多數(shù)者博弈模型演化分析

孫　康，全宏俊

(華南理工大學(xué)物理系，廣東廣州510641)

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多數(shù)者博弈模型演化分析

孫康，全宏俊

(華南理工大學(xué)物理系，廣東廣州510641)

摘要：為研究經(jīng)紀(jì)人行為策略對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)復(fù)雜系統(tǒng)的影響，本文在少數(shù)者博弈模型的基礎(chǔ)上提出多數(shù)方獲勝的基本多數(shù)者博弈模型以及演化多數(shù)者博弈模型。采用多主體建模方法，模型中的眾多經(jīng)紀(jì)人被賦予有限理性，他們可以選擇自己的最優(yōu)策略或者調(diào)整策略概率來競(jìng)爭(zhēng)有限資源，演化到穩(wěn)態(tài)后也能表現(xiàn)出人類社會(huì)系統(tǒng)所獨(dú)有的現(xiàn)象。在基本少數(shù)者博弈中，當(dāng)模型中的游戲規(guī)則變?yōu)槎鄶?shù)方獲勝時(shí)，得到的基本多數(shù)者博弈模型可以更快演化到穩(wěn)定狀態(tài)。并且在歷史記憶長(zhǎng)度m較小的時(shí)候系統(tǒng)資源利用率較高，隨著m增大資源利用率逐漸降低，最終與經(jīng)紀(jì)人隨機(jī)選擇得到的結(jié)果一致。而演化多數(shù)者博弈模型的資源利用率則不受m影響，因此在m較大時(shí)，引入演化能提高資源利用率。同樣的系統(tǒng)參數(shù)，隨機(jī)初始條件不同演化多數(shù)者博弈模型經(jīng)紀(jì)人概率也有可能分布在p=0.5不同側(cè)。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定后每時(shí)步平均獲勝方人數(shù)與經(jīng)紀(jì)人概率分布也有聯(lián)系，在經(jīng)紀(jì)人概率重置時(shí)采用不同的邊界條件，得到的經(jīng)紀(jì)人概率分布也不同。進(jìn)一步分析演化多數(shù)者博弈模型系統(tǒng)資源利用率，發(fā)現(xiàn)經(jīng)紀(jì)人新舊策略概率的相關(guān)程度r越大，概率分布越平坦，系統(tǒng)資源利用率越高。增加獎(jiǎng)懲比R，也會(huì)影響經(jīng)紀(jì)人概率分布，資源利用率也會(huì)提高。

關(guān)鍵詞：行為策略；少數(shù)者博弈模型；基本多數(shù)者博弈模型；演化多數(shù)者博弈模型；有限理性

0引言

1997年D. Challet和ZHANG Yicheng在Arthur“酒吧模型”[1]的基礎(chǔ)上提出了少數(shù)者博弈模型(MG)[2-5]。這是一個(gè)被高度重視并且廣泛研究的多經(jīng)紀(jì)人歸納博弈模型，模型的規(guī)則雖然簡(jiǎn)單，但它是一個(gè)典型的自適應(yīng)復(fù)雜系統(tǒng)[6]，反映了許多社會(huì)與生態(tài)系統(tǒng)中多個(gè)體競(jìng)爭(zhēng)有限資源并且少數(shù)方受益的現(xiàn)象。隨后該模型風(fēng)靡至今，得到顯著發(fā)展。從MG到演化少數(shù)者博弈模型(EMG)[7]，再到引入模仿學(xué)習(xí)的少數(shù)者博弈模型[8-9]，以及近年來探討的小世界網(wǎng)絡(luò)上模仿學(xué)習(xí)的少數(shù)者博弈模型[10-11]等等。隨著對(duì)少數(shù)者博弈模型的深入研究，該模型越來越復(fù)雜，也越來越接近現(xiàn)實(shí)。

生活中除了競(jìng)爭(zhēng)有限資源的少數(shù)者博弈模型外，也存在主體行為策略是多數(shù)者策略(爭(zhēng)取使自己處于多數(shù)方)的博弈模型。比如集市模型[12]，居民去趕集，相互之間沒有任何交流與聯(lián)盟，只有在趕集人數(shù)達(dá)到一定閾值的情況下，才能達(dá)到便利交易的預(yù)期。反之，則不如待在家里。又比如客戶對(duì)社交軟件的選擇，自由市場(chǎng)中同一領(lǐng)域的社交軟件只有搶占到更多用戶才是勝者。因?yàn)閷?duì)用戶而言，隨著使用該軟件產(chǎn)品用戶的增加，每個(gè)用戶從此產(chǎn)品中獲得的效用也會(huì)增加，才會(huì)吸引越來越多的經(jīng)紀(jì)人選擇該軟件產(chǎn)品。相反，參與人數(shù)少的社交軟件因?yàn)榈貌坏嚼硐氲男в枚沟糜脩粲l(fā)減少，最終使該軟件產(chǎn)品淘汰。

1模型描述

1.1基本多數(shù)者博弈模型

將少數(shù)者博弈模型中的獲勝規(guī)則改為每一輪博弈結(jié)束時(shí)人數(shù)大于總?cè)藬?shù)一半的一方為獲勝方，其余規(guī)則保持不變，可得到基本多數(shù)者博弈模型。即，N(奇數(shù))個(gè)經(jīng)紀(jì)人，每個(gè)經(jīng)紀(jì)人有s個(gè)策略，在每一時(shí)步都獨(dú)立選擇加入“0”或“1”，其記憶容量為m，知道最近m時(shí)步的二進(jìn)制取勝方記錄：u(t)={b(t-m)，…，b(t-2)，b(t-1)}，其中b(t)=“0”或“1”分別表示0方或1方取勝。每個(gè)經(jīng)紀(jì)人按照自己某個(gè)策略做出選擇后，人數(shù)多(少)的一方為獲勝(失敗)方，獲勝(失敗)方加1分(不加分)；并且給自己的s個(gè)策略評(píng)分(虛分)，如果某個(gè)策略預(yù)測(cè)了正確的獲勝方，這個(gè)策略加1分，預(yù)測(cè)失敗不加分；每一時(shí)步t，每個(gè)人根據(jù)t時(shí)步最近m次取勝方的記錄u(t)，采用得分最高策略的預(yù)測(cè)來選擇“0”或“1”，若得分最高的策略有2個(gè)以上，則隨機(jī)選取其中的一個(gè)來做預(yù)測(cè)。

1.2演化多數(shù)者博弈模型

在N. F. Johnson和P. M. Hui等人提出演化少數(shù)者博弈模型(EMG)[7]基礎(chǔ)上，改變經(jīng)紀(jì)人的主體行為策略，可得到演化多數(shù)者博弈模型。即，考慮N(奇數(shù))個(gè)經(jīng)紀(jì)人組成的系統(tǒng)，每個(gè)經(jīng)紀(jì)人事先知道最近出現(xiàn)的2m種不同歷史(每個(gè)歷史的長(zhǎng)度為m比特)下取勝方的記錄。所有經(jīng)紀(jì)人擁有一個(gè)相同的策略，該策略在給定歷史條件下對(duì)下一次取勝方的預(yù)測(cè)與該歷史最近一次出現(xiàn)時(shí)的取勝方記錄相同。所有經(jīng)紀(jì)人隨機(jī)指定一個(gè)概率p(i)(i=1，…，N)，0≤p(i)≤1，對(duì)給定的歷史，每個(gè)經(jīng)紀(jì)人以概率p(i)按策略的預(yù)測(cè)作出決定，或者以概率1-p(i)作出與策略預(yù)測(cè)相反的決定。當(dāng)每個(gè)經(jīng)紀(jì)人作出選擇后，處于多數(shù)(少數(shù))方的勝利(失敗)，勝利方獲得R分，失敗方減1分，獎(jiǎng)懲比為R。當(dāng)某個(gè)經(jīng)紀(jì)人財(cái)富小于給定的d(d<0)時(shí)，允許他在以p為中心、寬度為r的區(qū)間內(nèi)重新按均勻分布隨機(jī)挑選一個(gè)新的p(i)值，并將他的得分重新置零。采用反射邊界條件，p(i)<0時(shí)，p(i)=-p(i)，p(i)>1時(shí)，p(i)=2-p(i)，以保證概率0≤p(i)≤1。在這一進(jìn)化博弈模型中的經(jīng)紀(jì)人可以不斷地從過去的錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，總是試圖通過不斷改變自身對(duì)策略的參照來尋求與社會(huì)的最好適應(yīng)，而r則用來衡量經(jīng)紀(jì)人在修正其概率時(shí)新舊概率的關(guān)聯(lián)程度。

2結(jié)果與分析

2.1基本多數(shù)者博弈模型模擬結(jié)果

圖1給出了m=10，s=2和N=1 001時(shí)的基本多數(shù)者博弈模型在某初始條件(初始策略，初始?xì)v史)下獲勝方人數(shù)隨時(shí)間變化的過程，通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)獲勝方人數(shù)很快(102級(jí)時(shí)步)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。而同樣參數(shù)下的少數(shù)者博弈模型中獲勝方人數(shù)往往需要在104級(jí)以上時(shí)步才開始趨于動(dòng)態(tài)平衡。

圖1　獲勝方人數(shù)隨時(shí)間演化Fig.1　Time evolution of the number of winners

對(duì)基本多數(shù)者博弈而言，由于經(jīng)紀(jì)人總是采用虛分最高的策略，所以在經(jīng)紀(jì)人的s條策略中，t-1時(shí)步被采用的策略(此策略虛分已經(jīng)大于或等于其他策略)在t時(shí)步繼續(xù)被采用的概率(可從t-1時(shí)步該策略加分和未加分兩種情況考慮)往往會(huì)高于t-1時(shí)步未被采用的策略，從而使經(jīng)紀(jì)人傾向于使用其s條策略中的某一條。當(dāng)所有經(jīng)紀(jì)人都采用較固定的優(yōu)勢(shì)策略時(shí)，容易形成固定的結(jié)果和固定的歷史(可以從獲勝方人數(shù)隨時(shí)間的變化看出)，從而使系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖2給出了經(jīng)紀(jì)人平均成功率(所有經(jīng)紀(jì)人成功博弈次數(shù)與博弈總次數(shù)比值的平均)隨時(shí)間變化的過程，由多數(shù)者博弈規(guī)則，每一輪博弈中都有大于一半的經(jīng)紀(jì)人獲勝，經(jīng)紀(jì)人平均成功率也就大于0.5，并趨于穩(wěn)定。

圖2　經(jīng)紀(jì)人平均成功率隨時(shí)間演化Fig.2　Time evolution of the average success rate of the agents

在少數(shù)者獲勝規(guī)則下，穩(wěn)態(tài)下某一方經(jīng)紀(jì)人數(shù)的方差[13]越小則意味著系統(tǒng)資源利用率越高。然而多數(shù)者博弈模型并非零和博弈，在多數(shù)者博弈的同一回合中N個(gè)經(jīng)紀(jì)人完全有可能都是獲勝者。只是現(xiàn)實(shí)生活中，并非所有的經(jīng)紀(jì)人都可以相互約定同時(shí)選擇某一方。所以對(duì)多數(shù)者博弈模型而言，穩(wěn)態(tài)下博弈中多數(shù)方平均經(jīng)紀(jì)人數(shù)越接近N，則說明系統(tǒng)資源利用率越大。為此我們定義偏差θ：

(1)

其中T為系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)所需要的時(shí)步，Δt是系統(tǒng)穩(wěn)定后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的時(shí)步。由圖3可見，偏差θ∝N，并且由圖4，對(duì)固定的m，有確定的相對(duì)偏差θ/N。所以θ/N表示一個(gè)與經(jīng)紀(jì)人數(shù)目無關(guān)的參量，相對(duì)偏差反映實(shí)際獲勝方人數(shù)與理想獲勝方人數(shù)之間偏差與理想獲勝方人數(shù)的比重，相對(duì)偏差越小說明越有效利用了市場(chǎng)資源。

圖3　m=3和m=8時(shí)，θ和經(jīng)紀(jì)人數(shù)目N的關(guān)系Fig.3　θ as function of N for m=3 and m=8

圖4　經(jīng)紀(jì)人數(shù)目N不同時(shí)，θ/N與m的關(guān)系Fig.4　θ/N as function of m for different values of N

圖5給出了N=1 001，s=2條件下相對(duì)偏差與m的關(guān)系，圖中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)128次獨(dú)立初始條件，在系統(tǒng)穩(wěn)定后，再對(duì)500時(shí)步的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。我們發(fā)現(xiàn)基本多數(shù)者博弈模型中的平均相對(duì)偏差隨著m增大而增加，最終接近虛線所代表的經(jīng)紀(jì)人隨機(jī)作出選擇得到的相對(duì)偏差。

在少數(shù)者博弈模型中，由于周期2動(dòng)力學(xué)過程[14]和經(jīng)紀(jì)人之間協(xié)作效應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，用來衡量系統(tǒng)資源利用率的方差與m的關(guān)系不是單調(diào)的，在某個(gè)m0處系統(tǒng)協(xié)作性最好。然而多數(shù)者博弈模型最重要的一個(gè)特點(diǎn)是：大多數(shù)人的預(yù)期一致時(shí)，實(shí)際情況會(huì)按照人們的預(yù)期發(fā)展，所以多數(shù)者博弈模型中不存在周期2動(dòng)力學(xué)過程，并且在多數(shù)者博弈模型的歷史信息中同樣存在著有助于預(yù)測(cè)多數(shù)方的信息。當(dāng)m較小時(shí)，策略池也比較小，導(dǎo)致很多經(jīng)紀(jì)人擁有相同的策略，由前文基本多數(shù)者博弈模型獲勝方人數(shù)隨時(shí)間演化過程分析，多數(shù)者博弈經(jīng)紀(jì)人也更容易采用他手中某條固定的策略。因此在多數(shù)者博弈過程中，面對(duì)同樣的歷史，經(jīng)紀(jì)人往往做出固定的決策，而這些固定的決策又形成了固定的歷史，這時(shí)候策略和歷史信息中預(yù)測(cè)勝利方的信息比較大。當(dāng)m變大，策略池也變大，經(jīng)紀(jì)人的策略不盡相同，歷史也更多樣化，所以預(yù)測(cè)勝利方的信息也就隨m增大慢慢變少，最終接近隨機(jī)選擇得到的結(jié)果。

圖5　N=1 001，s=2時(shí)，θ/N與m的關(guān)系Fig.5　θ/N as function of m for N=1 001 and s=2

圖6　N=1 001，r=0.2，R=1，d=-4，θ/N與m的關(guān)系Fig.6　θ/N as function of m for N=1 001，r=0.2，R=1，d=-4

2.2演化多數(shù)者博弈模型模擬結(jié)果

圖6給出了演化多數(shù)者博弈模型的θ/N與m的關(guān)系。圖中的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)32次獨(dú)立初始條件，系統(tǒng)穩(wěn)定后再對(duì)500時(shí)步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，由圖可見，演化多數(shù)者博弈模型的相對(duì)偏差與m無關(guān)。當(dāng)m≥5時(shí)，演化多數(shù)者博弈模型可以比基本多數(shù)者博弈模型有著更高的資源利用率，即演化是有利的。

圖7　經(jīng)紀(jì)人概率分布Fig.7　Distribution P(p) of the p-values among the agents

圖7a、圖7b給出了演化多數(shù)者博弈模型概率分布，圖7a、圖7b有著相同的參數(shù)m=10，N=1 001，r=0.2，R=1，d=-4，但由于初始條件(初始概率、初始?xì)v史和初始策略)會(huì)有所區(qū)別，我們得到分布于p=0.5不同側(cè)的“單峰分布”。

穩(wěn)定后每時(shí)步獲勝方人數(shù)

(2)

以圖7a為例說明經(jīng)紀(jì)人概率分布成因，在該次模擬初始概率隨機(jī)分布下，共有510位p>0.5的經(jīng)紀(jì)人，p>0.5的經(jīng)紀(jì)人有較大的概率屬于多數(shù)方，所以按公共策略決策的經(jīng)紀(jì)人更容易在每一輪博弈中獲勝，而p<0.5的經(jīng)紀(jì)人更傾向于執(zhí)行與公共策略相反的決策，從而在博弈中更容易處于少數(shù)方。對(duì)于p<0.5的某個(gè)經(jīng)紀(jì)人而言，由于每一輪博弈的失敗概率會(huì)大于獲勝概率，隨著時(shí)步t的增加，該經(jīng)紀(jì)人因得分逐漸小于d而被淘汰，然后對(duì)概率進(jìn)行重置。由反射邊界條件可知，當(dāng)新的p(i)<0時(shí)，p(i)=-p(i)，經(jīng)紀(jì)人的概率只能向p>0.5的方向演化。一旦p(i)>0.5，經(jīng)紀(jì)人i會(huì)因?yàn)楂@勝的概率大于失敗的概率而很難被淘汰，同時(shí)也幾乎失去演化動(dòng)力停留下來。于是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言，p=0.5右側(cè)的經(jīng)紀(jì)人逐漸被積累，最終形成我們看到的尖峰形分布。

演化多數(shù)者博弈模型的概率分布是以p=0.5為中點(diǎn)，隨機(jī)分布在區(qū)間[0，0.5]或者區(qū)間[0.5，1]之間，并且演化多數(shù)者博弈模型穩(wěn)定后的概率分布形狀與經(jīng)紀(jì)人概率重置時(shí)采用的邊界條件有關(guān)。

圖8　具有不同策略p的經(jīng)紀(jì)人每時(shí)步平均得分Fig.8　Average rewards per round for the agents with different p-values

圖8a表示的是對(duì)應(yīng)圖7a模擬中(圖8b與圖7b對(duì)應(yīng)同一次模擬，初始隨機(jī)概率p>0.5的經(jīng)紀(jì)人數(shù)目為484人)演化到穩(wěn)態(tài)后得到的擁有不同策略p的經(jīng)紀(jì)人每時(shí)步平均得分，圖中每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)經(jīng)紀(jì)人，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著該經(jīng)紀(jì)人每時(shí)步的平均得分，橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)經(jīng)紀(jì)人遵從策略的概率p。從圖8a中可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)紀(jì)人主要分布在p=0.5與p=0.65(與圖7a中尖峰寬度一致)之間，初始概率越接近1的經(jīng)紀(jì)人每時(shí)步的平均得分越多。而圖8b中經(jīng)紀(jì)人主要分布在p=0.5與p=0.35之間，初始概率越接近0的經(jīng)紀(jì)人每時(shí)步的平均得分越多。

由圖8a和圖8b可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，正如現(xiàn)實(shí)生活中收益正比于風(fēng)險(xiǎn)，猶豫不決的經(jīng)紀(jì)人(p=0.5左右的經(jīng)紀(jì)人)只能獲取較少的財(cái)富，采取極端行為往往會(huì)帶來更大收益(收益最多的經(jīng)紀(jì)人是那些初始概率為p=1或者p=0的經(jīng)紀(jì)人)，但他們也承受著更大風(fēng)險(xiǎn)，一旦最初的極端選擇使他們處于少數(shù)方，則必須經(jīng)歷更多次的淘汰和重置才能變成猶豫不決者存活下來。

N=1 001，m=10，R=1，d=-4時(shí)，通過模擬發(fā)現(xiàn)峰寬與經(jīng)紀(jì)人修正錯(cuò)誤概率時(shí)新舊概率的關(guān)聯(lián)程度r的大小有關(guān)。隨著r增大，圖9 中尖峰的高度越低，但寬度越寬，經(jīng)紀(jì)人向極端方向分布越平坦，同時(shí)由式(2)可知，獲勝方平均經(jīng)紀(jì)人數(shù)目也會(huì)增多，圖10所示相對(duì)偏差也會(huì)減小。

圖9　不同r值的概率分布Fig.9　Distribution P(p) of the p-values for different values of r

圖10　不同r值θ/N與m的關(guān)系Fig.10　θ/N as function of m for different values of r

圖11　不同R值的P(p)Fig.11　Distribution of P(p) for different values of R

圖12　不同R值的θ/N與m的關(guān)系Fig.12　θ/N as funtion of m for different values of R

圖11給出了N=1 001，m=10，d=-4，r=0.2時(shí)，不同獎(jiǎng)勵(lì)R下的概率分布P(p)，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)R<1時(shí)，由于獲勝方在每一輪博弈中的得分變小，劣勢(shì)狀態(tài)下經(jīng)紀(jì)人為避免淘汰不得不采用更極端的概率去接近p=0或p=1來提升自己的成功率，最終出現(xiàn)尖峰向兩端移動(dòng)的P(p)，R越小，移動(dòng)趨勢(shì)越明顯。同時(shí)由圖12可知，偏離方差θ/N也越小。

3結(jié)束語

多數(shù)者博弈除集市外還廣泛存在于電信領(lǐng)域，最典型的例子為即時(shí)通訊軟件、SNS社交網(wǎng)絡(luò)服務(wù)等。多數(shù)者博弈也促成了“美團(tuán)”、“滴滴”、“去哪兒網(wǎng)”等這些在快餐、打車、旅游行業(yè)搶先占有更多客戶而興起的公司，隨著時(shí)代的發(fā)展，多數(shù)者博弈還將有更多的應(yīng)用。

本文研究了多數(shù)方獲勝的基本多數(shù)者博弈模型以及演化多數(shù)者博弈模型，分析了主體行為發(fā)生改變對(duì)系統(tǒng)演化狀態(tài)的影響。我們發(fā)現(xiàn)主體行為策略是決定系統(tǒng)演化結(jié)果的關(guān)鍵因素，分析得到的結(jié)論對(duì)于解釋現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象以及控制一些實(shí)際系統(tǒng)里的合作程度有一定的參考價(jià)值。

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(責(zé)任編輯王龍杰)

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.02.001

收稿日期：2015-12-15

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11174083)

中圖分類號(hào)：O414.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-6600(2016)02-0001-07

Evolutionary Analysis of the Majority Game

SUN Kang，QUAN Hongjun

(Department of Physics， South China University of Technology， Guangzhou Guangdong 510641， China)

Abstract:In order to study the influence of agents’ action strategies on the evolution of social economic system， the basic majority game and the evolutionary majority game in which agents prefer to stay in the majority are put forward on the basis of minority game. We build agent-based models，all the agents in the model are given bounded rationality， and they use their best strategy or modify their strategy probility each round in order to compete for finite resources. When evolving to stable state， phenomena which are unique to human society also occur. In the basic minority game， if agents in the majority are ruled winners, we get the basic majority game，and the game has higher resources utilization when the dimension of the strategy space， m， is smaller. As m gets larger， the utilization becomes lower， approaching that of the random choice game finally. While the utilization of evolutionary majority game isn’t affected by m， so，when m in the game is larger，the evolution is so perferable to improve the utilization of the system. With the same parameters in the game，different random initial conditions may cause different side of distribution of P(p) at p=0.5.The average number of winners each round is also found to be related to the distribution of P(p) at the same time. If we use different boundary conditions to reset agents’ strategy probabilities， we will also get different distribution of P(p). For further analysis of evolutionary majority game’s utilization， we find that the lager the parameter r which means the relation between agents’ old and new p，the flatter distribution of P(p) is，and the utilization also gets larger.At last， if we improve R representing the value of the prize-to-fine ratio， the distribution of P(p) will also be affected，resulted to a lager utilization of the game.

Keywords:action strategies；minority game； basic majority game； evolutionary majority game； bounded rationality

通信聯(lián)系人：全宏俊(1958—)，男，湖南衡陽人，華南理工大學(xué)教授，博士。E-mail:hjquan@scut.edu.cn