉(zhuǎn)角為2π時(shí)存在奇異，在實(shí)際應(yīng)用中相對(duì)姿態(tài)不容易達(dá)到這一點(diǎn)，可認(rèn)為是近似全局的，因此本文采用MRPs描述相對(duì)姿態(tài)。定義MRPs：

(5)

其中，q0，qi(i=1,2,3)為四元數(shù)參數(shù)。

方向余弦矩陣表示相對(duì)姿態(tài)，可表示為：

(6)

式中,Cbo為衛(wèi)星本體系相對(duì)軌道系的方向余弦矩陣，δσ為由MRPs描述的相對(duì)姿態(tài)。根據(jù)MRPs定義，δσ與四元數(shù)[δq0,δqv]有如下關(guān)系：

(7)

式(7)等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)

(8)

(9)

δω為航天器角速度誤差，定義為：

δω=ω-Cbr(δσ)ωri

(10)

其中，ω為衛(wèi)星本體相對(duì)慣性系的角速度，ωri的定義參見(jiàn)式(4)。

將式(7)和(9)帶入式(8)，可得到相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(11)

式(10)等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，有

式(12)等號(hào)兩側(cè)乘以衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J，再將式(2)帶入式(12)，可得到相對(duì)姿態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程：

JCbr(δσ)ωri-J(Cbr(δσ)ωri)×δω-

(13)

2 姿態(tài)指向跟蹤控制律設(shè)計(jì)

2.1 輸出飽和約束

考慮到衛(wèi)星能提供的輸出力矩是有限的，為貼近實(shí)際情況，這里對(duì)控制力矩設(shè)定飽和約束條件。控制力矩uc在本體系下表述為：

(14)

其中,ucx，ucy和ucz為投影在本體系主軸上的控制力矩，統(tǒng)一表示為uci,i=x,y,z。

輸出飽和約束可表示為：

(15)

2.2PD型控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)設(shè)計(jì)了PD型控制器，并嚴(yán)格證明控制器可使相對(duì)姿態(tài)δσ和相對(duì)角速度δω漸進(jìn)穩(wěn)定。式(15)可見(jiàn)，輸出力矩的飽和約束為強(qiáng)非線性，本節(jié)假設(shè)控制器輸出是在線性域內(nèi)。參考文獻(xiàn)[4]的PD型控制器設(shè)計(jì)思路，定義中間變量ωc和ωt,

(16)

其中，kv,kp為正實(shí)數(shù)。

ωt定義為：

(17)

假設(shè)ωt滿(mǎn)足以下條件：

(18)

為使ωt滿(mǎn)足式(18)條件，將式(17)等號(hào)兩側(cè)乘以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J并對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有

(19)

并將式(11)和(13)帶入式(19)，可得到控制律uc為

(20)

下面利用Lyapunov理論證明控制器(式(20))可使相對(duì)姿態(tài)δσ和相對(duì)角速度δω漸進(jìn)穩(wěn)定。選擇Lyapunov函數(shù)為：

(21)

式(21)等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并將式(11),(17)和(18)代入，有

(22)

(23)

(24)

證畢。PD型控制器可使相對(duì)姿態(tài)δσ和相對(duì)角速度δω漸進(jìn)穩(wěn)定，說(shuō)明控制器能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)指向跟蹤。

3 增益分配律

當(dāng)航天器指向跟蹤存在初始指向偏差時(shí)，若控制器參數(shù)kp和kv的取值較大，控制輸出會(huì)進(jìn)入飽和域；如果控制器參數(shù)選取的數(shù)值較小，使控制輸出保持在線性域內(nèi)，當(dāng)指向跟蹤穩(wěn)定后，控制器又難以敏感小角度偏差，無(wú)法實(shí)現(xiàn)高精度的指向跟蹤。為解決這一矛盾，本文設(shè)計(jì)了增益分配律：

(25)

其中，t0，tt為增益切換時(shí)刻，(kv 0,kp0)和(kvt,kpt)分別為初始控制參數(shù)和穩(wěn)態(tài)控制參數(shù)。

通過(guò)初始控制參數(shù)(kv 0,kp0)的選取，可實(shí)現(xiàn)初始指向誤差的收斂，并且避免控制輸出進(jìn)入飽和域；通過(guò)穩(wěn)態(tài)控制參數(shù)(kv t,kpt)的選取可實(shí)現(xiàn)指向跟蹤進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后高精度指向跟蹤。增益分配律則提供了控制參數(shù)從(kv0,kp0)到(kvt,kpt)的途徑，保證在參數(shù)切換過(guò)程中閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，同時(shí)控制輸出在過(guò)程中不發(fā)生跳變，這一結(jié)論可通過(guò)仿真證明。

4 數(shù)值仿真

4.1 仿真參數(shù)

為驗(yàn)證控制器的有效性，利用Simulink軟件搭建閉環(huán)系統(tǒng)，對(duì)大橢圓軌道衛(wèi)星(跟蹤星)指向跟蹤靜止軌道衛(wèi)星(目標(biāo)星)進(jìn)行數(shù)值仿真。下面給出仿真中的關(guān)鍵參數(shù)。

跟蹤星和目標(biāo)星軌道要素如表1。

表1 衛(wèi)星軌道要素

跟蹤星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為：

為驗(yàn)證控制器的魯棒性，設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差陣δJ，主軸誤差取1%：

跟蹤星初始角速度ω(0)設(shè)為0，初始姿態(tài)由初始指向偏差設(shè)定，初始指向偏差為：初始方位角α0=2°，初始仰角β0=1°?？刂破黠柡图s束設(shè)定為：ucimax=60N·m,ucimin=-60N·m,i=x,y,z。

控制器參數(shù)kv與kp的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖2(a)，kv隨時(shí)間的變化曲線見(jiàn)圖2(b)。

圖2 控制器參數(shù)變化曲線

4.2 仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)果可見(jiàn)圖3～9。圖3為跟蹤星與目標(biāo)星相對(duì)距離隨時(shí)間的變化曲線。圖4為期望姿態(tài)、期望角速度曲線。從圖3和4中可見(jiàn)兩星交會(huì)時(shí)間很短，從初始時(shí)刻到兩星距離10km處僅65s，整個(gè)指向跟蹤過(guò)程僅130s，在整個(gè)跟蹤過(guò)程中，期望姿態(tài)的變化在俯仰軸方向有范圍大、變化快的特點(diǎn)。

圖5為由修正Rodrigues參數(shù)描述的相對(duì)姿態(tài)的變化曲線。圖6為相對(duì)角速度變化曲線。圖7為跟蹤過(guò)程中控制力矩輸出曲線。由圖5～7可見(jiàn)，存在初始指向偏差和輸出飽和約束的條件下，控制器能實(shí)現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對(duì)靜止軌道目標(biāo)衛(wèi)星的指向跟蹤，相對(duì)姿態(tài)δσ和相對(duì)角速度δω可在20s內(nèi)收斂，說(shuō)明控制器具有良好的跟蹤性能。通過(guò)增益分配律的設(shè)計(jì)，控制輸出力矩沒(méi)有進(jìn)入飽和域，并且始終為平滑曲線。

圖3 大橢圓軌道衛(wèi)星與目標(biāo)星相對(duì)距離曲線

圖4 期望姿態(tài)及期望角速度曲線

為比較不同控制器的控制精度，在相同仿真環(huán)境內(nèi)對(duì)文獻(xiàn)[4]中的“PD+型姿態(tài)跟蹤控制器”進(jìn)行仿真，并與本文設(shè)計(jì)的控制器仿真結(jié)果對(duì)比，見(jiàn)圖8，“PD+”表示文獻(xiàn)[4]的仿真結(jié)果，“MRP”為本文設(shè)計(jì)的控制器的仿真結(jié)果。定義指向夾角ε為衛(wèi)星本體X軸與rbt(見(jiàn)圖1)的夾角，由ε衡量指向跟蹤精度。從圖8(a)可見(jiàn)，兩種控制器均能實(shí)現(xiàn)指向跟蹤，初始指向誤差收斂并一直保持；圖8(b)為ε的放大圖， 40s后本文設(shè)計(jì)的控制器的跟蹤精度可達(dá)到2″，可見(jiàn)在精度上要明顯優(yōu)于“PD+”控制器。

為貼近實(shí)際情況，考慮航天器質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化，對(duì)無(wú)慣量誤差、1倍、6倍、10倍、20倍、30倍、40倍和50倍慣量誤差δJ的情況進(jìn)行仿真。由圖9可見(jiàn)，盡管指向夾角ε隨慣量誤差的增大而降低，但仍可進(jìn)行角秒級(jí)精度的指向跟蹤控制，說(shuō)明指向跟蹤控制器仍然適用。

圖5 相對(duì)姿態(tài)曲線

圖6 相對(duì)角速度曲線

圖7 控制輸出曲線

圖8 不同控制律的指向夾角曲線和放大圖

圖9 不同慣量誤差指向夾角放大圖

5 結(jié)論

采用修正Rodrigues參數(shù)描述相對(duì)姿態(tài)，給出一種可實(shí)現(xiàn)角度跟蹤和速度跟蹤的PD型姿態(tài)指向跟蹤控制器，并應(yīng)用Lyapunov理論嚴(yán)格證明相對(duì)姿態(tài)和相對(duì)角速度漸進(jìn)穩(wěn)定。對(duì)控制中經(jīng)常遇到的輸出飽和約束問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了增益分配律，可在提高精度的同時(shí)避免控制器輸出進(jìn)入飽和域。仿真結(jié)果表明，在存在初始指向偏差和飽和約束的情況下，該控制器能實(shí)現(xiàn)大橢圓軌道衛(wèi)星對(duì)靜止軌道衛(wèi)星高精度姿態(tài)指向跟蹤，穩(wěn)態(tài)跟蹤精度達(dá)到2″。當(dāng)存在慣量誤差時(shí)，控制器仍能實(shí)現(xiàn)高精度指向跟蹤。

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A High Precision Attitude Pointing Tracking Control for Spacecraft Based on the Gain Schedule

Dong Tianshu1, He Yingzi1,2

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Itisinvestigatedthatthehighprecisionandlargeangleofattitudepointingtrackingcontrolproblemforrigidspacecraftinthispaper.Forensuringtherepresentationofattitudeisgloballydefined,weusethemodifiedRodriguesparameterstorepresenttherelativeattitude.AkindofPDtypeattitudepointingtrackingcontrollerisdeveloped,whichcanguaranteetherelativeattitudeandrelativeangularvelocitybeasymptoticallystable.Furthermore,akindofgainscheduleisdesignedtoimprovetheaccuracyofcontrolandavoidthesaturationlimits.Numericalsimulationresultsthatthecontrolalgorithmisabletokeepthehigheccentricobitsatellitepointingtrackingthegeostationarysatelliteunderthesituationofexistinginitialpointingerrorandthesaturationlimits.Thecontrolalgorithmperformsrobustness,duringchangingofsatelliteinertiamatrix.

Attitudetrackingcontrol; PDtypecontrol;Gainschedule

2015-06-18

董天舒(1991-)，男，北京人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱骺刂萍夹g(shù)；何英姿(1970-)，女，湖南人，博士，研究員，主要研究方向?yàn)楹教炱髦茖?dǎo)、導(dǎo)航與控制系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)。

V448

A

1006-3242(2016)01-0050-07