帶積分邊界條件的四階常微分方程邊值問題

譚啟軍（重慶房地產(chǎn)職業(yè)學(xué)院，重慶 401331）

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帶積分邊界條件的四階常微分方程邊值問題

譚啟軍
（重慶房地產(chǎn)職業(yè)學(xué)院，重慶 401331）

摘要：本文應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理研究一類非局部四階邊值問題正解的存在性和非存在性[1].以往大部分文章中的四階問題邊值條件是局部的，本文研究含有一個(gè)系數(shù)的非局部邊值問題正解的存在性和非存在性.

關(guān)鍵詞：邊值問題；積分邊界條件；不動(dòng)點(diǎn)定理；正解；四階常微分方程

0　引言

本文研究如下邊值問題：

其中，ω在t=0和（或者）t=1處奇異[2]，f∈C[0,1]×[0,+∞)×(-∞,0],[0,+∞)],g,h∈L1[0,1]非負(fù).

假設(shè)滿足如下條件：

（H2）f∈C([0，1]×[0，+∞)×(-∞，0]，[0，+∞));

（H3）g，h∈L1[0,1]非負(fù)，μ∈[0，a)，v∈[0，a).其中

J=[0,1],E∈C2[0,1].

顯然，(E，||x||2)是一個(gè)Banach空間，簡(jiǎn)記為E.

令K是E中的錐，

Kr={x∈K∶||x||2≤r},鄣Kr={x∈K∶||x||2=r},Kr,R={x∈K∶r<||x||2≤R}.

其中，0

1　預(yù)備知識(shí)

引理1假設(shè)條件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a.則對(duì)任意的y∈C[0，1]，x是如下邊值問題的解：

當(dāng)且僅當(dāng)

其中

其中σ=a2+2abτ.

1.1首先證明必要性

令z=x''則邊值問題（2）可變?yōu)?/p>

上式通過反復(fù)計(jì)算可得

類似地，由

得

類似地，式（8）代入式（9）得

因此，必要性已證.

1.2下證充分性

根據(jù)H1的定義以及式（10），z(s)是如下邊值問題的解：

類似地，式（11）蘊(yùn)含著x(t)是如下邊值問題的解

由（12）以及（13）式，充分性得證.

命題1假設(shè)條件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a。則有

在E中構(gòu)造錐K:

易知K是E的閉凸錐，且

定義算子T∶C2[0,1]→C2[0,1]∶

記

由式（20）可知H(t，s)有如下性質(zhì).

命題2假設(shè)條件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a.有

引理2假設(shè)條件(H0)-(H3)成立.如果x∈C2[0,1]積分方程

引理3假設(shè)條件(H0)-(H3)成立.則T(k)∪K且T∶K→K全連續(xù).

2　主要定理

下面給出幾個(gè)記號(hào)

其中β表示0或者∞，且

定理1Ω1和Ω2是實(shí)Banach空間E中的有界開集，，P是E中的錐，全連續(xù).如果下列條件滿足

定理2假設(shè)條件(H0)-(H3)成立.邊值問題（1）至少有一個(gè)正解[3]，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

其中，λF(f0+ε1)≤1

這意味著

其中ε2>0，滿足(f0-ε2)∧≥1

因此

這意味著

定理3假設(shè)條件(H0)-(H3)成立，且則邊值問題（1）沒有正解.

證明假定x是邊值問題（1）的一個(gè)正解，則對(duì)任意0≤t<1得x∈K，x(t)>0

并且

因此，對(duì)任意t∈J，x∈K,x(t)>0得

這是一個(gè)矛盾[6].故定理成立.

類似地，可得出以下結(jié)論：

定理4假設(shè)條件(H0)-(H3)成立，且λ∧f(t,x,y)>|x|+|y|,坌t∈J,坌|x|+|y|>0

則邊值問題（1）沒有正解.

此定理的證明類似于定理（26）的證明，故證明細(xì)節(jié)省掉.

參考文獻(xiàn):

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[2]馮美強(qiáng)，張學(xué)梅，葛渭高.四階微分方程奇異邊值問題的正解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，30（2007）452-461.

[3]李永祥.四階非線性邊值問題解得存在性與上下解解法[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2003(23):245-252.

[4]郭大鈞，孫經(jīng)先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法[M].濟(jì)南：山東科學(xué)出版社,2005.

[5]李永祥.四階邊值問題正解的存在性和多解性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003（26）：109-116.

[6]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

責(zé)任編輯李燕

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674－5787（2016）01－0141－06

DOI：10.13887/j.cnki.jccee.2016（1）.40

收稿日期：2015-11-12

作者簡(jiǎn)介：譚啟軍（1987—），男，重慶房地產(chǎn)職業(yè)學(xué)院，助教，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模。

Boundary Value Problems of Fourth-Order Ordinary Differential Equations with Integral Boundary Conditions

TAN Qijun
(Chongqing Real Estate College,Chongqing 401331,China)

Abstract:The author uses the fixed point theorem to study existence and non-existence of positive solutions for a class of non-local fourth-order boundary value problems.In the past,the fourth order boundary problem value conditions are partial in most of the articles,but this paper contains a coefficient’s nonlocal boundary value problem’s positive solution existence and non-existence.

Keywords:boundary value problem;integral boundary condition;fixed point theorem;positive solution; fourth order ordinary differential equation