矩陣的冪零對(duì)角分解及推廣

姜琴，袁力

(漢江師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖北十堰442000)

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矩陣的冪零對(duì)角分解及推廣

姜琴，袁力

(漢江師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖北十堰442000)

摘要：冪零矩陣及其性質(zhì)在矩陣?yán)碚撝杏兄匾獞?yīng)用。重點(diǎn)討論了n階方陣與冪零矩陣之間的關(guān)系問(wèn)題，證明了任意n階方陣可以分解為1個(gè)冪零矩陣與1個(gè)可對(duì)角化矩陣之和，并將該結(jié)論推廣到了矩陣多項(xiàng)式上。最后，應(yīng)用上述矩陣分解定理的證明思想，進(jìn)一步給出了n階方陣的對(duì)稱矩陣分解形式。

關(guān)鍵詞：冪零矩陣；對(duì)角分解；若當(dāng)分解

1概述

冪零矩陣因其特殊的性質(zhì)及其在組合數(shù)學(xué)、矩陣譜分析中的重要應(yīng)用，成為近年來(lái)比較熱門(mén)的一個(gè)研究方向，也取得了眾多的研究成果。

文獻(xiàn)[1-2]給出了構(gòu)造冪零矩陣與譜任意符號(hào)模式矩陣的幾種方法；文獻(xiàn)[3]利用主子式刻畫(huà)了在沒(méi)有冪零元的坡上冪零矩陣的一些特征；文獻(xiàn)[4-5]討論了一般加法冪等半環(huán)上矩陣的同時(shí)冪零性及標(biāo)準(zhǔn)形；文獻(xiàn)[6]對(duì)冪零線性變換生成的冪零代數(shù)及其同構(gòu)問(wèn)題進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[7]給出了階冪零矩陣的判定方法與構(gòu)建方法。

本文將在上述結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮一般階矩陣的冪零分解問(wèn)題，對(duì)已有的結(jié)論予以補(bǔ)充。

2主要結(jié)論的證明

題目要求證明所給3階矩陣可以分解為1個(gè)冪零矩陣與1個(gè)可對(duì)角化矩陣之和的形式。下面運(yùn)用矩陣的對(duì)角化方法先給出此問(wèn)題的證明。

由上述證明可知，所給3階矩陣A可逆，且可以分解為冪零與可對(duì)角化矩陣之和的形式，那么這種分解能否推廣到一般的n階矩陣上來(lái)呢？現(xiàn)在來(lái)看下面的結(jié)論。

通過(guò)微生物形態(tài)學(xué)鑒定及全自動(dòng)鑒定系統(tǒng)，對(duì)照組中約60%為表葡菌。鼻淵舒口服液治療前兩個(gè)地區(qū)CRS患者中約61.1%為表葡菌；治療后約63.8%為表葡菌（具體細(xì)菌分布見(jiàn)表1、圖1）。

定理1設(shè)A為n階方陣，則存在矩陣B和C，使得A=B+C，且BC=CB，其中B相似于對(duì)角矩陣，C為冪零矩陣。

定理1將矩陣的冪零對(duì)角分解推廣到了任意n階方陣上來(lái)，是對(duì)文獻(xiàn)[8]結(jié)論的補(bǔ)充和完善。

推論1設(shè)A為n階方陣，且秩A=1，則A或?yàn)榭蓪?duì)角化矩陣，或?yàn)閮缌憔仃?，二者不兼有?/p>

證明因秩A=1，則可知矩陣A有0特征值，且齊次線性方程組AX=0的解空間是(n-1)維的，故屬于特征值λ=0的特征子空間V0也是(n-1)維的，所以A有n-1個(gè)屬于特征值λ=0的線性無(wú)關(guān)的特征向量。

推論1給出了方陣秩為1時(shí)的冪零對(duì)角分解形式，是定理1的特殊情況。

推論2設(shè)A為n階方程，B是A的可對(duì)角部分，則對(duì)于任意多項(xiàng)式g(x)∈c[x],g(A)的可對(duì)角化部分為g(B)。

因?yàn)锽C=CB,所以(BC)n=BnCn=0,故M中的每一項(xiàng)Bl-iC均是冪零的，所以M是冪零的，不能對(duì)角化，故g(A)的可對(duì)角化部分為g(B)。

推論2將定理1可對(duì)角化部分的結(jié)論推廣到了矩陣多項(xiàng)式上來(lái)。同時(shí)，應(yīng)用定理1的證明方法，還可進(jìn)一步得到如下結(jié)論。

定理2設(shè)A為n階方陣，則存在2個(gè)對(duì)稱矩陣B和C，使得A=BC，且B，C中有1個(gè)為可逆矩陣。

證明設(shè)A為任意矩陣，J為其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則存在可逆方陣P,使A=P-1JP，也即J′=(P-1)′A′P′，

再令B=AC-1,即A=BC，則由上式可得

B′=(AC-1)′=(C-1)′A′=AC-1=B

即B也是對(duì)稱矩陣。

定理2借鑒了n階方陣冪零對(duì)角分解的證明思想，進(jìn)一步給出了n階方陣的對(duì)稱矩陣分解形式。

[參考文獻(xiàn)]

[1]DREW J H，JOHNSON C R，OLESKY D D,et al.Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and Its Applications,2000，308(1-3):121-137.

[2]GAO Y,HUANG Y,SHAO Y.The relations of spectrally arbitrary,inertially arbitrary and potentially nilpotent sign patterns [C]//Proceedings of the 14th Conference of International Linear Algebra Society,Shanghai:[s.n.],2007：19-22.

[3]HAN S C,LI H X,WANG J Y.On nilpotent incline matrices[J].Linear Algebra Appl,2005,406(5):201-217.

[4]LUR Y Y,PANG C T,GUU S M.On nilpotent fuzzy matrices[J].Fuzzy Sets and Systems,2004,145(2):287-299.

[5]官明友，譚宜家，李德新.加法冪等半環(huán)上矩陣的同時(shí)冪零性[J].福建農(nóng)林大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,38(6):668-672.

[6]胡秀玲，張秀福.冪零矩陣和冪零線性變換[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,24(4):17-18.

[7]吳險(xiǎn)峰.階冪零矩陣的判別及構(gòu)建[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2007,23(4):72-75.

[8]楊浩波.矩陣的冪零分解[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,8(5):334-337.

責(zé)任編輯：陳亮

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.03.011

收稿日期：2016- 04- 06

基金項(xiàng)目：湖北省教育廳科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(Q20156002)；漢江師范學(xué)院科研重點(diǎn)項(xiàng)目(2014A02)

作者簡(jiǎn)介：姜琴(1978—)，女，碩士，講師。

中圖分類號(hào)：O151.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671- 0436(2016)03- 0048- 04

Nilpotent Diagonal Factorization of Matrix and the Extensions

JIANG Qin，YUAN Li

(Department of Computer Science,Hanjiang Normal University,Shiyan 442000)

Abstract：Nilpotent matrix has important application in matrix theory.The relationship between square matrix of degree n and nilpotent matrix was explored,which testifies that square matrix of degree n can be decomposed into the sum of nilpotent matrix and diagonalization matrix.This decomposition can be applied in any matrix polynomial.Finally the above testifying method provides decomposed form for symmetric matrix of square matrix of degree n.

Key words：nilpotent matrix;diagonal factorization;Jordan decomposition